奇数性（数学）

様々な離心率を持つ円錐曲線群は、焦点 $F$ と準線 $L$ を共有しており、楕円（赤、 $e = 1/2$ ）、放物線（緑、 $e = 1$ ）、双曲線（青、 $e = 2$ ）などが含まれる。この図の離心率 $0の円錐曲線は焦点を中心とする$ 微小円であり、離心率 $\infty$ の円錐曲線は微小に離れた2本の直線で構成されている。
有限半径の円は無限遠に準線を持ち、有限間隔の2本の直線は無限遠に焦点を持つ。

数学において、円錐曲線の離心率は、その形状を一意に特徴づける非負の実数である。離心率は、円錐曲線が円形からどれだけずれているかを示す尺度と考えることができる。具体的には、次のようになる。

円の離心率は0です。
非円形楕円の離心率は0から1の間である。
放物線の離心率は1です。
双曲線の離心率は1より大きい。
一対の直線の偏心度は $\infty .$ ^{[ a ]}

同じ離心率を持つ2つの円錐曲線は相似である。

定義

円錐曲線は、ある点（焦点）と直線（準線）までの距離の比が一定である点の軌跡として定義できます。この比は離心率と呼ばれ、一般に $e$ で表されます。

偏心率は、円錐曲線に関連付けられた平面と二重円錐の交点によって定義することもできます。円錐の軸が垂直になるように配置されている場合、偏心率は^{[ 1 ]となります。}

e={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }},\ \ 0<\alpha <90^{\circ },\ 0\leq \beta \leq 90^{\circ }\ ,

ここで、βは平面と水平面との間の角度であり、αは円錐の傾斜母線と水平面との間の角度である。 $\beta =0$ 平面断面は円なので、 $\beta =\alpha$ 放物線。（平面は円錐の頂点と交わってはならない。）

楕円または双曲線の線形離心率（c または f または e で表される）は $、$ その $中心$ と $2つの$ 焦点のいずれかとの間の距離です。離心率は、線形離心率と長半径 $a$ の比として定義できます。つまり、 $e={\frac {c}{a}}$ （中心がないため、放物線の線形離心率は定義されません。）放物線は、楕円または無限遠に焦点を持つ双曲線の極限として扱うことができます。

別名

離心率は、楕円に対して定義される第2離心率および第3離心率と区別するために、第1離心率と呼ばれることもあります（下記参照）。また、離心率は数値離心率と呼ばれることもあります。

楕円や双曲線の場合、線形離心率は半焦点距離と呼ばれることもあります。

表記法

一般的に使用されている表記法は3つあります。

$e$ は偏心率、 $c$ は線形偏心率を表す。
$ε$ は偏心率、 $e$ は線形偏心率を表す。
偏心率の場合は $e$ または $ϵ<$ 、線形偏心率の場合は $f (半$ 焦点距離 f の覚え方) を使用します。

この記事では最初の表記法を使用します。

価値観

標準フォーム

ここで、楕円と双曲線の場合、 $a$ は長半径の長さ、 $b$ は短半径の長さである。

一般形式

円錐曲線が一般二次形式で与えられる場合

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,

円錐曲線が放物線（離心率が 1 に等しい）でもなく、退化双曲線または退化楕円でもなく、虚数楕円でもない場合、次の式は離心率 $eを与えます。$ ^[²^]

e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}}

どこ $\eta =1$ 3×3行列の行列式が

{\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}

負または $\eta =-1$ その決定要因が正の場合。

楕円

楕円の離心率は厳密に1未満です。円（離心率が0）を楕円として数える場合、楕円の離心率は0以上になります。円を特別なカテゴリとして扱い、楕円のカテゴリから除外する場合、楕円の離心率は厳密に0より大きくなります。

任意の楕円について、長半径をa $、$ 短半径を $b$ とする。楕円の中心を原点とし、 $x$ 軸を長軸に沿わせた座標系において、楕円上の点は次の式を満たす。

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,

座標に焦点を持つ $(\pm c,0)$ のために ${\textstyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}.}$

関連する追加概念をいくつか定義します（楕円のみ）。

楕円の離心率を求めるその他の公式

楕円の離心率は、最も単純に言えば、線形離心率 $c$ (楕円の中心と各焦点間の距離) と長半径 $a$ の長さの比です。

e={\frac {c}{a}}.

離心率は、軌道長半径 $a と$ 中心から準線までの距離 $dの比でもあります。$

e={\frac {a}{d}}.

偏心率は扁平率 $f$ (次のように定義される)で表すことができる。 $f=1-b/a$ 長半径 $a$ と短半径 $b$ について):

e={\sqrt {1-(1-f)^{2}}}={\sqrt {f(2-f)}}.

$（ fが$ 線形偏心率である場合、一部の分野では扁平率を $g$ で表すことがある。）

最大半径と最小半径を定義する $r_{\text{max}}$ そして $r_{\text{min}}$ は、それぞれの焦点から楕円までの最大距離と最小距離（つまり、それぞれの焦点から長軸の両端までの距離）として定義されます。すると、半長軸が $a$ の場合、離心率は次のように与えられます。

e={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}}={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{2a}},

これは焦点間の距離を長軸の長さで割った値です。

双曲線

双曲線の離心率は、1より大きい任意の実数であり、上限はありません。直角双曲線の離心率は ${\sqrt {2}}$ 。

方程式で与えられる双曲線の場合 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ 奇抜さをもって $e$ その共役双曲線は次のように与えられる。 ${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1$ 共役双曲線の離心率が $e'$ 両者は次の式で関係づけられる。 ${\frac {1}{e^{2}}}+{\frac {1}{(e')^{2}}}=1$ これは、それぞれの定義から明らかです。 $e^{2}=1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}$ そして $(e')^{2}=1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}={\frac {b^{2}+a^{2}}{b^{2}}}$ これから、 ${\frac {1}{e^{2}}}={\frac {a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$ そして ${\frac {1}{(e')^{2}}}={\frac {b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$ 、そしてこれら 2 つの式の合計は 1 です。この関係から、 $e$ そして $e'$ より大きくなければならない ${\sqrt {2}}$ そしてもう一方の小さいものは、 $a=b$ この場合、両方とも等しくなります。 ${\sqrt {2}}$ 。

二次曲面

3次元二次曲面の離心率は、その曲面の指定された断面の離心率です。例えば、三軸楕円体の場合、子午線方向の離心率は、最長軸と最短軸の両方を含む断面（そのうちの1つは極軸）によって形成される楕円の離心率であり、赤道方向の離心率は、極軸に垂直な中心を通る断面（つまり赤道面）によって形成される楕円の離心率です。ただし、円錐曲線は、より高次の曲面にも現れることがあります（図を参照）。

天体力学

天体力学では、球状ポテンシャル内の束縛軌道の場合、上記の定義は非公式に一般化されます。遠点距離が近点距離に近い場合、軌道は離心率が低いと言われ、両者が大きく異なる場合、軌道は離心しているか、離心率が1に近いと言われます。この定義は、ケプラーの楕円の離心率の数学的定義と一致します。 $1/r$ 可能性。

類似の分類

数学における多くの分類法は、円錐曲線の離心率による分類から派生した用語を使用している。

SL ₂ (R)の要素を楕円型、放物型、双曲型に分類し、同様にPSL _{2 (R) の}要素を実メビウス変換として分類します。
分散対平均比による離散分布の分類。詳細は、いくつかの離散確率分布のキュムラントを参照のこと。
偏微分方程式の分類は円錐曲線の分類に類似している。楕円型、放物型、双曲型の偏微分方程式を参照のこと。^{[ 3 ]}

参考文献

↑ Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1979), Calculus and Analytic Geometry (fifth ed.), Addison-Wesley, p. 434. ISBN 0-201-07540-7
↑ Ayoub, Ayoub B.、「円錐曲線の偏心率」、 The College Mathematics Journal 34(2)、2003年3月、116-121。
↑ 「2つの独立変数における線形偏微分方程式の分類」。 2013年7月2日取得。

↑二重線である退化円錐曲線の極限離心率は 1 であり、これは半短軸と半長軸の比がゼロに近づく楕円の極限である ( $b/a\to 0$ )、奇抜さ $e={\sqrt {1-(b/a)^{2}}}\to 1$ これは双曲線の極限についても同様である。 $b/a\to 0$ 奇抜さ $e={\sqrt {1+(b/a)^{2}}}\to 1$ しかし、交差する2本の直線である退化円錐曲線の極限離心率は $\sec \alpha$ 、どこ $2\alpha$ これは線と線の間の角度です。 $e$ 無限大になるとき $2\alpha =\pi$ これは双曲線を考察することで理解できる。 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ その漸近線は交差する線である $y=\pm {\frac {b}{a}}x$ 角度 $2\alpha$ 漸近線間の距離は次のように表される。 $\tan \alpha =b/a$ 双曲線の離心率は $e={\sqrt {1+(b/a)^{2}}}={\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}=\sec \alpha$ 双曲線が漸近線に退化しても、離心率は変わらない。 $\sec \alpha$ 。