一般化された円錐

多焦点楕円とは、次のような動きをする点の軌跡として定義される曲線である。

${\displaystyle \lambda _{1}A_{1}P+\lambda _{2}A_{2}P+\cdots +\lambda _{n}A_{n}P=c}$

ここで、A ₁、A ₂、 ... 、A _nは平面上の固定点であり、λ ₁、λ ₂、 ... 、λ _nは固定された有理数であり、cは定数である。彼は、このような楕円を描くための簡単なピン・紐・鉛筆の方法を示した。

方程式で定義される楕円を描く方法${\displaystyle AP+2BP=c}$これは、マックスウェルがこのような曲線を描くために採用した一般的なアプローチを示しています。焦点AとBに 2 つのピンを固定します。長さがc + ABの紐を用意し、紐の一端をAのピンに結びます。紐のもう一方の端に鉛筆を取り付け、紐を焦点Bのピンに巻き付けます。次に、紐のたるみに沿って鉛筆を動かします。鉛筆が描く曲線がPの軌跡です。彼の独創性は、次の形式の方程式で定義される三焦点楕円を描く方法の説明においてより顕著に表れています。${\displaystyle AP+BP+CP=c}$3つのピンを3つの焦点A、B、Cに固定します。紐の一端をCのピンに固定し、紐を他のピンに巻き付けます。鉛筆を紐のもう一方の端に取り付けます。鉛筆をAとCの間の紐のたるみに引っ掛け、 Pまで伸ばします。紐がピンと張るように鉛筆を動かします。結果として得られる図形は、三焦点楕円の一部になります。完全な楕円を得るには、紐の位置を調整する必要があるかもしれません。

マックスウェルは、エジンバラ王立協会に論文を発表してから2年間で、これらの楕円の幾何学的および光学的特性を体系的に発展させた。^{[ 5 ]}

させて${\displaystyle d:R^{n}\rightarrow R}$指標であり、${\displaystyle \mu }$コンパクトセットの尺度${\displaystyle K\subset R^{n}}$と${\displaystyle \mu (K)>0}$重み付けされていない一般化円錐関数${\displaystyle f_{K}}$関連する${\displaystyle K}$は

${\displaystyle f_{K}(x)=\int _{K}g(x,y)d(x,y)\,d_{\mu }y}$

どこ${\displaystyle g:R^{n}\times R^{n}\rightarrow R}$はカーネル関数に関連付けられています${\displaystyle f_{K}}$。${\displaystyle K}$は焦点の集合です。レベルセット${\displaystyle \{x\in R^{n}:f_{K}(x)<c\}}$これらは一般化円錐曲線と呼ばれます。^{[ 6 ]}

定数r ₀ ≥ 0、λ ≥ 0 および実数kに対して、極方程式で記述される平面曲線

${\displaystyle r={\frac {r_{0}}{1+\lambda \sin(k\theta )}}}$

一般化円錐曲線と呼ばれる。^{[ 11 ]}円錐曲線は、 λ < 1、λ = 1、またはλ > 1に応じて、一般化楕円、放物線、または双曲線と呼ばれる。

• k = 1 の特殊な場合では、一般化された円錐曲線は通常の円錐曲線に帰着する。
• k > 1 の特殊なケースでは、対応する一般化円錐を生成するための単純な幾何学的方法があります。^{[ 11 ]}

αを sin α = 1/ kとなる角度とする。半頂角がαに等しい直円錐を考える。この円錐と平面との交線を考え、その交線が偏心率λの円錐曲線となるとする。円錐を平面に展開する。すると、偏心率λの円錐曲線が展開される平面上の曲線は、定義で指定されている極方程式を持つ一般化円錐曲線となる。

• k < 1の特殊な場合、円錐曲線を展開することによって一般化円錐曲線を得ることはできません。この場合、別の解釈が存在します。

平面上に描かれた通常の円錐曲線を考えます。平面を巻き付けて直円錐を形成すると、円錐曲線は3次元空間における曲線になります。この曲線を円錐の軸に垂直な平面に投影すると、ApostolとMnatsakanianの定義によるk < 1の一般化円錐曲線になります。

一般化円錐曲線は、2点が${\displaystyle P_{0}}$そして${\displaystyle P_{1}}$それには、ポイントがあります。${\displaystyle \{P_{k}:k>1\}}$再帰関係によって生成される

${\displaystyle P_{k+1}=2\アルファ P_{k}+\ベータ P_{k-1}}$

一部の人にとって${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$関係を満たす

${\displaystyle \alpha \beta \neq 0,\quad (\alpha ,\beta )\neq (\pm 1,-1),\quad \alpha ^{2}+\beta \neq 0}$

それらも含まれています。

( X , d )を距離空間とし、A をXの空でない部分集合とする。x が X の点である場合、 xからA までの距離はd ( x , A ) = inf{ d ( x , a ): a ∈ A }と定義される。A と B がともに X の空でない部分集合である場合、AとBによって決定される等距離集合は、{ x ∈ X : d ( x , A ) = d ( x , B )}と定義される。この等距離集合は { A = B }と表記される。一般化された等距離集合を表すために、一般化円錐という用語が用いられる。^{[ 13 ]}

古典的な円錐曲線は、等距離集合として実現できます。例えば、Aが単集合でBが直線の場合、等距離集合{ A = B }は放物線になります。AとBが円で、Aが完全にBの内部にある場合、等距離集合{ A = B }は楕円になります。一方、Aが完全にBの外部にある場合、等距離集合{ A = B }は双曲線になります。

同様のアプローチでは、焦点/準線/離心率の円錐曲線の解釈を一般化し、焦点として単一の点Fを保持し、任意の微分可能な曲線dを準線として、離心率e > 0 とします。Xをd 上の可変点とします。結果として得られる一般化された円錐曲線は、距離PFとPX が比率PF/PX = eを満たす点P (それぞれ X を通る d の法線上にある)の集合です。Norman ^{[ 14 ]} と Poplin ^{[ 15 ]}はこれらの曲線を擬似円錐曲線と呼び、 Pから準線までの 距離が最小であるという制約は破棄されました。

最小性要件を維持する場合、この要件を満たす点Pの集合は主擬円錐曲線とみなされ、曲線の残りの部分は擬円錐曲線の二次分岐となります。同様の一般化放物線の例は Josephら^{[ 16 ]}に見られます。