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イスラム黄金時代、特に9世紀と10世紀の数学は、ギリシャ数学（ユークリッド、アルキメデス、アポロニウス）とインド数学（アーリヤバタ、ブラフマグプタ）の統合に基づいて構築されました。この時代の重要な発展には、位取り記数法の拡張による小数点の導入、代数学の体系的な研究、幾何学と三角法の進歩などがあります。[ 1 ]
中世イスラム世界では、数学において著しい発展が見られた。ムハンマド・イブン・ムーサー・アル＝フワーリズミーはこの変革において重要な役割を果たし、9世紀に代数学を独立した分野として導入した。アル＝フワーリズミーのアプローチは、それまでの算術の伝統から脱却し、代数学の算術化の基礎を築き、長期間にわたって数学思想に影響を与えた。アル＝カラジなどの後継者たちは彼の業績を発展させ、様々な数学分野の進歩に貢献した。これらの数学的手法の実用性と幅広い適用性により、アラビア数学が西洋に広まり、西洋数学の発展に大きく貢献した。[ 2 ]
中世において、アラビアの数学知識は、アル・フワーリズミーの方法の実践的な応用を契機として、様々な経路を通じて広まった。この普及は、経済的・政治的要因だけでなく、十字軍や翻訳運動などの文化交流によっても影響を受けた。8世紀から14世紀にかけてのイスラム黄金時代は、様々な科学分野において著しい進歩を遂げた時代であり、中世ヨーロッパから多くの学者がこの知識を求めて集まってきた。交易路や文化交流は、アラビアの数学思想を西洋に紹介する上で重要な役割を果たした。14世紀から17世紀にかけてのアラビアの数学文献の翻訳は、ギリシャやローマの著作の翻訳とともに、ルネサンスの知的景観を形成する上で極めて重要な役割を担った。
アラビアの数学、特に代数学は中世に大きく発展した。ムハンマド・イブン・ムーサー・アル＝フワーリズミー（アラビア語: محمد بن موسى الخوارزمي、780年頃- 850年頃）が813年から833年にかけてバグダッドで行った研究は転換点となった。彼は著書「Kitab al-jabr wa al-muqabala」の題名に「代数学」という用語を導入し、それを独立した学問分野として位置づけた。彼は自身の研究を「算術において最も容易で有用なものに限定した、（計算の）完成と還元の規則に関する短い研究」とみなした。[ 3 ]
アル・フワーリズミーのアプローチは、ディオファントスの伝統を含む、それまでのいかなる「算術」の伝統からも生まれたものではないという点で画期的でした。彼は代数のための新しい語彙を開発し、純粋に代数的な用語と算術と共通する用語を区別しました。アル・フワーリズミーは、数の表現が日常生活において重要であることに気付きました。そのため、彼は数学的操作を簡略化する方法、いわゆる代数を見つけようとしました。[ 3 ]彼の代数は当初、一次方程式と二次方程式、および二項式と三項式の初等算術に焦点を当てていました。根号と関連する代数計算を使用して方程式を解くこのアプローチは、彼の死後も長い間、数学的思考に影響を与えました。
アル・フワーリズミーによる (ax 2 + bx = c)の形の二次方程式を解く規則の証明は、一般に「平方根が数に等しい」と呼ばれ、代数学の歴史における記念碑的な業績でした。この画期的な発見は、二次方程式を解くための体系的なアプローチの基礎を築き、西洋世界で発展する代数学の基本的な側面となりました。[ 4 ]平方完成を伴うアル・フワーリズミーの方法は、この種の方程式の実用的な解法を提供するだけでなく、数学の問題に対する抽象的で一般化されたアプローチも導入しました。彼の業績は、彼の代表作である「アル・キタブ・アル・ムフタサル・フィ・ヒサブ・アル・ジャブル・ワル・ムカバラ」（平方完成とバランスによる計算に関する簡潔な書）にまとめられ、12 世紀にラテン語に翻訳されました。この翻訳は、代数知識をヨーロッパに伝える上で極めて重要な役割を果たし、ルネサンス期の数学者たちに大きな影響を与え、近代数学の発展を形作った。[ 4 ]
アラビア数学が西洋に広まったのは、いくつかの要因によるものでした。特に注目すべきは、アル＝フワーリズミーの方法の実用性と幅広い適用性です。これらの方法は、数値問題や幾何学問題を標準形式の方程式に変換し、標準的な解法式を導きました。彼の業績は、アル＝カラジなどの後継者の業績とともに、数論、数値解析、有理ディオファントス解析など、さまざまな数学分野の進歩の基礎を築きました。[ 5 ]
アル＝フワーリズミーの代数学は、歴史的視点を持つ独立した学問分野であり、最終的には「代数学の算術化」へとつながった。彼の後継者たちは、彼の業績を発展させ、新たな理論的・技術的課題に対応させ、抽象的な代数計算をより算術的な方向へと再編成した。
アラビア数学は、数学の発展において極めて重要な役割を果たした。その西洋への伝播は、西洋数学に大きな影響を与えた。
イスラム黄金時代（8世紀から14世紀）として知られる時代は、数学を含む様々な分野で著しい進歩が見られた時代でした。イスラム世界の学者たちは、数学、天文学、医学、その他の科学に多大な貢献をしました。その結果、イスラム世界の学者たちの知的業績は、この豊富な知識にアクセスしようとした中世ヨーロッパの学者たちの注目を集めました。シルクロードなどの交易路は、東西間の物資、思想、知識の移動を促進しました。バグダッド、カイロ、コルドバなどの都市は学問の中心地となり、様々な文化的背景を持つ学者を引きつけました。そのため、イスラム世界の数学的知識は様々な経路を通じてヨーロッパに伝わりました。一方、十字軍は西ヨーロッパ人とイスラム世界を結びつけました。十字軍の主な目的は軍事的なものでしたが、文化交流や数学を含むイスラムの知識への接触も行われました。聖地やイスラム世界の他の地域を旅したヨーロッパの学者たちは、アラビア語の写本や数学論文に触れる機会を得た。14世紀から17世紀にかけて、アラビア語の数学文献は、ギリシャ語やローマ語の文献とともに、ルネサンス期の知的景観を形成する上で重要な役割を果たした。北アフリカや中東で学んだフィボナッチのような人物は、アラビア数字や数学概念をヨーロッパに導入し、普及させるのに貢献した。
代数学の研究は、その名前が「完成」または「壊れた部分の再結合」を意味するアラビア語に由来しており、 [ 6 ]イスラム黄金時代に隆盛を極めた。バグダッドの知恵の館に所属していたアラブの学者ムハンマド・イブン・ムーサー・アル＝フワーリズミーは代数学の創始者であり、ギリシャの数学者ディオファントスと並んで代数学の父として知られている。アル＝フワーリズミーは著書『完成とバランスによる計算の簡約書』の中で、 1次および2次（線形および二次）多項式方程式の正の根を求める方法を扱っている。彼は還元法を導入し、ディオファントスとは異なり、扱っている方程式の一般解も示している。[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]
アル＝フワーリズミーの代数学は修辞的であり、方程式は完全な文章で記述されていた。これは、シンコペーション的であり、何らかの記号が用いられたディオファントスの代数学とは異なっていた。記号のみを用いる記号代数学への移行は、イブン・アル＝バンナー・アル＝マッラクシーとアブー・アル＝ハサン・イブン・アリー・アル＝カラサーディーの著作に見られる。[ 10 ] [ 9 ]
アル・フワーリズミーの業績について、JJ オコナーとエドマンド F. ロバートソンは次のように述べている。[ 11 ]
アラビア数学における最も重要な進歩の一つは、おそらくこの時期にアル＝フワーリズミーの研究、すなわち代数学の始まりによってもたらされたと言えるでしょう。この新しい概念がどれほど重要であったかを理解することは非常に重要です。それは、本質的に幾何学であったギリシャの数学概念からの革命的な転換でした。代数学は、有理数、無理数、幾何学的量などをすべて「代数的対象」として扱うことを可能にする統一理論でした。それは数学に、それまで存在していた概念よりもはるかに広範な、全く新しい発展の道筋を与え、将来の数学の発展のための基盤となりました。代数学の概念の導入におけるもう一つの重要な側面は、それまでになかった方法で数学を数学自身に適用することを可能にしたことです。
この時期、他にも数人の数学者がアル・フワーリズミーの代数学を発展させた。アブー・カーミル・シュジャーは、幾何学的な図解と証明を添えた代数学の本を著した。彼はまた、いくつかの問題に対する可能な解をすべて列挙した。アブー・アル・ジュード、オマル・ハイヤーム、シャラフ・アル・ディーン・アル・トゥースィーは、三次方程式のいくつかの解を発見した。オマル・ハイヤームは、三次方程式の一般的な幾何学的解を発見した。
オマル・ハイヤーム（イランで1038/48年頃生まれ、1123/24年没）[ 12 ]は、アル＝フワーリズミーの代数学を超えて、3次方程式の体系的な解法を含む代数学の問題の証明に関する論文を書いた。 [ 13 ]ハイヤームは、2つの円錐曲線の交点を見つけることでこれらの方程式の解を得た。この方法はギリシャ人によって使用されていたが[ 14 ] 、彼らはこの方法を正の根を持つすべての方程式に一般化することはなかった。[ 13 ]
シャラフ・アル＝ディーン・アル＝トゥースィー（イラン、トゥース生まれ、1213/4年）は、三次方程式の研究に斬新なアプローチを開発した。このアプローチは、三次多項式が最大値をとる点を見つけることを伴うものであった。例えば、方程式を解くには、aとbが正の場合、曲線の最大点は発生するそして、その点における曲線の高さがaより小さいか、等しいか、大きいかによって、方程式には解がない、1 つの解がある、または 2 つの解があるということである。彼の現存する著作には、これらの曲線の最大値の公式をどのように発見したかを示すものは何もない。彼の発見を説明するために、さまざまな推測が提案されている。[ 15 ]
数学的帰納法の最も初期の痕跡は、ユークリッドによる素数の数が無限であるという証明（紀元前300年頃）に見られる。帰納法の原理を初めて明示的に定式化したのは、パスカルの著書『三角形算術論』 （1665年）である。
その間、アル・カラジ（紀元1000年頃）によって等差数列に対する暗黙の帰納法が導入され、アル・サマーウアルによって引き継がれ、彼はそれを二項定理の特殊な場合やパスカルの三角形の性質に適用した。
ギリシャ人は無理数を発見したが、それを満足せず、大きさと数を区別することによってのみ対処できた。ギリシャ人の考えでは、大きさは連続的に変化し、線分などの実体に使用できるのに対し、数は離散的であった。したがって、無理数は幾何学的にしか扱うことができず、実際、ギリシャの数学は主に幾何学的であった。アブー・カーミル・シュジャー・イブン・アスラムやイブン・ターヒル・アル＝バグダーディーなどのイスラムの数学者たちは、徐々に大きさと数の区別を取り除き、無理数が方程式の係数として現れ、代数方程式の解となることを許容した。[ 16 ] [ 17 ]彼らは無理数を数学的対象として自由に扱ったが、その性質を詳しく調べることはなかった。[ 18 ]
12 世紀には、アル・フワーリズミーのインド数字に基づく算術のラテン語訳によって、十進位取り記数法が西洋世界に紹介された。[ 19 ]彼の『補完と均衡による計算に関する簡潔な書』は、線形方程式と二次方程式の最初の体系的な解法を示した。ルネサンス期のヨーロッパでは、彼は代数学の最初の発明者と考えられていたが、現在では彼の研究はより古いインドまたはギリシャの資料に基づいていることが知られている。[ 20 ] [ 21 ]彼はプトレマイオスの地理を改訂し、天文学と占星術について書いた。しかし、CA ナリノは、アル・フワーリズミーの元の研究はプトレマイオスではなく、派生した世界地図に基づいていたと示唆している。 [ 22 ]おそらくシリア語かアラビア語で書かれたものと思われる。
球面正弦法則は10世紀に発見されました。アブ・マフムード・ホジャンディ、ナスィール・アルディン・アルトゥースィー、アブ・ナスル・マンスールなど様々な人物に帰属され、アブ・アルワファ・ブズジャーニーも貢献者として挙げられています。[ 16 ] 11世紀のイブン・ムアーズ・アルジャヤニーの『球面の未知の弧の書』では、一般正弦法則が紹介されました。[ 23 ]平面正弦法則は13世紀にナスィール・アルディン・アルトゥースィーによって記述されました。彼の『扇形について』では、平面三角形と球面三角形の正弦法則を述べ、この法則の証明を提供しました。[ 24 ]
9世紀、イスラムの数学者たちはインドの数学者の著作を通して負の数に馴染みがあったが、この時期の負の数の認識と使用は控えめだった。[ 25 ]アル・フワーリズミーは負の数や負の係数を使用しなかった。[ 25 ]しかし50年以内に、アブー・カーミルは乗法の展開における符号の規則を示した。[ 26 ]アル＝カラジは著書『アル＝ファフリー』の中で「負の数量は項として数えなければならない」と記している。[ 25 ] 10世紀には、アブー・アル＝ワファー・アル＝ブズジャーニーが著書『書記と商人のための算術の科学から必要なものについての書』の中で、負債を負の数として扱っている。[ 26 ]
12世紀までに、アル＝カラジの後継者たちは符号の一般規則を述べ、それを用いて多項式の除算を解くようになった。[ 25 ]アル＝サマーウアルは次のように記している。
負の数 ( al-nāqiṣ)と正の数 ( al-zāʾid)の積は負であり、負の数による積は正である。より大きな負の数から負の数を引くと、余りはそれらの負の差となる。より小さな負の数から負の数を引くと、差は正のままである。正の数から負の数を引くと、余りはそれらの正の和となる。空のべき乗 ( martaba khāliyya ) から正の数を引くと、余りは同じ負の数となり、空のべき乗から負の数を引くと、余りは同じ正の数となる。[ 25 ]
9世紀から10世紀にかけて、エジプトの数学者アブ・カミルは、二重偽位置法の使用に関する論文を著したが、これは現在失われており、『二つの誤りの書』（Kitāb al-khaṭāʾayn ）として知られている。中東で現存する二重偽位置法に関する最古の著作は、レバノンのバールベク出身のアラブの数学者クスタ・イブン・ルカ（10世紀）によるものである。彼は、形式的なユークリッド幾何学の証明によってこの手法を正当化した。黄金時代のイスラム数学の伝統では、二重偽位置法はヒサーブ・アル・カタアイン（「二つの誤りによる計算」）として知られていた。これは、商業や法律上の問題（コーランの相続規則に従った財産分割）などの実際的な問題や、純粋に娯楽的な問題を解決するために何世紀にもわたって使用された。このアルゴリズムは、イブン・アル＝ヤサミンに帰せられる詩や、モロッコ出身の数学者であるアル＝ハッサールとイブン・アル＝バンナによって説明された天秤の図などの記憶術を用いて暗記されることが多かった。[ 27 ]
中世アラブ・イスラム数学が世界の他の地域に及ぼした影響は、科学と数学の両方の領域において広範囲かつ深いものです。アラブ人の知識は、翻訳運動を通じてスペインとシチリアを経由して西洋世界に伝わりました。「ムーア人（かつてモーリタニアとして知られていた北アフリカの一部出身の西方のイスラム教徒）は、7世紀初頭にスペインに渡り、アラブ世界の文化的資源をもたらしました。」[ 28 ] 13世紀には、カスティーリャ王アルフォンソ10世がカスティーリャ王国にトレド翻訳学校を設立し、学者たちがアラビア語からラテン語に数多くの科学的および哲学的著作を翻訳しました。翻訳には、ヨーロッパの数学者や天文学者の研究に役立つイスラムの三角法への貢献も含まれています。クレモナのジェラール（1114～1187）のようなヨーロッパの学者たちは、これらの著作の翻訳と普及に重要な役割を果たし、より広い読者層にそれらを届けました。クレモナは「90以上の完全なアラビア語のテキスト」をラテン語に翻訳したと言われています。[ 28 ]ヨーロッパの数学者たちは、イスラムの学者たちが築いた基礎の上に、航海、地図作成、天体航法への応用に向けて実用的な三角法をさらに発展させ、発見の時代と科学革命を前進させました。航海と天文学への三角法の実際的な応用は、大航海時代にますます重要になりました。
アル・バッターニーは、三角法の発展に大きく貢献したイスラム数学者の一人です。彼は「新しい三角関数を考案し、余接表を作成し、球面三角法のいくつかの公式を作成した」[ 29 ] 。これらの発見は、正確さで称賛されている彼の天文学的業績とともに、天文学的計算と機器を大きく進歩させました。
アル＝ハイヤーム（1048年 - 1131年）はペルシャの数学者、天文学者、詩人で、代数学と幾何学、特に三次方程式の解の研究で知られています。彼は「次数が 3 以下の方程式の幾何学的理論を初めて体系化した人物」であり[ 30 ] 、解析幾何学の創始者とみなされることが多いフランスの数学者デカルトの研究に大きな影響を与えました。実際、「デカルトの『幾何学』を読むことは、アル＝ハイヤームとアル＝トゥーシーに遡り、ニュートン、ライプニッツ、クラーマー、ベズー、ベルヌーイ兄弟に遡ることを意味します」[ 30 ] 。 『幾何学』に登場する多くの問題は、アル＝ハイヤームにまで遡る基礎を持っています。
アブー・カーミル（アラビア語: أبو كامل شجاع بن أسلم بن محمد بن شجاع、別名アル＝ハーシブ・アル＝ミスリー、直訳すると「エジプトの計算機」）（850年頃 - 930年頃）は、『代数学』の著者アル＝フワーリズミーに倣って代数学を研究した。彼の著書『代数学の書』（Kitāb fī al-jabr wa al-muqābala）は、「本質的にはアル＝フワーリズミーの著作に対する注釈と詳細な解説であり、その理由と本書自体の価値の両方から、イスラム世界で広く人気を博した」。[ 28 ]本書には69問の問題が含まれており、これはアル・フワーリズミーの著書の40問よりも多い。[ 28 ]アブー・カーミルの『代数学』は、西洋数学の軌跡を形成する上で重要な役割を果たしており、特にイタリアの数学者レオナルド・ディ・ピサ（フィボナッチとして広く知られている）の業績に影響を与えている。フィボナッチは『算盤の書』 （1202年）で、アラビアの数学者のアイデアを幅広く取り入れ、『代数学の書』から約29問をほとんど修正せずに使用した。[ 28 ]
アラビアの数学者たちが代数学と代数幾何学の発展において基礎的な業績を残したにもかかわらず、18世紀から19世紀初頭にかけての西洋の歴史家たちは、古典科学と数学は西洋特有の現象であると依然として考えていた。アラビアの数学者による数学への貢献が時折認められることはあったものの、それらは「歴史の外にあるか、あるいは本質的にヨーロッパ的な科学に貢献したという点においてのみ歴史に組み込まれている」[ 31 ]とみなされ、全く新しい数学の分野を開拓したというよりは、ギリシャの遺産に対する単なる技術革新とみなされていた。フランスの哲学者エルネスト・ルナンの著作では、アラビアの数学は単に「ペルシャとインドの影響を受けたギリシャの反映」に過ぎないとされている。また、デュエムによれば、「アラビアの科学はギリシャの科学から受け継いだ教えを再現したに過ぎない」。アラビアの数学者の数学作品は、ギリシャ古典科学の偉大な伝統に対する取るに足らない追加や反映に過ぎないと見なされるだけでなく、厳密さに欠け、実用的な応用や計算に偏りすぎているという批判も受けており、これが西洋の歴史家がアラビアの数学者はギリシャの数学者のレベルには決して達することができないと主張した理由である。[ 31 ]タンネリーが書いたように、アラビアの数学は「ディオファントスが達成したレベルを決して凌駕するものではなかった」。一方、西洋の数学者は、採用した方法と最終的な目的の両方において、全く異なる道を歩んだと認識されており、「ギリシャ起源の西洋科学の特徴は、近代ルネサンスにおいても、厳密な基準への適合である」[ 31 ] 。このように、アラビアの数学者の著書における厳密でないと認識された証明は、ブルバキが代数学の進化をたどる際にアラビア時代を除外することを正当化する根拠となっている。[ 31 ]その代わりに、古典代数学の歴史はルネサンスの業績として書かれ、代数幾何学の起源はデカルトに遡るとされ、アラビアの数学者の貢献は無視されている。ラシェドの言葉を借りれば、「アラビア語で書かれた科学を科学史から除外することを正当化するために、厳密さの欠如、計算的な外観、実用的な目的が持ち出される。さらに、ギリシャの科学に厳密に依存し、最後に実験規範を導入することができなかった当時の科学者は、ヘレニズム博物館の良心的な守護者の役割に追いやられた。」[ 31 ]
18世紀のドイツとフランスでは、東洋主義の主流の見解は「東洋と西洋は地理的な対立ではなく、歴史的な肯定性として対立する」[ 31 ]というもので、「合理主義」を西洋の本質と位置づけていた。一方、19世紀に現れた「東洋への呼び声」運動は「合理主義への反抗」 [ 31 ]であり、より「精神的で調和のとれた」生活様式への回帰と解釈された。このように、当時の東洋主義の主流は、西洋以外の地域の人々は数学や科学に重要な貢献をするために必要な合理性や科学的精神を欠いていると考えられていたため、アラビアの数学者の貢献がしばしば無視された主な理由の一つであった。
{{cite report}}: CS1メンテナンス: DOIは2025年9月現在非アクティブです（リンク）{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）{{cite book}}: CS1 maint: 発行元の場所がありません (リンク) Sowjetische Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaft ページ 62–160。{{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)