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幾何学において、接続関係は、 「点が直線上にある」や「直線が平面内に含まれる」といった表現で表される考えを捉える異種関係です。最も基本的な接続関係は、点Pと直線lの間の接続関係であり、P I lと表記されることもあります。Pとl が接続関係にある場合、P I lのペア( P , l )はフラグと呼ばれます。
日常言語では、関係を表すために多くの表現が使われています（例えば、直線が点を通る、点が平面上にあるなど）が、「関係」という用語は、他の用語が持つような余分な意味合いがなく、対称的に使用できるため好まれます。「直線l 1は直線l 2と交わる」のような記述も関係についての記述ですが、これは「直線l 1と直線l 2の両方と交わる点Pが存在する」という表現の略語だからです。ある種類のオブジェクトが別の種類のオブジェクトの集合として考えられる場合（例えば、平面は点の集合である）、関係は包含関係として見なすことができます。
「平面上の任意の2つの直線は交わる」といった命題は、接続命題と呼ばれます。この命題は射影平面では真ですが、直線が平行になり得るユークリッド平面では真ではありません。歴史的に、射影幾何学は、平行線の存在によって生じる例外などを排除し、接続命題を真にするために発展しました。総合幾何学の観点からは、射影幾何学はこのような命題を公理として用いるべきです。これは、高次元におけるデザルグの定理の普遍性のため、射影平面において特に重要です。
対照的に、解析的アプローチでは、線形代数に基づいて射影空間を定義し、同次座標を利用します。接続の命題は、ベクトル空間に関する次の基本結果から導き出されます。有限次元ベクトル空間Vの部分空間UとWが与えられたとき、それらの交差の次元は dim U + dim W − dim ( U + W )です。Vに関連付けられた射影空間P ( V )の幾何学的次元がdim V − 1であり、任意の部分空間の幾何学的次元が正であることを考慮すると、この設定における接続の基本命題は、射影空間Pの線形部分空間LとMがdim L + dim M ≥ dim Pの場合に交わる、という形をとることができます。[ 1 ]
以下のセクションでは、体上で定義された射影平面（PG(2, F )と表記されることが多い。ここでFは体である）またはP 2 Fに限定して説明します。ただし、これらの計算はより高次元の射影空間にも自然に拡張でき、その場合、乗法が可換ではないことに注意すれば、体を除数環（または斜体）に置き換えることができます。
V を体F上で定義された 3 次元ベクトル空間とする。射影平面P ( V ) = PG(2, F )は、 Vの 1 次元ベクトル部分空間 (点と呼ばれる) と、 Vの 2 次元ベクトル部分空間 (直線と呼ばれる) から構成される。点と直線の関連性は、1 次元部分空間が 2 次元部分空間に含まれることによって定義される。
Vの基底を固定し、その基底に関してベクトルを座標の三つ組として記述できるようにします。1 次元ベクトル部分空間は、ゼロでないベクトルとそのすべてのスカラー倍から構成されます。座標の三つ組として記述されるゼロでないスカラー倍は、与えられた点の同次座標であり、点座標と呼ばれます。この基底に関して、単一の線形方程式{( x , y , z ) | ax + by + cz = 0 } の解空間はVの 2 次元部分空間であり、したがってP ( V )の直線です。この直線は直線座標[ a , b , c ]で表すことができ、ゼロでないスカラー倍でも同じ直線が得られるため、これも同次座標です。他の表記法も広く使用されています。点座標は、列ベクトル( x , y , z ) T、コロン付き( x : y : z )、または添え字付き( x , y , z ) Pとして記述できます。同様に、線座標は、行ベクトル( a , b , c )、コロン付き[ a : b : c ]、または添え字付き( a , b , c ) Lとして記述できます。その他の表記方法も可能です。
点P = ( x , y , z )と直線l = [ a , b , c ]が与えられたとき、点と直線の座標で表すと、点が直線に接している (しばしばP I lと表記される) のは、次の場合に限る。
これは他の表記法では次のように表すことができます。
どのような表記法を用いるにせよ、点と直線の同次座標を単に順序付き三つ組として考える場合、それらの関係は内積が0に等しいという形で表される。
P 1とP 2 を、それぞれ同次座標( x 1 , y 1 , z 1 )と( x 2 , y 2 , z 2 )を持つ異なる点のペアとする。これらの点は、 ax + by + cz = 0の形の方程式を持つ一意の直線lを決定し、次の方程式を満たさなければならない。
この連立一次方程式系は、行列形式では次のように表すことができます。
このシステムは、行列式が の場合に限り非自明な解を持ちます。
この行列式を展開すると、直線lの方程式となる同次線形方程式が得られます。したがって、共通の非ゼロ定数因子を除いて、l = [ a , b , c ]となります。ここで、
ベクトルのスカラー三重積表記法を用いると、この直線の式は次のように表される。
ここで、P = ( x , y , z )は一般的な点です。
同一直線上にある点を共線点といいます。同一直線上にあるすべての点の集合を範囲といいます。
P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 )、P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 )、P 3 = ( x 3 , y 3 , z 3 )の場合、これらの点が共線であるのは、次の場合に限ります。
すなわち、点の同次座標の行列式がゼロに等しい場合に限る。
3点以上の場合、これは順位テストとして一般化できます。同次座標を用いて共線であるのは、
。
グラム行列式検定によれば、行列が上記は完全なランクに満たないものであり、。
l 1 = [ a 1 , b 1 , c 1 ]とl 2 = [ a 2 , b 2 , c 2 ]を異なる2本の直線とする。このとき、直線 l 1 と l 2 の交点は点a P = ( x 0 , y 0 , z 0 )であり、これは次の連立一次方程式の同時解（スカラー係数を除く）である。
この連立方程式の解は次のようになる。
あるいは、点Pを通る別の直線l = [ a , b , c ]を考えます。つまり、点Pの同次座標は次の式を満たします。
この方程式をPを定義する2つの方程式と組み合わせることで、行列方程式の非自明な解を求めることができます。
行列式が次の条件を満たす場合に、そのような解が存在する。
この方程式の係数a、b、cは、 Pの同次座標を与えます。
点Pを通る一般的な直線の式をスカラー三重積表記で表すと次のようになる。
同じ点で交わる線は共線であると言われます。平面上で同じ点に接するすべての線の集合を、その点を中心とする線束と呼びます。2本の線の交点を計算すると、ある点を中心とする線束全体が、その点で交わる任意の2本の線によって決定されることがわかります。したがって、3本の線、[ a 1 , b 1 , c 1 ]、[ a 2 , b 2 , c 2 ]、[ a 3 , b 3 , c 3 ]が共線であるための代数的条件は、行列式が、
![{\displaystyle ax+by+cz=[a,b,c]\cdot (x,y,z)=(a,b,c)_{L}\cdot (x,y,z)_{P}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ff9a189d496eefa14712c08c6a18fdd51e11de)
![{\displaystyle =[a:b:c]\cdot (x:y:z)=(a,b,c)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2a13de6c13221b7461bb9b3954f9f84458adc3)
