特性（代数）

数学において、環の特性${\displaystyle R}$しばしば表記される${\displaystyle \operatorname {char} (R)}$は、環の乗法単位元（1 ）のコピーの最小の正の数で、加算すると加法単位元（0 ）になるものと定義されます。そのような数が存在しない場合、その環は特性がゼロであると言われます。

つまり、${\displaystyle \operatorname {char} (R)}$最小の正の数${\displaystyle n}$そのため^{[ 1 ] (p 198、定理23.14)}

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ 加数}}}=0}$

そのような数であれば${\displaystyle n}$存在し、${\displaystyle 0}$さもないと。

特性ゼロの特別な定義は、次のセクションで説明する同等の定義に由来するものであり、そこでは特性ゼロを個別に考慮する必要はない。

この特性は、環の加法群の指数、すなわち最小の正の整数とみなすこともできる。${\displaystyle n}$すなわち：^{[ 1 ]（198ページ、定義23.12）}

$\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ summands}}}=0}$

すべての要素について${\displaystyle a}$指輪の（また、もし${\displaystyle n}$が存在する場合、存在しない場合はゼロとなる）。この定義は分配法則により、環に対しては同等である。rng （単位元を持たない環）の場合、前者の定義は意味をなさないため、後者の定義が一般的に使用される。

整数、有理数、実数は特性0を持つ。

nを法とする整数は特性を持つ${\displaystyle n}$。

すべてのブール環は特性2を持つ。

体の特性は、0 または素数のいずれかである。

• 指輪の特徴${\displaystyle R}$自然数${\displaystyle n}$そのため${\displaystyle n\mathbb {Z} }$は、​​​${\displaystyle \mathbb {Z} }$に${\displaystyle R}$[ ^{a ]​}

• 特性は自然数です${\displaystyle n}$そのため${\displaystyle R}$因子環と同型の部分 環を含む${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$これは、上記の準同型写像の像である。

• 非負整数の場合${\displaystyle \{0,1,2,3,\dots \}}$可除性によって部分的に順序付けられている場合、${\displaystyle 1}$最小で${\displaystyle 0}$が最大です。次に、リングの特性は、の最小値です。${\displaystyle n}$そのために${\displaystyle n\cdot 1=0}$0より「小さい」（この順序で）の値が何もない場合、特性は${\displaystyle 0}$これは、次のような事実から適切な部分順序である。${\displaystyle \operatorname {char} (A\times B)}$は、​${\displaystyle \operatorname {char} (A)}$そして${\displaystyle \operatorname {char} (B)}$環準同型が存在しない${\displaystyle f:A\to B}$存在しない${\displaystyle \operatorname {char} (B)}$分ける${\displaystyle \operatorname {char} (A)}$。

• 指輪の特徴${\displaystyle R}$は${\displaystyle n}$まさにその声明が${\displaystyle ka=0}$すべての人々のために${\displaystyle a\in R}$意味するところは${\displaystyle k}$の倍数です${\displaystyle n}$。

RとS が環であり、環準同型R → Sが存在する場合、 Sの標数はRの標数を割り切ります。これは、特定の環準同型の可能性を排除するために使用できる場合があります。標数が1の環は零環のみであり、零環には0という単一の要素しかありません。非自明な環R に非自明な零因子がない場合、その標数は0または素数です。特に、これはすべての体、すべての整域、およびすべての可除環に当てはまります。標数が 0 の環はすべて無限環です。

指輪${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$nを法とする整数の標数はnである。RがSの部分環である場合、RとS は同じ標数を持つ。例えば、pが素数で、q ( X )が体上の係数を持つ既約多項式である場合$\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$p個の要素を持つ商環${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]/(q(X))}$は標数pの体である。別の例: 体${\displaystyle \mathbb {C} }$複素数には${\displaystyle \mathbb {Z} }$そのため、${\displaystyle \mathbb {C} }$0です。

A${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$-代数は、標数がnを割り切る環と同等である。これは、すべての環Rに対して環準同型が存在するためである。${\displaystyle \mathbb {Z} \to R}$、そしてこのマップは${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$Rの特性がn を割り切る場合に限り、この条件が満たされる。この場合、環内の任意のrに対して、 r をn回自身に加えるとnr = 0となる。

可換環Rの素数標数がpである場合、Rのすべての要素xとyに対して( x + y ) ^p = x ^p + y ^pが成り立ちます。これは、通常は誤りである「新入生の夢」がpのべき乗に対して成り立つことを意味します。写像x ↦ x ^pは、環準同型R → Rを定義し、これはフロベニウス準同型と呼ばれます。Rが整域でもある場合、この準同型は単射です。

前述のように、任意の体の標数は0または素数のいずれかです。標数が0でない体は、有限標数体、正標数体、または素標数体と呼ばれます。標数指数も同様に定義されますが、標数が0の場合は1に等しく、それ以外の場合は標数と同じ値になります。^{[ 2 ]}

任意の体Fには、素体とも呼ばれる唯一の最小部分体が存在する。この部分体は、有理数体と同型である。${\displaystyle \mathbb {Q} }$または有限体$\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$素数位数の。同じ標数の2つの素数は同型であり、この同型写像は一意である。言い換えれば、各標数には本質的に一意の素数体が存在する。

• 混合特性のリング