楕円の長半径（a ）と短半径（b ） 幾何学 において、楕円 の長軸 は、その最も長い直径 、すなわち中心と両方の焦点を通る 線分であり、両端は 周長 の最も離れた2点にあります。半長軸 （長半軸 ）は、最も長い半直径 、つまり長軸の半分であり、中心から焦点を 通って周長まで伸びています。楕円または双曲線の 半短軸 （短半軸）は、半長軸と 直角に交わり、一方の端が 円錐曲線 の中心にある線分です。円の特殊な場合、半軸の長さは両方とも円の半径に等しくなります。
楕円の長半径aの長さは、 離心率 e と正弦半半径 を介して短半径bの長さと関係付けられる。 ℓ {\displaystyle \ell }
b = 1 1 − e 2 、 ℓ = 1 （ 1 − e 2 ） 、 1 ℓ = b 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\ell &=a(1-e^{2}),\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}} 双曲線 の長半径は、慣例によって異なるが、2つの枝間の距離の半分をプラスまたはマイナスした値である。つまり、双曲線の中心からいずれかの頂点までの距離に相当する。
放物線は 、一方の焦点を固定したまま、もう一方の焦点を任意の方向に遠くまで移動させる楕円列の極限として得られる。ℓ {\displaystyle \ell } a とb は 無限大に近づき、a は b よりも速く近づきます。
長軸と短軸は曲線の対称軸 です。楕円では短軸は短い方の軸であり、双曲線では短軸は双曲線と交わらない方の軸です。
楕円 楕円の方程式は
（ x − h ） 2 1 2 + （ y − k ） 2 b 2 = 1 、 {\displaystyle {\frac {(xh)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(yk)^{2}}{b^{2}}}=1,} ここで、( h , k )は デカルト座標系 における楕円の中心であり、任意の点は( x , y )で与えられる。
長半径は、最大距離と最小距離の平均値である。r 最大 \displaystyle r_{\text{max}}} r ミニ \displaystyle r_{\text{min}}}
軌道長半径a と短半径b を用いた偏心率e の式: e ² + ( b/a ) ² = 1 1 = r 最大 + r ミニ 2 。 {\displaystyle a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.} 天文学では、これらの極点は近点 と呼ばれます。[ 1 ]
楕円の短半径は、以下の距離の幾何平均です。
b = r 最大 r ミニ 。 {\displaystyle b={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}}.} 楕円の離心率は次のように定義される。
e = 1 − b 2 1 2 、 {\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},} それで
r ミニ = 1 （ 1 − e ） 、 r 最大 = 1 （ 1 + e ） 。 {\displaystyle r_{\text{min}}=a(1-e),\quad r_{\text{max}}=a(1+e).} 次に、極座標 で方程式を考えます。一方の焦点は原点にあり、もう一方の焦点はθ = π {\displaystyle \theta =\pi }
r （ 1 + e コス θ ） = ℓ 。 {\displaystyle r(1+e\cos \theta )=\ell .} 平均値r = ℓ / （ 1 − e ） {\displaystyle r=\ell /(1-e)} r = ℓ / （ 1 + e ） {\displaystyle r=\ell /(1+e)} θ = π {\displaystyle \theta =\pi } θ = 0 {\displaystyle \theta =0}
1 = ℓ 1 − e 2 。 {\displaystyle a={\frac {\ell }{1-e^{2}}}.} 楕円において、長半径は、中心から焦点までの距離と、中心から準線までの距離の幾何平均である。
楕円の短軸は、楕円の中心（焦点と焦点を結ぶ線上の、中心と焦点 の中間点）から楕円の縁まで伸びる線分です。短軸は長軸の半分の長さです。短軸は、楕円の縁上の2点を結ぶ、長軸に垂直な最長の線分です。
短軸b は、偏心率e と半正弦長 を介して長軸aと関連付けられる。 ℓ {\displaystyle \ell }
b = 1 1 − e 2 、 1 ℓ = b 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}} 放物線は 、一方の焦点を固定したまま、もう一方の焦点を任意の方向に遠くまで移動させる楕円列の極限として得られる。ℓ {\displaystyle \ell } a とb は 無限大に近づき、a は b よりも速く近づきます。
短半径の長さは、次の式を使用して求めることもできます。[ 2 ]
2 b = （ p + q ） 2 − f 2 、 {\displaystyle 2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},} ここで、 f は焦点間の距離、p とq はそれぞれの焦点から楕円内の任意の点までの距離である。
双曲線 双曲線 の長半径は、慣例によって、2 つの枝間の距離の半分をプラスまたはマイナスします。これがx 方向である場合、方程式は次のようになります。 [ 3 ]
（ x − h ） 2 1 2 − （ y − k ） 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.} 半直腸距と偏心率に関して言えば、
1 = ℓ e 2 − 1 。 {\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}.} 双曲線の横軸は長軸と一致する。[ 4 ]
双曲線において、長さの共役軸または短軸2 b {\displaystyle 2b} 頂点 (転換点) を結び、2 つの軸は双曲線の中心で交わります。端点は（ 0 、 ± b ） {\displaystyle (0,\pm b)} b です。半長軸の長さ（中心から頂点までの距離）をa とすると、半短軸と半長軸の長さは、これらの軸に関して双曲線の式に次のように現れます。
x 2 1 2 − y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.} 短半径は、双曲線の焦点の1つから漸近線までの距離でもあります。これはしばしば衝突パラメータ と呼ばれ、物理学や天文学において重要であり、焦点にある物体によって粒子の軌道が妨げられない場合に、粒子が焦点からどれだけずれるかを測定します。
短半径と長半径は、偏心率を介して次のように関連付けられます。
b = 1 e 2 − 1 。 {\displaystyle b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.} [ 5 ] 双曲線では、b は a より大きくなる可能性があることに注意してください。[ 6 ]
天文学
軌道周期 太陽系のいくつかの軌道の周期T と軌道長半径a (遠日点と近日点の平均)の対数-対数プロット(十字はケプラーの値を示す) は、 a 3 T 2 ケプラーの第 3 法則 は、この直線の傾きが特定の恒星系内では一定であり、主星 (ここでは太陽) の質量によって決まることを示しています。 宇宙力学 では、中心天体の周りを円軌道または楕円軌道で公転する小天体の公転周期 Tは次のようになります。 [ 1 ]
T = 2 π 1 3 μ 、 {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},} どこ：
a は軌道の長半径の長さであり、
与えられた長半径を持つすべての楕円について、軌道周期は離心率に関係なく同じであることに注意してください。
中心天体の周りを円軌道または楕円軌道で公転する小天体の比角運動量 hは [ 1 ]である。
h = 1 μ （ 1 − e 2 ） 、 {\displaystyle h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},} どこ：
と
μ {\displaystyle \mu } 上記で定義したとおり、
e は軌道の離心率である。
天文学 では、軌道長半径は軌道周期 とともに、軌道 の最も重要な要素 の1つです。太陽系の天体 の場合、軌道長半径はケプラーの第3法則 （元々は経験的に 導出された）によって軌道周期と関連付けられます。 [ 1 ]
T 2 ∝ 1 3 、 {\displaystyle T^{2}\propto a^{3},} ここで、 T は周期、a は半長軸です。この形式は、ニュートン によって決定された二体問題 の一般形式の簡略化であることがわかります。[ 1 ]
T 2 = 4 π 2 G （ M + m ） 1 3 、 {\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},} ここで、 G は重力定数 、M は中心天体の質量 、m は周回天体の質量である。通常、中心天体の質量は周回天体の質量よりもはるかに大きいため、m は無視できる。この仮定に基づき、一般的な天文学単位を用いると、ケプラーが発見したより単純な式が得られる。
軌道上の天体の重心 周りの軌道と主星に対する相対軌道はどちらも楕円である。[ 1 ] M ≫ m {\displaystyle M\gg m} 59 . 地球と月の特性距離、すなわち地心 月軌道の長半径は 384,400 km です。(月の軌道の離心率e = 0.0549 を考慮すると、短半径は 383,800 km です。したがって、月の軌道はほぼ円形です。)一方、重心 月軌道の長半径は 379,730 km で、地球の反軌道がその差である 4,670 km を占めます 。月の平均重心軌道速度は 1.010 km/s で、地球の平均重心軌道速度は 0.012 km/s です。これらの速度の合計は、地心月の平均軌道速度 1.022 km/s となります。 同じ値は、地心軌道の長半径の値だけを考慮しても得られる。
平均距離 半長軸は、楕円の主焦点と軌道上の天体との間の「平均」距離であるとよく言われます。しかし、これは必ずしも正確ではありません。なぜなら、平均を何について取るかによって結果が変わるからです。軌道上の天体の時間平均および角度平均距離は、離心率に応じて、軌道半長軸から50～100%変化する可能性があります。[ 7 ]
偏心近点角 に沿った距離を平均すると、確かに軌道長半径が得られます。真の近点角 （焦点で測定された真の軌道角）で平均化すると、短半径が得られます。b = 1 1 − e 2 {\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}} 平均近点角 （近点通過後経過した軌道周期の割合を角度で表したもの）で平均すると、時間平均が得られます。1 （ 1 + e 2 2 ） {\displaystyle a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,} 半径の逆数の時間平均値、r − 1 {\displaystyle r^{-1}} 1 − 1 {\displaystyle a^{-1}}
天体力学 では、軌道状態ベクトル から軌道長半径a を計算することができます。
1 = − μ 2 ε {\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}} 楕円軌道 の場合、慣例によっては、同じまたは
1 = μ 2 ε {\displaystyle a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}} 双曲線軌道 の場合、
ε = v 2 2 − μ | r | {\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}} （特定の軌道エネルギー ）および
μ = G M 、 {\displaystyle \mu =GM,} （標準重力パラメータ ）ここで：
v は軌道上の物体の速度ベクトル からの軌道速度です。r の座標 系における、周回物体の直交 位置ベクトル ですGは 重力定数 である。M は重力体の質量であり、ε {\displaystyle \varepsilon } 総質量が一定の場合、離心率や質量比に関わらず、比エネルギーと軌道長半径は常に同じであることに注意してください。逆に、総質量と軌道長半径が一定の場合、全比軌道エネルギーは 常に同じです。この記述は、いかなる条件下でも常に真です。
惑星の軌道は常に楕円の代表例として挙げられます（ケプラーの第一法則 ）。しかし、長半径と短半径の差が最小限であることから、実際にはほぼ円形に見えることがわかります。この差（または比率）は離心率に基づいており、次のように計算されます。1 b = 1 1 − e 2 {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}}
顕著な楕円軌道を仮定する理由は、おそらく遠日点と近日点の差がはるかに大きいことにある。その差（または比率）も離心率に基づいており、次のように計算される。r 1 r p = 1 + e 1 − e {\displaystyle {\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}} ケプラーの第二法則 は容易に視覚化できる。
1天文単位（AU）は1億4960万キロメートルに相当する。
参考文献 1 2 3 4 5 6 Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Fundamental Planetary Sciences: physics, chemistry, and habitability . New York: Cambridge University Press. pp. 24–31 . ISBN 9781108411981 。 ↑ 「楕円の長軸／短軸」、Math Open Reference、2013年5月12日。 ↑ Weisstein, Eric W. "Ellipse" . mathworld.wolfram.com . 2024年8月20日 取得 . ↑ 「7.1 代替特性評価」 。www.geom.uiuc.edu 。 2018年10月24日に オリジナルから アーカイブ済み 。 2007年9月6日 に取得。 ↑ 「軌道の幾何学：楕円 、 放物線、双曲線」 。www.bogan.ca 。 ↑ 「7.1 代替特性」 。 2018年10月24日に オリジナルからアーカイブ済み 。 2007年9月6日 に取得。 ↑ Williams, Darren M. (2003年11月). 「偏心軌道上の恒星と惑星間の平均距離」. American Journal of Physics . 71 (11): 1198–1200 . Bibcode : 2003AmJPh..71.1198W . doi : 10.1119/1.1578073 .
外部リンク 楕円の長半径と短半径（インタラクティブアニメーション付き）
