放物線座標

放物座標は、座標線が共焦点放物線である2 次元直交 座標系です。放物座標の3 次元バージョンは、2 次元システムを放物線の対称軸を中心に回転させることによって得られます。

放物座標は、シュタルク効果の処理やエッジの ポテンシャル理論など、多くの用途に使用されています。

2 次元放物線座標は、直交座標に基づく次の方程式によって定義されます。 ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

${\displaystyle x=\sigma \tau}$

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}$

定常共焦点放物面 の曲線${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

上向き（つまり に向かって）に開く曲線であるのに対し、定数曲線は共焦点放物線を形成する。 ${\displaystyle +y}$${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau^{2}}}+\tau^{2}}$

下向き（つまり に向かって）に開いている放物線です。これらすべての放物線の焦点は原点にあります。 ${\displaystyle -y}$

デカルト座標は次のように放物線座標に変換できます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \sigma =\operatorname {sign} (x){\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-y}}}$

${\displaystyle \tau ={\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+y}}}$

放物線座標のスケール係数は等しい ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

したがって、面積の微小要素は

${\displaystyle dA=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau }$

そしてラプラシアンは

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)}$

や などの他の微分演算子は 、スケール係数を直交座標の一般式に代入することによって座標で表すことができます。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

2 次元の放物面座標は、2 セットの 3 次元直交座標の基礎となります。放物面円筒座標は、 - 方向に投影することで生成されます。放物面の対称軸を中心に回転すると、共焦点放物面のセットが生成され、3 次元の放物面座標の座標系が生成されます。直交座標で表すと次のようになります。 ${\displaystyle z}$

${\displaystyle x=\sigma \tau \cos \varphi }$

${\displaystyle y=\sigma \tau \sin \varphi }$

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}$

ここで放物線は回転軸に沿って一直線に並ぶ。したがって方位角は次のように定義される。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {y}{x}}}$

定形共焦点放物 面の表面${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle 2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

上向き（つまり、 に向かって）に開いているのに対し、定数面は共焦点放物 面${\displaystyle +z}$${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle 2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau^{2}}}+\tau^{2}}$

下向き（つまり に向かって）開いている放物面です。これらすべての放物面の焦点は原点にあります。 ${\displaystyle -z}$

この座標系に関連付けられた リーマン 計量テンソルは

${\displaystyle g_{ij}={\begin{bmatrix}\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0&0\\0&\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0\\0&0&\sigma ^{2}\tau ^{2}\end{bmatrix}}}$

3 次元のスケール係数は次のとおりです。

${\displaystyle h_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

${\displaystyle h_{\varphi}=\sigma \tau}$

スケール係数とが2次元の場合と同じであること がわかる。無限小体積要素は${\displaystyle h_{\sigma}}$${\displaystyle h_{\tau}}$

${\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi =\sigma \tau \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi }$

ラプラシアンは次のように与えられる。

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}}$

や などの他の微分演算子は 、スケール係数を直交座標の一般式に代入することによって座標で表すことができます。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$

• 放物線円筒座標
• 直交座標系
• 曲線座標

• モース PM、フェシュバッハ H (1953)。理論物理学の方法、第 1 部。ニューヨーク: マグロウヒル。p. 660。ISBN 0-07-043316-XLCCN  52011515 。
• Margenau H、Murphy GM (1956)。物理と化学の数学。ニューヨーク：D. van Nostrand。pp. 185–186。LCCN  55010911。
• Korn GA, Korn TM (1961).科学者とエンジニアのための数学ハンドブック. ニューヨーク: McGraw-Hill. p. 180. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• ザウアー R、ザボー I (1967)。Ingenieurs の数学。ニューヨーク: Springer Verlag。 p. 96.LCCN 67025285  。
• Zwillinger D (1992)。統合ハンドブック。ボストン、マサチューセッツ州：Jones and Bartlett。p. 114。ISBN 0-86720-293-9。 Morse & Feshbach (1953)と同じですが、ξ _kの代わりにu _{k を}使用します。
• Moon P、Spencer DE (1988)。「放物線座標 (μ、ν、ψ)」。座標系、微分方程式、およびその解を含む場の理論ハンドブック(訂正第 2 版、第 3 刷)。ニューヨーク: Springer-Verlag。pp. 34–36 (表 1.08) 。ISBN 978-0-387-18430-2。

• 「放物線座標」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• MathWorld の放物線座標の説明