座標 複素射影平面上の点は、同次座標、 すなわち複素数 の三つ組( x : y : z ) で表すことができ、ある固定されたゼロでない係数を掛けた後に一方の三つ組の座標がもう一方の三つ組の座標と同じになるとき、2つの三つ組は平面上の同じ点を表す。このシステムでは、無限遠点はz 座標がゼロである点として選択できる。無限遠にある 2 つの円形点は、通常同次座標を持つ点として考えられる、これらの 2 つの点である。
(1 : i : 0) および(1 : − i : 0) 。
三線座標 基準三角形ABCの頂角をA 、B 、C とする。このとき、基準三角形の平面上の無限遠にある円点の三線形座標は以下のようになる。
− 1 : コス C − 私 罪 C : コス B + 私 罪 B 、 − 1 : コス C + 私 罪 C : コス B − 私 罪 B {\displaystyle -1:\cos Ci\sin C:\cos B+i\sin B,\qquad -1:\cos C+i\sin C:\cos Bi\sin B} または同等に、
コス C + 私 罪 C : − 1 : コス A − 私 罪 A 、 コス C − 私 罪 C : − 1 : コス A + 私 罪 A {\displaystyle \cos C+i\sin C:-1:\cos Ai\sin A,\qquad \cos Ci\sin C:-1:\cos A+i\sin A} あるいは、同様に、
コス B + 私 罪 B : コス A − 私 罪 A : − 1 、 コス B − 私 罪 B : コス A + 私 罪 A : − 1 、 {\displaystyle \cos B+i\sin B:\cos Ai\sin A:-1,\qquad \cos Bi\sin B:\cos A+i\sin A:-1,} どこ私 = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} 1 ]
複雑な円 中心点 ( x₀ , y₀ ) と半径r (これら 3 つはすべて実数 ) で定義される実円は、次の方程式の実数解の集合として記述できます。
（ x − x 0 ） 2 + （ y − y 0 ） 2 = r 2 。 {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}.} これを同次方程式 に変換し、すべての複素数解の集合を取ると、円の複素化が得られます。2つの円上の点は、すべての実円の複素化上に位置するため、そのように名付けられています。より一般的には、両方の点は次のタイプの同次方程式を満たします。
A x 2 + A y 2 + 2 B 1 x z + 2 B 2 y z − C z 2 = 0. {\displaystyle Ax^{2}+Ay^{2}+2B_{1}xz+2B_{2}yz-Cz^{2}=0.} 係数がすべて実数の場合、一般の円（実射影平面 上の円）の方程式が得られます。一般に、これら2点を通る代数曲線は 円曲線 と呼ばれます。
追加の物件 無限遠の円形点は、等方性線 の無限遠点 である。[ 2 ] 平行移動 と回転 に対して不変である。
角度 の概念は、円点、自然対数 、交差比 を用いて定義することができる。[ 3 ]
2つの直線の間の角度は、2つの直線と、それらの交点と円上の点を結ぶ直線によって形成される線分の交差比の対数を2iで割った値である。 サマービルは原点に2本の線を構成しますu : y = x タン θ 、 u ′ : y = x タン θ ′ 。 {\displaystyle u:y=x\tan \theta ,\quad u':y=x\tan \theta '.} ω とω ′とすると、彼は交差比を得る。
（ u u ′ 、 ω ω ′ ） = タン θ − 私 タン θ + 私 ÷ タン θ ′ − 私 タン θ ′ + 私 、 {\displaystyle (uu',\omega \omega ')={\frac {\tan \theta -i}{\tan \theta +i}}\div {\frac {\tan \theta '-i}{\tan \theta '+i}},} ϕ = θ ′ − θ = 私 2 ログ （ u u ′ 、 ω ω ′ ） 。 {\displaystyle \phi =\theta '-\theta ={\tfrac {i}{2}}\log(uu',\omega \omega ').}
変革x ′ = x 、 y ′ = 私 y 、 z ′ = z {\displaystyle x'=x,\quad y'=iy,\quad z'=z} フェリックス・クライン はこれを虚数変換 と呼んでいる。彼は、この方程式がx 2 + y 2 = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=0} x ′ 2 − y ′ 2 = 0 {\displaystyle x'^{2}-y'^{2}=0}
仮想的な円点x : y = ± i, z = 0 を、実在する無限遠の点x ' : y ' = ± 1, z = 0 に変換します。これらの点は、軸と 45° の角度をなす 2 つの方向の無限遠の点です。したがって、すべての円は、これら 2 つの実在する無限遠の点を通る円錐曲線、つまり漸近線が軸と 45° の角度をなす正双曲線に変換されます。[ 4 ]
参考文献 ↑ Whitworth William Allen (1866). Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions . Deighton Bell And Company. p. 127. 2021年 12月8日 取得 。 ↑ CE Springer (1964)『射影空間の幾何学と解析』 、141ページ、 WH Freeman and Company ↑ ダンカン・サマービル (1914)『非ユークリッド幾何学の基礎』、157ページ、ミシガン大学 歴史数学コレクション↑ フェリックス・クライン 、翻訳者 E.R. ヘンドリック、C.A. ノーブル (1939) [1908]初等数学（高度な視点から）－幾何学 、第3版、119、120ページピエール・サミュエル（1988）射影幾何学 、シュプリンガー、第1.6節。 Semple and Kneebone (1952) Algebraic projective geometry 、Oxford、セクション II-8。
