共焦点円錐断面

幾何学において、2つの円錐曲線が同じ焦点を持つ場合、それらは共焦点であると呼ばれる。

楕円と双曲線は2つの焦点を持つため、共焦点楕円、共焦点双曲線、および楕円と双曲線の共焦点混合が存在します。共焦点楕円と双曲線の混合では、どの楕円もどの双曲線とも直交（直角）に交わります。

放物線は焦点が1つしかないため、慣例として、共焦点放物線は同じ焦点と同一の対称軸を持ちます。したがって、対称軸上にない任意の点は、直交する2つの共焦点放物線上に位置します（下記参照）。

円とは、焦点が両方とも中心で一致する楕円のことです。焦点が同じ円は同心円と呼ばれ、その中心を通る任意の直線と直交します。

共焦点円錐曲線の概念を曲面に正式に拡張すると、共焦点二次曲面が得られます。

双曲線または（非円形の）楕円には2つの焦点があり、異なる点のペアは${\displaystyle F_{1},\,F_{2}}$ユークリッド平面と任意の第３の点${\displaystyle P}$それらを一意に接続して、共通の焦点を持つ楕円と双曲線を決定するオンラインではない${\displaystyle F_{1},\,F_{2}}$そして、点において直交する${\displaystyle P.}$（楕円§ 点の軌跡としての定義、および双曲線§ 点の軌跡としての定義を参照。）

焦点${\displaystyle F_{1},\,F_{2}}$このようにして、共焦点楕円と双曲線の2つの束を決定する。

主軸定理により、平面は焦点間の中点を原点とし、その軸が共焦点楕円と双曲線の軸と一致するデカルト座標系を持つ。${\displaystyle c}$線形偏心率（${\displaystyle F_{1}}$そして${\displaystyle F_{2}}$)、この座標系では${\displaystyle F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0).}$

ペンシル内の各楕円または双曲線は、方程式を満たす点の軌跡である。

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1}$

半長軸​${\displaystyle a}$パラメータとして。半長軸が線形偏心率より小さい場合（${\displaystyle 0<a<c}$)式は双曲線を定義するが、半長軸が線形離心率(${\displaystyle a>c}$) は楕円を定義します。

別の一般的な表現では、与えられた長半径の楕円と共焦点な楕円と双曲線の束を指定する。${\displaystyle a}$短軸${\displaystyle b}$（となることによって${\displaystyle 0<b<a}$）、各円錐曲線は、パラメータの選択によって生成される。${\displaystyle \lambda \colon }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}=1,}$

もし${\displaystyle -\infty <\lambda <b^{2},}$円錐曲線は楕円です。${\displaystyle b^{2}<\lambda <a^{2},}$円錐曲線は双曲線です。${\displaystyle a^{2}<\lambda }$解決策はありません。鉛筆のすべての円錐曲線の共通の焦点は、${\textstyle {\bigl (}{\pm }{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0{\bigr )}.}$この表現は、より高次元にも自然に一般化できます（共焦点二次曲面を 参照）。

二重直交システム

共焦点楕円と双曲線のペンシル（リード図参照）を考慮すると、ある点における法線と接線の幾何学的性質（楕円の法線と双曲線の接線は焦点への線間の角度を二等分する）から、ペンシル内の任意の楕円は任意の双曲線と直交する（図参照）ことがわかる。

互いに交わらない曲線群の各曲線が、別の互いに交わらない曲線群の各曲線と直交するように構成されたこの配置は、直交ネットと呼ばれることがある。楕円と双曲線からなる直交ネットは、楕円座標系の基底となる。

放物線は焦点が1つしかなく、楕円（または双曲線）の集合の極限曲線と考えることができます。この場合、1つの焦点と1つの頂点は固定されたまま、もう1つの焦点は無限遠に移動されます。この変換を、共焦点楕円と双曲線の直交ネットワーク内の各円錐曲線に適用すると、極限は互いに反対方向を向いた共焦点放物線の直交ネットワークになります。

原点に焦点があり、x軸を対称軸とするすべての放物線は、次の式を満たす点の軌跡である。

${\displaystyle y^{2}=2xp+p^{2},}$

パラメータのある値に対して${\displaystyle p,}$どこ${\displaystyle |p|}$半直腸です。${\displaystyle p>0}$すると放物線は右に開き、${\displaystyle p<0}$放物線は左に開いている。${\displaystyle {\bigl (}{-}{\tfrac {1}{2}}p,0{\bigr )}}$は放物線の頂点です。

放物線の定義から、任意の点に対して${\displaystyle P}$x軸上にはなく、原点に焦点を持ち右に開く放物線と、原点に焦点を持ち左に開く放物線がそれぞれ1つずつあり、それらは点において直交して交わる。${\displaystyle P}$（放物線が直交するのは、共焦点楕円や双曲線と同様の理由による。放物線は反射特性を持つ。）

共焦点楕円や双曲線と同様に、平面は放物線の直交ネットワークで覆うことができ、これは放物線座標系に使用できます。

共焦点放物線の網は、座標軸に平行で複素平面の右半分に含まれる直線の網の像として等角写像によって考えることができる。${\displaystyle w=z^{2}}$（外部リンクを参照）。

円は、2つの焦点が一致する楕円です。双曲線の焦点を近づけていくと、双曲線は退化し、2本の直線が交わる形になります。

楕円と双曲線の直交ネットを2つの焦点を合わせることで変換すると、結果として同心円と円の中心を通る直線の直交ネットが得られます。これらは極座標系の基礎となります。^{[ 1 ]}

中心と軸を共有し、与えられた点を通る楕円の束の極限は、2つの焦点が反対方向に無限遠に移動すると、長軸に平行な一対の直線に退化する。同様に、双曲線の類似の束の極限は、長軸に垂直な一対の直線に退化する。したがって、平行線の直交する束からなる長方形の格子は、退化した共焦点円錐曲線の網目の一種である。このような直交する網目が、デカルト座標系の基礎となっている。

1850年、アイルランドの司教チャールズ・グレイブスは、弦を使って共焦点楕円を構成する以下の方法を証明し、発表した。^{[ 2 ]}

与えられた楕円Eを、その円周よりも長い閉じた紐で囲み、庭師が楕円を描くのと同様の曲線を描くと（図を参照）、Eと共焦点な楕円が得られます。

この定理の証明は楕円積分を用いており 、クラインの著書に記載されている。 オットー・シュタウデはこの方法を共焦点楕円体の構成に拡張した（クラインの著書を参照）。

楕円Eが線分に縮退する場合${\displaystyle F_{1}F_{2}}$焦点を持つ楕円を描く庭師の方法のわずかな変形が得られます。${\displaystyle F_{1},F_{2}}$。

2つの二次曲面は、同じ軸を共有し、かつ各対称面との交点が共焦点円錐曲線である場合に共焦点である。円錐曲線と同様に、非退化共焦点二次曲面の束は、 3軸楕円体、 1葉双曲面、2葉双曲面、および反対方向に開く楕円放物面、双曲放物面、楕円放物面の2種類に分類される。

半軸を持つ三軸楕円体${\displaystyle a,b,c}$どこ${\displaystyle a>b>c>0,}$共焦点二次曲面の束を決定します。各二次曲面は、パラメータによって生成されます。${\displaystyle \lambda ,}$は、次の式を満たす点の軌跡です。

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}=1.}$

もし${\displaystyle \lambda <c^{2}}$二次曲面は楕円体である。${\displaystyle c^{2}<\lambda <b^{2}}$（図中の青色）は、一葉双曲面です。${\displaystyle b^{2}<\lambda <a^{2}}$これは2葉双曲面です。${\displaystyle a^{2}<\lambda }$解決策はない。

焦点曲線

制限面$\displaystyle \lambda \to c^{2}}$:

パラメータとして${\displaystyle \lambda }$値に近づく${\displaystyle c^{2}}$下から見ると、極限楕円体は無限に平坦であり、より正確には、楕円で構成されるx - y平面の領域である。

${\displaystyle E:{\frac {x^{2}}{a^{2}-c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-c^{2}}}=1}$

そして、その内部は二重に覆われている（図では、下の左側の赤色の部分）。

として${\displaystyle \lambda }$アプローチ${\displaystyle c^{2}}$上から見ると、一葉双曲面の極限は無限に平坦であり、より正確には、同じ楕円で構成されるx - y平面の面積である。${\displaystyle E}$そして、二重に覆われた外装（図では、下段左側の青色）。

2 つの極限面は楕円の点を持つ${\displaystyle E}$共通点がある。

制限面$\displaystyle \lambda \to b^{2}}$:

同様に、${\displaystyle \lambda }$アプローチ${\displaystyle b^{2}}$上からも下からも、それぞれの極限双曲面（図では下、右、青と紫）は双曲線を持つ。

${\displaystyle H:\ {\frac {x^{2}}{a^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-b^{2}}}=1}$

共通点がある。

焦点曲線：

楕円の焦点${\displaystyle E}$双曲線の頂点は${\displaystyle H}$そしてその逆もまた然り。${\displaystyle E}$そして${\displaystyle H}$これらは焦点円錐曲線のペアです。

逆: 共焦点二次曲面のペンシルの任意の二次曲面は、${\displaystyle a,b,c}$ピンと紐の方法（楕円体を参照）で焦点円錐を構築できます${\displaystyle E,H}$無限に多くの焦点の役割を果たしており、共焦点二次曲面のペンシルの焦点曲線と呼ばれています。 ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

三重直交系

共焦点楕円/双曲線の場合と同様に、

どのポイントでも${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})\in \mathbb {R} ^{3}}$ と${\displaystyle x_{0}\neq 0,\;y_{0}\neq 0,\;z_{0}\neq 0}$3種類の共焦点四角形のいずれかの面上に正確に位置する。

ある点を通る3つの二次曲面${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$そこで直交交差する（外部リンクを参照）。

点を通る3つの二次曲面の存在と一意性の証明： 点について${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$と${\displaystyle x_{0}\neq 0,y_{0}\neq 0,z_{0}\neq 0}$とする ${\displaystyle f(\lambda )={\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z_{0}^{2}}{c^{2}-\lambda }}-1}$この関数には3つの垂直漸近線があります。${\displaystyle c^{2}<b^{2}<a^{2}}$そして、いずれかの開区間内にある${\displaystyle (-\infty ,c^{2}),\;(c^{2},b^{2}),\;(b^{2},a^{2}),\;(a^{2},\infty )}$連続かつ単調増加関数。垂直漸近線付近での関数の挙動から、 ${\displaystyle \lambda \to \pm \infty }$（図を参照） 関数${\displaystyle f}$ちょうど3つのゼロがあります${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$と${\displaystyle {\color {red}\lambda _{1}}<c^{2}<{\color {red}\lambda _{2}}<b^{2}<{\color {red}\lambda _{3}}<a^{2}\ .}$

曲面の直交性の証明： 関数束の使用 $${\displaystyle F_{\lambda }(x,y,z)={\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}}$$ パラメータ付き${\displaystyle \lambda }$共焦点クワドリックは次のように記述できます。${\displaystyle F_{\lambda }(x,y,z)=1}$交差する任意の2つの二次曲面に対して${\displaystyle F_{\lambda _{i}}(x,y,z)=1,\;F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=1}$共通点にたどり着く${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle 0=F_{\lambda _{i}}(x,y,z)-F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=\dotsb }$

${\displaystyle \ =(\lambda _{i}-\lambda _{k})\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)\ .}$

この式から、共通点における勾配のスカラー積は次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {grad} F_{\lambda _{i}}\cdot \operatorname {grad} F_{\lambda _{k}}=4\;\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)=0\ ,}$

これは直交性を証明する。

応用例：デュパンの定理 によれば、3重直交曲面系では、任意の2つの共焦点二次曲面の交線は曲率線になります。平面楕円座標と同様に、楕円体座標も存在します。

物理学では、共焦点楕円体は帯電楕円体の等電位面として現れる。 ^{[ 6 ]}

アイボリーの定理（またはアイボリーの補題）^{[ 7 ]は}、スコットランドの数学者で天文学者のジェームズ・アイボリー（1765年～1842年）にちなんで名付けられたもので、直交曲線によって形成される四角形であるネット長方形の対角線に関する記述である。

焦点が同じ2つの共焦点楕円と2つの共焦点双曲線によって形成される任意の正方格子では、対角線の長さは等しくなります（図を参照）。

楕円と共焦点双曲線の交点 ：${\displaystyle E(a)}$焦点が である楕円${\displaystyle F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)}$そして方程式

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad a>c>0\ }$

そして${\displaystyle H(u)}$方程式による共焦点双曲線

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{u^{2}}}+{\frac {y^{2}}{u^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad c>u\ .}$

交点を計算する${\displaystyle E(a)}$そして${\displaystyle H(u)}$1人が獲得する4つのポイント：

${\displaystyle \left(\pm {\frac {au}{c}},\;\pm {\frac {\sqrt {(a^{2}-c^{2})(c^{2}-u^{2})}}{c}}\right)}$

ネット長方形の対角線： 計算を簡略化するために、${\displaystyle c=1}$一般性を失うことなく（均一スケーリングによって他の共焦点ネットも得られる）、楕円と双曲線の4つの交点のうち、正の象限にあるものを選択する（他の符号の組み合わせでも同様の計算で同じ結果が得られる）。

とする${\displaystyle E(a_{1}),E(a_{2})}$2つの共焦点楕円と${\displaystyle H(u_{1}),H(u_{2})}$同じ焦点を持つ 2 つの共焦点双曲線。点からなるネット長方形の 4 つの点の対角線

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{11}&=\left(a_{1}u_{1},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right),&P_{22}&=\left(a_{2}u_{2},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}\right),\\[5mu]P_{12}&=\left(a_{1}u_{2},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}\right),&P_{21}&=\left(a_{2}u_{1},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)\end{aligned}}}$

は：

${\displaystyle {\begin{aligned}|P_{11}P_{22}|^{2}&=(a_{2}u_{2}-a_{1}u_{1})^{2}+\left({\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}-{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)^{2}\\[5mu]&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\left(1+a_{1}a_{2}u_{1}u_{2}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})(1-u_{2}^{2})}}\right)\end{aligned}}}$

最後の式は交換に対して不変である${\displaystyle u_{1}\leftrightarrow u_{2}}$まさにこのやり取りが${\displaystyle |P_{1\color {red}2}P_{2\color {red}1}|^{2}}$したがって${\displaystyle |P_{11}P_{22}|=|P_{12}P_{21}|}$

共焦点放物面に関するこの主張の証明は、簡単な計算で済む。

アイボリーは自身の定理の3次元版も証明した（ブラシュケ著、 111ページ参照）。

共焦点二次曲面によって形成される3次元の直方体では、対向する点を結ぶ対角線の長さは等しい。

• アポロニウスの円環
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