一般的な立場

代数幾何学および計算幾何学において、一般位置は、点の集合またはその他の幾何学的オブジェクトの一般性の概念です。これは、特殊位置と呼ばれる可能性のある、より特殊な場合や偶然の場合とは対照的に、一般的なケースの状況を意味します。その正確な意味は、設定によって異なります。

たとえば、一般的に、平面上の 2 本の線は 1 点で交差します (平行でも一致でもありません)。また、「2 本の一般的な線は 1 点で交差する」とも言われますが、これは一般的な点という概念によって形式化されます。同様に、平面上の 3 本の一般的な点は同一直線上にありません。3 本の点が同一直線上にある場合 (2 本の点が一致する場合はさらに強い)、これは退化したケースです。

この概念は数学とその応用において重要です。なぜなら、退化したケースでは例外的な処理が必要になる場合があるからです。たとえば、一般的な定理を述べるときや、その正確な記述を与えるとき、およびコンピュータ プログラムを書くときなどです(一般的な複雑性を参照)。

d次元アフィン空間（d次元ユークリッド空間が一般的な例）内の点の集合は、 そのうちのk個がk = 2, 3, ..., d + 1に対して( k − 2)次元平面内にない場合、一般線型位置（または単に一般位置）にあるという。これらの条件には相当な冗長性がある。なぜなら、条件がある値k ₀に対して成り立つ場合、 2 ≤ k ≤ k ₀であるすべてのkに対しても成り立つ必要があるからである。したがって、 d次元アフィン空間に少なくともd + 1個の点を含む集合が一般位置にあるためには、どの超平面もd個を超える点を含まない、つまり点がそれ以上の線型関係を満たさないだけで十分である。^[1]

一般線形位置にある最大d + 1個の点の集合もアフィン独立であると言われます(これはベクトルの線形独立性、より正確には最大ランクの線形独立性のアフィン類似物です)。また、アフィンd空間の一般線形位置にあるd + 1個の点はアフィン基底です。詳細については、アフィン変換を参照してください。

同様に、n次元ベクトル空間内のn個のベクトルが線型独立であるためには、それらが射影空間（ n −1次元）内で定義する点が一般線型位置にある必要がある。

点の集合が一般的な線形位置にない場合、それは退化したケースまたは退化した構成と呼ばれ、必ずしも成立するわけではない線形関係を満たすことを意味します。

基本的な応用としては、平面上で5 つの点が一般に直線位置にある限り（どの 3 つの点も同一直線上にない）、それらの点によって 円錐曲線が決定されるというものです。

この定義はさらに一般化することができ、固定されたクラスの代数的関係（例えば、円錐曲線）に関して一般的な位置にある点について話すことができます。代数幾何学では、点がそこを通過する曲線に 独立した条件を課すという点で、この種の条件は頻繁に発生します。

たとえば、5 つの点によって円錐曲線が決定されますが、一般に円錐曲線上には 6 つの点がないため、円錐曲線に関して一般的な位置にあるためには、円錐曲線上に 6 つの点がないことが必要になります。

一般的な位置は、双正則写像の下では保存されます。つまり、像点が関係を満たす場合、双正則写像の下ではこの関係を元の点に戻すことができます。重要なのは、ヴェロネーゼ写像が双正則であるということです。ヴェロネーゼ写像の下の点は、その点で次数d の多項式を評価することに対応するため、一般的な位置にある点は、そこを通過する多様体に独立した線形条件を課すという概念が形式化されます。

一般的な位置の基本条件は、点が必要な次数よりも低い部分多様体上にないことです。平面では 2 つの点が一致せず、3 つの点が直線上になく、6 つの点が円錐上になく、10 の点が三次曲線上になく、高次についても同様です。

しかし、これだけでは十分ではありません。9 つの点によって 3 次方程式が決定されますが、3 次方程式に関して特別な 9 つの点の構成、つまり 2 つの 3 次方程式の交差があります。2 つの 3 次方程式の交差は点 (ベズーの定理による) であり、一般的な位置にある 9 つの点が 1 つの 3次方程式に含まれる点で特別です。一方、9 つの点が 2 つの 3 次方程式に含まれる場合は、実際には3 次方程式のペンシル(1 パラメータ線形システム) に含まれ、その方程式は 2 つの 3 次方程式の射影線形結合です。したがって、このような点の集合は、それらを含む 3 次方程式に予想よりも 1 つ少ない条件を課し、それに応じて追加の制約、つまり8 つの点を含む 3 次方程式には必ず 9 番目が含まれるというケーリー - バカラックの定理を満たします。同様のことが高次数にも当てはまります。 ${\displaystyle 3\times 3=9}$

平面または代数曲線上の点の場合、一般位置の概念は、正則因子の概念によって代数的に明確化され、関連する直線束の高層コホモロジー群(正式には可逆層) が消失することによって測定されます。用語が示すように、これは直感的な幾何学的図よりもはるかに専門的であり、交差数の正式な定義に高度な代数が必要であるのと似ています。この定義は、点の集合ではなく、高次元の超曲面 (余次元 1 の部分多様体) に一般化され、正則因子は、曲面 のリーマン・ロッホの定理で説明されているように、過剰因子と対比されます。

一般位置にあるすべての点が射影的に同値であるとは限らないことに注意してください。これは、より強い条件です。たとえば、直線上の任意のk個の異なる点は一般位置にありますが、射影変換は 3 推移的であり、4 点の不変量は複比です。

異なる幾何学では、異なる幾何学的制約の概念が認められます。たとえば、円はユークリッド幾何学では意味のある概念ですが、アフィン線型幾何学や射影幾何学では意味がありません。アフィン線型幾何学や射影幾何学では、円を楕円に押し込める可能性があるため、円と楕円を区別できません。同様に、放物線はアフィン幾何学では概念ですが、射影幾何学では概念ではありません。射影幾何学では、放物線は単に円錐曲線の一種です。代数幾何学で圧倒的に多く使用されている幾何学は射影幾何学であり、アフィン幾何学は重要ですが、使用頻度ははるかに低いです。

したがって、ユークリッド幾何学では、3 つの非共線的な点が円 (それらが定義する三角形の外接円として) を決定しますが、一般に 4 つの点は円 (共線的な点が定義する三角形の外接円として) を決定します。したがって、「円に関する一般的な位置」、つまり「円上に 4 つの点は存在しない」という概念は意味をなします。これに対して、射影幾何学では、円は円錐曲線と区別されず、5 つの点が円錐曲線を決定するため、「円に関する一般的な位置」という射影的な概念は存在しません。

一般位置は、点の配置、またはより一般的には他の部分多様体（一般的な位置にある直線、したがって 3 つの同時性がないことなど）の特性です。一般位置は外部概念であり、部分多様体としての埋め込みに依存します。非公式には、部分多様体は、他の部分多様体よりも簡単に記述できない場合に、一般位置にあります。一般位置の本質的な類似体は一般型であり、他の部分多様体よりも単純な多項式方程式で記述できない多様体に対応します。これは、多様体のKodaira 次元の概念によって形式化され、この基準では、射影空間が最も特殊な多様体ですが、同様に特殊な多様体、つまり負の Kodaira 次元を持つ多様体も存在します。代数曲線の場合、結果として得られる分類は、射影直線、トーラス、高種数面（）であり、同様の分類は高次元でも発生し、特に代数面のEnriques–Kodaira 分類が挙げられます。 ${\displaystyle g\geq 2}$

代数幾何学と幾何学的位相幾何学の両方における交差理論では、横断性という類似の概念が使用されています。一般に、部分多様体は、接線やその他の高次の交差ではなく、横断的に交差し、つまり重複度が 1 になります。

平面上のボロノイ分割とドロネー三角形分割について議論する場合、平面上の点の集合は、そのうちの 4 つが同じ円上になく、かつ 3 つが同一線上にない場合のみ、一般位置にあると言われます。ドロネー三角形分割を凸包の下半分に関連付ける通常のリフティング変換 (つまり、各点pに | p | ²に等しい追加の座標を与える) は、平面図への接続を示します。つまり、4 つの点が円上にあるか、または 3 つの点が同一線上にある場合、持ち上げられた対応する点が一般線上に ないことになります。

非常に抽象的な言葉で言えば、一般位置は配置空間の一般的な性質についての議論です。この文脈では、配置空間の一般的な点、または同等にザリスキ開集合上で保持される性質を意味します。

この概念は、測度論の「ジェネリック」の概念と一致しており、配置空間上のほぼすべての場所、またはランダムに選択された点がほぼ確実に（確率 1 で）一般的な位置にあることを意味します。

• イェール、ポール B. (1968)、幾何学と対称性、ホールデンデイ