円形の無限遠点

射影幾何学において、円の無限遠点 （巡回点または等方点とも呼ばれる）は、あらゆる実円の複素化に含まれる複素射影平面上の2 つの特別な無限遠点です。

複素射影平面上の点は、複素数の組( x  : y  : z )である同次座標で記述できます。この場合、2 つの組は、同じ非ゼロ係数を乗じる以外は 1 つの組の座標がもう 1 つの組の座標と同じである場合に、平面上の同じ点を表します。このシステムでは、無限遠点は、z座標がゼロである点として選択できます。無限遠点の 2 つの円点は、これらの 2 つであり、通常は同次座標を持つ点と見なされます。

(1 : i : 0)かつ(1 : −i : 0)。

基準三角形 ABC の頂点角の寸法をA . B . Cとします。基準三角形の平面内の無限遠にある円の点の 三線座標は次のようになります。

${\displaystyle -1:\cos Ci\sin C:\cos B+i\sin B,\qquad -1:\cos C+i\sin C:\cos Bi\sin B}$

あるいは、同等に、

${\displaystyle \cos C+i\sin C:-1:\cos Ai\sin A,\qquad \cos Ci\sin C:-1:\cos A+i\sin A}$

あるいは、同様に、

${\displaystyle \cos B+i\sin B:\cos Ai\sin A:-1,\qquad \cos Bi\sin B:\cos A+i\sin A:-1,}$

ここで[ ^1]${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

中心点（x ₀、y ₀）と半径r（これら3つはすべて実数）で定義される実数円は、次の方程式の実数解の集合として記述できる。

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}.}$

これを同次方程式に変換し、すべての複素数解の集合をとると、円の複素化が得られる。2つの円点は、すべての実円の複素化上にあるため、その名前が付けられている。より一般的には、両方の点は次のタイプの同次方程式を満たす。

${\displaystyle Ax^{2}+Ay^{2}+2B_{1}xz+2B_{2}yz-Cz^{2}=0.}$

係数がすべて実数の場合は、一般円（実射影平面）の方程式が得られます。一般に、これらの2点を通過する代数曲線は円 と呼ばれます。

無限遠点とは、等方性直線の無限遠点のことである。^[2] それらは平面の 平行移動や回転に対して不変である。

角度の概念は、円の点、自然対数、複比を使って定義することができます。^[3]

2 本の線の間の角度は、2 本の線とそれらの交点を円の点に結ぶ線によって形成される鉛筆の交差比の対数を 2i で割った値です。

サマーヴィルは原点に2本の直線を次のように描きます。円の点をωとω′とすると、複比は次のようになります。 ${\displaystyle u:y=x\tan \theta ,\quad u':y=x\tan \theta '.}$

${\displaystyle (uu',\omega \omega ')={\frac {\tan \theta -i}{\tan \theta +i}}\div {\frac {\tan \theta '-i}{\タン \theta '+i}},}$となることによって

${\displaystyle \phi =\theta '-\theta ={\tfrac {i}{2}}\log(uu',\omega \omega ').}$

この変換はフェリックス・クラインによって虚数変換と呼ばれている。彼は、この変換の下では 方程式が次のようになることに注目している。${\displaystyle x'=x,\quad y'=iy,\quad z'=z}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0}$${\displaystyle x'^{2}-y'^{2}=0}$

は、円の虚数点x  : y = ± i, z = 0 を、実数無限遠点x ' : y ' = ± 1, z = 0 に変換する。これは、軸と 45° の角度をなす 2 つの方向の無限遠点である。したがって、すべての円は、これら 2 つの実数無限遠点を通る円錐曲線、つまり、漸近線が軸と 45° の角度をなす正双曲線に変換されます。^[4]

• Pierre Samuel (1988) Projective Geometry、Springer、セクション1.6。
• SempleとKneebone (1952) 「代数射影幾何学」、オックスフォード、セクションII-8。