円錐曲線の行列表現

数学において、円錐曲線の行列表現を用いることで、線形代数の手法を円錐曲線の研究に活用できます。この手法は、円錐曲線の軸、頂点、接線、そして円錐曲線によって決定される平面上の点と線の間の極と極座標の関係を簡単に計算できる方法を提供します。また、円錐曲線の式を標準形に変換する必要がないため、座標系に平行でない軸を持つ円錐曲線の解析も容易になります。

円錐曲線（退化円錐曲線を含む）は、座標が2変数の 2次多項式方程式を満たす点の集合である。$${\displaystyle Q(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.}$$表記の濫用 により、この円錐曲線は次のようにも呼ばれる。${\displaystyle Q}$混乱が生じる余地が全くない場合。

この方程式は、後続のいくつかの式を簡略化するために、対称行列を用いて行列表記で次のように書くことができる^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}D&E\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+F=0.}$$

この方程式の最初の３項の合計、すなわち $${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}={\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},}$$は方程式 に関連付けられた二次形式 であり、行列は $${\displaystyle A_{33}={\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}}}$$は二次形式の行列 と呼ばれます。のトレースと行列式は${\displaystyle A_{33}}$軸の回転と平面の並進（原点の移動）に対して、どちらも不変である。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}

二次方程式は次のように書くこともできます。

$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A_{Q}\mathbf {x} =0,}$$

どこ${\displaystyle \mathbf {x} }$は、最後の変数が 1 となるように制限された 3 つの変数の同次座標ベクトルです。

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}}$$

そしてどこで${\displaystyle A_{Q}}$行列は

$${\displaystyle A_{Q}={\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix}}.}$$ マトリックス${\displaystyle A_{Q}}$は二次方程式の行列と呼ばれます。^{[ 4 ]} と同様に${\displaystyle A_{33}}$、その行列式は回転と並進の両方に関して不変である。^{[ 3 ]}

2 × 2 左上部分行列 (次数 2 の行列)${\displaystyle A_{Q}}$3番目（最後）の行と3番目（最後）の列を削除して得られた ${\displaystyle A_{Q}}$は二次形式の行列です。上記の表記法${\displaystyle A_{33}}$この記事では、この関係性を強調するためにこの表現が用いられています。

適切な（非退化）円錐曲線と退化円錐曲線は、行列式に基づいて区別することができる^{[ 5 ] [ 6 ]。}${\displaystyle A_{Q}=(AC-{\frac {B^{2}}{4}})F+{\frac {BDE-C{D}^{2}-A{E}^{2}}{4}}}$:

もし${\displaystyle \det A_{Q}=0}$円錐曲線は退化している。

もし${\displaystyle \det A_{Q}\neq 0}$となることによって${\displaystyle Q}$退化していないので、マイナーを計算することで、それがどのようなタイプの円錐曲線であるかを確認できます。${\displaystyle \det A_{33}=AC-{\frac {B^{2}}{4}}}$:

• ${\displaystyle Q}$双曲線であるのは、${\displaystyle \det A_{33}<0}$、
• ${\displaystyle Q}$放物線であるのは、${\displaystyle \det A_{33}=0}$、 そして
• ${\displaystyle Q}$は、以下の条件を満たす場合に限り楕円である。${\displaystyle \det A_{33}>0}$。

楕円の場合、係数に対応する最後の 2 つの対角要素を比較することで、円の特殊なケースを区別できます。${\displaystyle x^{2}}$、${\displaystyle xy}$そして$\displaystyle y^{2}}$:

• もし${\displaystyle A=C}$そして${\displaystyle B=0}$、 それから${\displaystyle Q}$円です。

さらに、非退化楕円の場合（${\displaystyle \det A_{33}>0}$そして${\displaystyle \det A_{Q}\neq 0}$)実楕円となる場合${\displaystyle (A+C)\det A_{Q}<0}$しかし、想像上の楕円であれば${\displaystyle (A+C)\det A_{Q}>0}$後者の例としては、 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10=0}$実数値解を持たない。

円錐曲線が退化している場合（${\displaystyle \det A_{Q}=0}$)${\displaystyle \det A_{33}}$それでもその形状を区別することができる。

• 2つの交差する直線（2つの漸近線に退化した双曲線）は、${\displaystyle \det A_{33}<0}$。
• 2本の平行な直線（退化した放物線）は、${\displaystyle \det A_{33}=0}$これらの線は、${\displaystyle D^{2}+E^{2}>4(A+C)F}$偶然であれば${\displaystyle D^{2}+E^{2}=4(A+C)F}$、そして現実の平面には存在しない${\displaystyle D^{2}+E^{2}<4(A+C)F}$。
• 単一点（退化楕円）は、${\displaystyle \det A_{33}>0}$。

線が一致するケースは、3 × 3 行列のランクが${\displaystyle A_{Q}}$は 1 であり、その他のすべての退化ケースではランクは 2 である。^{[ 2 ]}

いつ${\displaystyle \det A_{33}\neq 0}$円錐曲線には幾何学的中心が存在し、そのような円錐曲線（楕円や双曲線）は中心円錐曲線と呼ばれる。^{[ 7 ]}

中心円錐の標準形

中心円錐曲線の標準形の方程式は、円錐曲線を平行移動および回転させて、その中心が座標系の中心に位置し、その軸が座標軸と一致するようにしたときに得られます。これは、座標系の中心を移動し、座標軸を回転させてこれらの性質を満たすようにすることと同等です。図では、原点Oを持つ元のxy座標系が、原点O'を持つx'y'座標系に移動されています。

翻訳はベクトルによる${\displaystyle \mathbf {t} ={\begin{pmatrix}x_{c}\\y_{c}\end{pmatrix}}.}$

角度αによる回転は、行列A33_を対角化することによって実行できます。したがって、${\displaystyle \lambda _{1}}$そして${\displaystyle \lambda _{2}}$は行列A _33の固有値であり、中心化された方程式は新しい変数x'とy'で次のように書き直すことができます^{[ 9 ]}

$${\displaystyle \lambda _{1}x'^{2}+\lambda _{2}y'^{2}=-{\frac {\det A_{Q}}{\det A_{33}}}.}$$

で割る${\displaystyle K=-{\frac {\det A_{Q}}{\det A_{33}}}}$標準的な正準形式が得られます。

例えば、楕円の場合、この形式は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {{x'}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {{y'}^{2}}{b^{2}}}=1.}$$ ここから、慣用的な表記法における長半径と短半径の長さであるaとbが得られます。

中心円錐曲線の場合、両方の固有値はゼロではなく、それらを調べることで円錐曲線の分類が得られます。^{[ 10 ]}

• λ ₁とλ _{2 が}同じ代数符号を持つ場合、 K が同じ符号を持つ場合、反対の符号を持つ場合、またはゼロである場合、 Qはそれぞれ実楕円、虚楕円、または実点となります。
• λ ₁とλ _{2 の}符号が反対の場合、 QはKがゼロでないかゼロかによって、それぞれ双曲線または 2 つの交差する直線になります。

同次座標を使用すると、^{[ 13 ]}点^{[ 14 ]}$${\displaystyle \mathbf {p} ={\begin{pmatrix}p_{0}\\p_{1}\\p_{2}\end{pmatrix}}}$$そして${\displaystyle \mathbf {r} ={\begin{pmatrix}r_{0}\\r_{1}\\r_{2}\end{pmatrix}}}$円錐曲線Qに関して共役で ある。 $${\displaystyle \mathbf {p} ^{\mathsf {T}}A_{Q}\mathbf {r} =0.}$$

固定点pの共役点は、直線を形成するか、円錐曲線の平面上のすべての点から構成されます。p の共役点が直線を形成する場合、その直線はpの極と呼ばれ、点pはその直線の極と呼ばれます（円錐曲線に関して）。点と直線の間のこの関係は極性と呼ばれます。

円錐曲線が非退化である場合、ある点の共役点は常に直線を形成し、円錐曲線によって定義される極性は、円錐曲線を含む拡張平面（つまり、平面と無限遠の点および直線）の点と直線の間の全単射となる。

点p が円錐曲線Q上にある場合、点pの極線は点pにおけるQの接線です。

同次座標系における、非退化円錐曲線Qに関する点pの極線の方程式は、次のように与えられる。 $${\displaystyle \mathbf {p} ^{T}A_{Q}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=0.}$$

p が（与えられた円錐曲線に関して）その極線を一意に決定するのと同様に、各直線は一意の極pを決定します。さらに、点p が点rの極線である直線L上にあるのは、 pの極線が点rを通る場合に限ります（ラ・イールの定理）。^{[ 15 ]}したがって、この関係は平面上の点と直線の間の幾何学的双対性を表しています。

円錐曲線に関するいくつかのよく知られた概念は、この極性と直接関係しています。非退化円錐の中心は、無限遠の直線の極として識別できます。放物線は無限遠の直線に接しているので、その中心は無限遠の直線上の点になります。双曲線は無限遠の直線と2つの異なる点で交わり、これらの点の極線は双曲線の漸近線であり、これらの無限遠の点における双曲線の接線です。また、円錐の焦点の極線は、対応する準線です。^{[ 16 ]}

直線L を、非退化円錐曲線Qに関する点pの極線とする。ラ・イールの定理により、点pを通るすべての直線はL上に極を持つ。LがQと 2 点で交わる場合(最大)、それらの点の極はpを通る接線であり、そのような点はQの外部点または外点と呼ばれる。LがQ と1 点でのみ交わる場合、L は接線であり、pは接点である。最後に、L がQと交わらない場合、 pには接線が通らず、p は内部点または内点と呼ばれる。^{[ 17 ]}

非退化円錐曲線Q上の点pにおける接線の方程式 (同次座標系)は、次のように与えられる。

$${\displaystyle \mathbf {p} ^{\mathsf {T}}A_{Q}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=0.}$$

pが外部の点である場合、まずその極の方程式（上記の方程式）を求め、次にその直線と円錐曲線との交点（例えば点sとt ）を求めます。sとtの極は、pを通る接線になります。

極と極線の理論を用いると、2つの円錐曲線の4つの相互接線を求める問題は、2つの円錐曲線の交点を求める問題に帰着する。

• 円錐曲線 § 一般的なデカルト座標形式
• 二次形式（統計学）

• Ayoub, AB (1993)、「中心円錐曲線の再考」、Mathematics Magazine、66 (5): 322–325、doi : 10.1080/0025570x.1993.11996157
• ブランナン、デイビッド A.、エスプレン、マシュー F.、グレイ、ジェレミー J. (1999)、幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-59787-6
• ローレンス、J.デニス（1972）、『特殊平面曲線カタログ』、ドーバー出版
• オスターマン、アレクサンダー、ワナー、ゲルハルト（2012）、『歴史による幾何学』、シュプリンガー、doi：10.1007/978-3-642-29163-0、ISBN 978-3-642-29163-0
• ペットフレッツォ、アンソニー (1978) [1966]、『行列と変換』、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-63634-4
• スペイン、バリー (2007) [1957]、『解析円錐曲線』、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-45773-4