シュタイナー円錐曲線

シュタイナー円錐曲線、より正確にはシュタイナーの円錐曲線の生成は、スイスの数学者ヤコブ・シュタイナーにちなんで名付けられ、体上の射影平面で非退化射影円錐曲線を定義する別の方法です。

円錐曲線の通常の定義では、二次形式が使用されます (「二次形式 (射影幾何学) 」を参照)。円錐曲線のもう 1 つの定義では、双曲極性が使用されます。これはKGC von Staudtによるもので、 von Staudt 円錐曲線と呼ばれることもあります。von Staudt の定義の欠点は、基礎となる体が奇特性(つまり、) を持つ場合にのみ機能することです。 ${\displaystyle Char\neq 2}$

• 2点における2本の線分束 （それぞれとを含むすべての線分） と、から への射影写像（透視写像ではない）が与えられます。すると、対応する線分の交点は、退化しない射影円錐曲線を形成します^{[1] [2] [3] [4]}（図1）${\displaystyle B(U),B(V)}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle B(U)}$${\displaystyle B(V)}$

鉛筆から鉛筆への透視写像は、対応する線が固定された線上で交差する一対一対応（1-1 対応）であり、この線を透視軸と呼びます（図 2）。 ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle B(U)}$${\displaystyle B(V)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \pi}$

投影マッピングは、透視マッピングの有限積です。

簡単な例:最初の図の点とその線分を に移動して、移動した線分を一定の角度で回転させると、移動 (平行移動) と回転によって、点の線分から の線分への射影写像が生成されます。円周角の定理から、対応する線の交点は円を形成します。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

よく使われる体の例としては、実数、有理数、複素数などがあります。この構成は有限体でも機能し、有限射影平面での例を提供します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

注: 射影平面の基本定理は、^[5]体上の射影平面 (パッピアン平面) への射影写像は、3 本の直線の像を規定することによって一意に決定されると述べています。つまり、円錐曲線のシュタイナー生成では、2 点に加えて3 本の直線の像のみを指定する必要があります。これら 5 つの項目 (2 点、3 本の直線) によって円錐曲線が一意に決定されます。 ${\displaystyle U,V}$

注: 「遠近法」という表記は、次の二重の記述によるものです。線上の点を中心から線上に投影することを遠近法と呼びます(下記参照)。^[5]${\displaystyle a}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle b}$

次の例では、線のイメージ(図を参照) が与えられます。射影写像は、次の透視写像の積です。 1) は、点 の鉛筆から、軸 を持つ点 の鉛筆への透視写像です。 2) は、点 の鉛筆から、軸 を持つ点 の鉛筆への透視写像です。 まず、 が次の特性を持つことを確認する必要があります。 したがって、任意の線に対してイメージを構築でき、したがって任意の点の集合のイメージを構築できます。 線と には、それぞれ円錐点とのみが含まれます。 したがって、 と は、生成された円錐断面の接線です。 ${\displaystyle a,u,w}$${\displaystyle \pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi _{b},\pi _{a}}$${\displaystyle \pi_{b}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle O}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \pi_{a}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle V}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \pi =\pi _{a}\pi _{b}}$${\displaystyle \pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

この方法が円錐曲線を生成することは、直線を無限遠直線、点を座標系の原点、点をそれぞれx軸とy軸の無限遠点、点とするアフィン制限に切り替えることで証明される。生成された曲線のアフィン部分は双曲線のように見える。^[2]${\displaystyle w}$${\displaystyle O}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle E=(1,1)}$ ${\displaystyle y=1/x}$

述べる：

1. シュタイナーによる円錐曲線の生成は、一般に平行四辺形法と呼ばれる楕円、放物線、双曲線を作成するための簡単な方法を提供します。
2. 点を構成する際に現れる図（図3）はパスカルの定理の4点退化である。^[6]

射影平面を双対化する（双対性（射影幾何学）を参照）とは、点と直線を交換し、交差と接続という演算を行うことである。射影平面の双対構造も射影平面である。パッピアン平面の双対平面はパッピアンであり、同次座標で座標設定することもできる。非退化双対円錐断面は、同様に二次形式によって定義される。

双対円錐はシュタイナーの双対法によって生成できます。

• 2 本の直線の点集合と、から への射影写像だが透視写像ではない写像が与えられます。すると、対応する点を結ぶ直線は、退化していない双対の射影円錐曲線を形成します。${\displaystyle u,v}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

直線の点集合から直線の点集合への透視写像は 、対応する点を結ぶ線が固定点で交差するような全単射（1-1 対応）であり、その点は透視の中心と呼ばれます（図を参照）。 ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \pi}$

投影マッピングは、透視マッピングの有限のシーケンスです。

双円錐曲線と共通円錐曲線を扱う場合、共通円錐曲線を点円錐曲線、双円錐曲線を線円錐曲線と呼ぶのが一般的です。

基になるフィールドが点円錐のすべての接線を持つ場合、円錐の結び目(または核) と呼ばれる点で交差します。したがって、非退化点円錐の双対は、双対直線の点のサブセットであり、楕円曲線 (双対平面内) ではありません。したがって、 が非退化点円錐の双対である場合のみ、非退化直線円錐になります。 ${\displaystyle \operatorname {Char} =2}$${\displaystyle \operatorname {Char} \neq 2}$

(1) 2 つの視点から与えられる射影性:交点を持つ
2 本の直線が与えられ、 中心 を持つ2 つの視点によるから への射影性が与えられます。は直線 を3 つ目の直線 に写し、直線 を直線 に写します(図を参照)。点は直線 上にあってはいけません。射影性は2 つの視点の合成です。 したがって、点はに写し込まれ、直線はによって定義される双対円錐の要素です。 ( が不動点であれば、は視点です。^[7] ) ${\displaystyle u,v}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \pi _{A},\pi _{B}}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \pi _{A}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle o}$${\displaystyle \pi _{B}}$${\displaystyle o}$${\displaystyle v}$${\displaystyle W}$${\displaystyle {\overline {AB}},o}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \ \pi =\pi _{B}\pi _{A}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi (X)=\pi _{B}\pi _{A}(X)}$${\displaystyle x={\overline {X\pi (X)}}}$${\displaystyle \pi }$
${\displaystyle W}$${\displaystyle \pi }$

(2) 3つの点とその像が与えられます。
次の例は、シュタイナー円錐曲線の上記の双対例です。
点の像は次のように与えられます。射影写像は、次の遠近法の積で表すことができます。 ${\displaystyle A,U,W}$${\displaystyle \pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi _{B},\pi _{A}}$

1. ${\displaystyle \pi _{B}}$は、中心を持つ直線の点集合への直線の点集合の遠近法です。${\displaystyle u}$${\displaystyle o}$${\displaystyle B}$
2. ${\displaystyle \pi _{A}}$は、中心を持つ直線の点集合への直線の点集合の遠近法です。${\displaystyle o}$${\displaystyle v}$${\displaystyle A}$

射影写像がを満たすことは簡単に確認できます。したがって、任意の点に対して、画像を構築でき、直線は非退化双対円錐曲線の要素です。点と は直線 に含まれているため、それぞれ点と は円錐曲線の点であり、直線は で接しています。 ${\displaystyle \pi =\pi _{A}\pi _{B}}$${\displaystyle \pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi (G)=\pi _{A}\pi _{B}(G)}$${\displaystyle {\overline {G\pi (G)}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle u,v}$${\displaystyle U,V}$

シュタイナー構成は、平面線形入射幾何学（2 点が最大で 1 本の線を決定し、2 本の線が最大で 1 点で交差する）における円錐曲線を本質的に、つまり共線群のみを使用して定義します。具体的には、は共線 によって与えられる点 における円錐曲線であり、を通るすべての線に対するおよびの交点で構成されます。または に対して である場合、円錐曲線は に退化しています。たとえば、実座標平面では、 のアフィン型（楕円、放物線、双曲線）は とは無関係にの行列成分のトレースと行列式によって決定されます。 ${\displaystyle E(T,P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle L}$${\displaystyle T(L)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle P}$${\displaystyle T(P)=P}$${\displaystyle T(L)=L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle E(T,P)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle P}$

対照的に、実双曲平面の共線群は等長変換から構成される。その結果、固有円錐曲線は、射影円錐曲線と双曲領域との交差から得られる曲線である一般円錐曲線の小さいながらも多様なサブセットを構成する。さらに、ユークリッド平面とは異なり、直接円錐曲線は方向を維持し、反対円錐曲線は方向を反転させるという間に重なり合うことはない。直接ケースには中心円錐曲線（2 つの垂直な対称線）と非中心円錐曲線が含まれるが、反対円錐曲線はすべて中心円錐である。直接中心円錐曲線と反対中心円錐曲線は合同にはならないが、平行度の補角で定義される準対称性によって関連付けられている。したがって、 の任意の逆モデルにおいて、各直接中心円錐曲線は反対中心円錐曲線と双有理的に同値である。^[8]実際、中心円錐曲線は、実形状不変 である種数 1 のすべての曲線を表す。共通の中心と対称軸を持つ中心直接円錐曲線から、代表曲線の最小セットが得られます。ここで、形状不変量は、との間の距離で定義される離心率の関数です。これらの曲線の直交軌道は、 を持つ種数 1 のすべての曲線を表し、これらは既約 3 次曲線または双円 4 次曲線として現れます。各軌道に楕円曲線の加法則を適用すると、 の一般的な中心円錐曲線は、円錐曲線が各軌道と交差する点のペアを追加することで、2 つの固有円錐曲線の和として一意に分解されます。^[9]${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ ${\displaystyle E(T,P);}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E(T,P);}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle j\geq 1}$${\displaystyle P}$${\displaystyle T(P)}$${\displaystyle j\leq 1}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$

ウィキメディア・コモンズには、シュタイナー円錐曲線に関連するメディアがあります。

• コクセター、HSM (1993)、実射影平面、Springer Science & Business Media
• ハートマン、エリック、平面円幾何学、メビウス平面、ラゲール平面、ミンコフスキー平面入門(PDF) 、 2014 年9 月 20 日取得（PDF; 891 KB）。
• マーサーブ、ブルース E. (1983) [1959]、幾何学の基礎概念、ドーバー、ISBN 0-486-63415-9