負の二項分布

異なるテキスト（さらにはこの記事の異なる部分）では、負の二項分布の定義が若干異なります。サポートがk  = 0から始まるのか、k = rから始まるのか、pが成功の確率を表すのか失敗の確率を表すのか、rが成功を表すのか失敗を表すのかによって区別できるため、[1]、どのテキストでも使用されている特定のパラメータ化を識別することが重要です。
確率質量関数 オレンジ色の線は平均を表し、各プロットでは 10 に等しくなります。緑色の線は標準偏差を示します。
表記	${\displaystyle \mathrm {NB} (r,\,p)}$
パラメータ	r > 0 — 実験が停止されるまでの成功回数（整数ですが、定義は実数に拡張することもできます） p ∈ [0,1] — 各実験の成功確率（実数）
サポート	k ∈ { 0, 1, 2, 3, … } — 失敗回数
PMF	${\displaystyle k\mapsto {k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^{k}p^{r},}$二項係数を含む
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle k\mapsto I_{p}(r,\,k+1),}$正規化された不完全ベータ関数
平均	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p}}}$
モード	${\displaystyle {\begin{cases}\left\lfloor {\frac {(r-1)(1-p)}{p}}\right\rfloor &{\text{if }}r>1\\0&{\text{if }}r\leq 1\end{cases}}}$
分散	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {(1-p)r}}}}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{(1-p)r}}}$
MGF の	${\displaystyle {\biggl (}{\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}{\biggr )}^{\!r}{\text{ }}t<-\log(1-p) の場合}$
CF	${\displaystyle {\biggl (}{\frac {p}{1-(1-p)e^{i\,t}}}{\biggr )}^{\!r}{\text{ }}t\in \mathbb {R} }$
PGF	${\displaystyle {\biggl (}{\frac {p}{1-(1-p)z}}{\biggr )}^{\!r}{\text{ for }}|z|<{\frac {1}{p}}}$
フィッシャー情報	${\displaystyle {\frac {r}{p^{2}(1-p)}}}$
モーメント法	${\displaystyle r={\frac {E[X]^{2}}{V[X]-E[X]}}}$ ${\displaystyle p={\frac {E[X]}{V[X]}}}$

確率論と統計学において、負の二項分布は、一連の独立した同一分布のベルヌーイ試行における、指定された（ランダムでない）数の成功（ と表記）が発生するまでの失敗の数をモデル化する離散確率分布です。^[2]たとえば、サイコロを振って 6 が出ると成功、それ以外の目が出ると失敗と定義し、3 回目の成功（）が出るまでに何回失敗するかを尋ねることができます。このような場合、発生する失敗の数の確率分布は、負の二項分布になります。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle r=3}$

別の定式化では、失敗回数ではなく合計試行回数をモデル化します。実際、指定された（ランダムでない）成功回数（r）に対して、合計試行回数（ n ）がランダムであるため、失敗回数（ n  −  r ）はランダムです。たとえば、負の二項分布を使用して、特定のマシンが故障するまで に稼働する日数n（ランダム）（rで指定）をモデル化できます。

パスカル分布（ブレーズ・パスカルにちなんで）とポリア分布（ジョージ・ポリアにちなんで）は、負の二項分布の特殊なケースです。エンジニア、気候学者、その他の人々の間では、停止時間パラメータが整数値の場合（）には「負の二項分布」または「パスカル」を使用し、実数値の場合は「ポリア」を使用するのが慣例となっています。 ${\displaystyle r}$

竜巻の発生のような関連する離散イベントの発生については、ポアソン分布とは異なり、平均と分散が異なることを許容することで、ポリア分布を使用してポアソン分布よりも正確なモデルを作成できます。負の二項分布には分散があり、分布は与えられた平均の極限でポアソンと同一になります（つまり、失敗がますます稀になる場合）。これにより、分布はポアソン分布の有用な過剰分散の代替となり、たとえばポアソン回帰の堅牢な修正に使用できます。疫学では、感染の可能性のある数が個人間および設定間で大幅に異なる可能性がある感染症の病気の伝播をモデル化するために使用されています。^[3]より一般的には、イベントが正の相関関係にある場合に、正の共分散項のために、発生が独立している場合よりも大きな分散を引き起こすのが適切である可能性があります。 ${\displaystyle \mu /p}$${\displaystyle p\to 1}$${\displaystyle \mu }$

「負の二項分布」という用語は、分布の確率質量関数の式に現れる特定の二項係数が、負の数でより簡単に表記できることに由来していると考えられます。 ^[4]

一連の独立したベルヌーイ試行を想像してください。各試行には、「成功」と「失敗」という 2 つの潜在的な結果があります。各試行で、成功の確率は で、失敗の確率は です。定義済みの数の成功が発生するまで、このシーケンスを観察します。その後、観測される失敗のランダムな数 は、負の二項分布(またはパスカル分布 )に従います。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle 1-p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\sim \operatorname {NB} (r,p)}$

負の二項分布の 確率質量関数は

${\displaystyle f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)={\binom {k+r-1}{k}}(1-p)^{k}p^{r}}$

ここで、rは成功回数、kは失敗回数、p は各試行における成功確率です。

ここで、括弧内の量は二項係数であり、

${\displaystyle {\binom {k+r-1}{k}}={\frac {(k+r-1)!}{(r-1)!\,(k)!}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm (r)}{k!}}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\ \Gamma (r)}}.}$

Γ(r)はガンマ関数であることに注意してください。

k  +  r 回の試行のうち最後の試行は定義上成功である ため、 k  +  r 回ではなく k + r − 1 回の試行から k 回の失敗が選択されます。

この量は次のように表記することもできます。これは「負の二項式」という名前が由来です。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {(k+r-1)\dotsm (r)}{k!}}\\[10pt]={}&(-1)^{k}{\frac {\overbrace {(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm (-r-k+1)} ^{k{\text{ factors}}}}{k!}}=(-1)^{k}{\binom {-r}{{\phantom {-}}k}}.\end{aligned}}}$

最後の式と二項級数により、任意の0 ≤ p < 1およびに対して、 ${\displaystyle q=1-p}$

${\displaystyle p^{-r}=(1-q)^{-r}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-r}{{\phantom {-}}k}}(-q)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k+r-1}{k}}q^{k}}$

したがって、確率質量関数の項は以下のように実際に 1 になります。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k+r-1}{k}}(1-p)^{k}p^{r}=p^{-r}p^{r}=1}$

上記の確率質量関数の定義を理解するには、 r 回の 成功とk 回の 失敗という特定のシーケンスの確率がp ^r (1 − p ) ^kであることに留意してください。これは、 k  +  r回の試行の結果が独立して発生すると想定されているためです。r番目の成功は常に最後に発生するため、残りのk  +  r − 1 回の試行 から失敗したk回の試行を選択する必要があります。 上記の二項係数は、その組み合わせ解釈により、長さk  +  r  − 1  のすべてのシーケンスの数を正確に示します。

累積分布関数は正規化不完全ベータ関数で表現できる：^{[2] [5]}

${\displaystyle F(k;r,p)\equiv \Pr(X\leq k)=I_{p}(r,k+1).}$

(この式では、記事の表と同じパラメータ化を使用しており、rは成功数、 は平均 です。)${\displaystyle p=r/(r+\mu )}$${\displaystyle \mu }$

これは二項分布の累積分布関数で表現することもできる。^[6]

${\displaystyle F(k;r,p)=F_{\text{binomial}}(k;n=k+r,1-p).}$

一部の情報源では、負の二項分布をここでの主なものとは少し異なる方法で定義している場合があります。最も一般的なバリエーションは、ランダム変数Xが異なるものをカウントする場合です。これらのバリエーションは次の表で確認できます。

負の二項分布の 4 つの定義はそれぞれ、わずかに異なりますが同等の方法で表現できます。最初の代替表現は、単に二項係数の同等の形式で、次のようになります。2 番目の代替表現は、試行回数の合計が単に成功と失敗の数であることを認識することで、式をいくらか簡略化します。次のようになります。これらの 2 番目の表現は、より直感的に理解できるかもしれませんが、項の数が多いため、実用的ではない可能性があります。 ${\textstyle {\binom {a}{b}}={\binom {a}{a-b}}\quad {\text{for }}\ 0\leq b\leq a}$${\textstyle n=r+k}$

• X が、与えられたr回の成功に対して発生するn回の 試行回数である定義は、失敗回数の代わりに試行回数が指定されることを除いて、基本定義と似ています。これにより、ランダム変数の値にr が追加され、そのサポートと平均がシフトします。
• X が、与えられたr回の失敗に対して発生するk 回の 成功(またはn 回の 試行)の数である定義は、この記事で使用されている主な定義と似ていますが、カウントされるものと与えられるものを考慮するときに、失敗の数と成功の数が入れ替わる点が異なります。ただし、p は依然として「成功」の確率を指すことに注意してください。
• 負の二項分布の定義は、パラメータr が正の実数値を取る場合に拡張できます。非整数の「失敗」を視覚化することは不可能ですが、確率質量関数を通じて分布を正式に定義することはできます。定義を実数値 (正) rに拡張する問題は、ガンマ関数に基づいて二項係数を実数値に拡張することに帰着します。

${\displaystyle {\binom {k+r-1}{k}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm (r)}{k!}}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\Gamma (r)}}}$

この式を元の定義に代入すると、確率質量関数を持つ場合、X は負の二項分布（またはポリア分布）を持つと言えます。

${\displaystyle f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\Gamma (r)}}(1-p)^{k}p^{r}\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dotsc }$

ここでr は実数の正の数です。

負の二項回帰^[15]では、分布はその平均 で指定され、線型回帰や他の一般化線型モデルの場合と同様に説明変数に関連付けられます。平均mの式から、および を導くことができます。次に、これらの式を、r が実数値の場合の確率質量関数の式に代入すると、確率質量関数のmに関するパラメータ化が得られます 。 ${\textstyle m={\frac {r(1-p)}{p}}}$${\textstyle p={\frac {r}{m+r}}}$${\textstyle 1-p={\frac {m}{m+r}}}$

${\displaystyle \Pr(X=k)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\left({\frac {r}{r+m}}\right)^{r}\left({\frac {m}{r+m}}\right)^{k}\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dotsc }$

分散は と表記されます。 を設定して、分散を と表記する著者もいます。 この文脈では、著者に応じて、パラメータrまたはその逆数αが「分散パラメータ」、「形状パラメータ」または「クラスタリング係数」^[16]、または「不均一性」^[15]または「凝集」パラメータ[ ^10]と呼ばれます。 「凝集」という用語は、特に生態学で個々の生物の数を説明するときに使用されます。 凝集パラメータrがゼロに向かって減少することは、生物の凝集が増加することに対応し、rが無限大に向かって増加すると、ポアソン回帰で説明できるように、凝集が存在しないことに相当します。 ${\textstyle m+{\frac {m^{2}}{r}}}$${\textstyle \alpha ={\frac {1}{r}}}$${\textstyle m+\alpha m^{2}}$

分布は平均μと分散σ ²によってパラメータ化されることもあります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&p={\frac {\mu }{\sigma ^{2}}},\\[6pt]&r={\frac {\mu ^{2}}{\sigma ^{2}-\mu }},\\[3pt]&\Pr(X=k)={k+{\frac {\mu ^{2}}{\sigma ^{2}-\mu }}-1 \choose k}\left(1-{\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}\right)^{k}\left({\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}\right)^{\mu ^{2}/(\sigma ^{2}-\mu )}\\&\operatorname {E} (X)=\mu \\&\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}.\end{aligned}}}$

もう一つの一般的なパラメータ化では、rと失敗オッズ β を使用します。

${\displaystyle {\begin{aligned}&p={\frac {1}{1+\beta }}\\&\Pr(X=k)={k+r-1 \choose k}\left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)^{r}\\&\operatorname {E} (X)=r\beta \\&\operatorname {Var} (X)=r\beta (1+\beta ).\end{aligned}}}$

入院期間は、負の二項分布と負の二項回帰によってうまくモデル化できる現実世界のデータの一例です。^{[17] [18]}

パット コリスは、6 年生の校外学習の資金を集めるために、キャンディー バーを売らなければなりません。パットは (やや厳しいですが) キャンディー バーを 5 本売るまでは家に帰ってはいけないことになっています。そこで、子供は家々を回ってキャンディー バーを売ります。各家で、キャンディー バーが 1 本売れる確率は 0.6 で、何も売れない確率は 0.4 です。

n番目の家で最後のキャンディーバーが売れる確率はどれくらいでしょうか?

キャンディーを十分な回数売ることに成功することが、（売れないことではなく）停止基準を定義するので、この場合のk は失敗の数、r は成功の数を表します。 NB( r , p ) 分布は、最後の試行で成功したk  +  rベルヌーイ( p ) 試行でk 回の失敗とr 回の成功の確率を表すことを思い出してください。 5 本のキャンディーを売るということは、5 回成功するということです。 したがって、これにかかる試行回数（つまり、家の数）はk  + 5 =  nです。 関心のあるランダム変数は家の数なので、k  =  n  − 5 を NB(5, 0.4) 質量関数に代入して、家の分布の次の質量関数を取得します（n  ≥ 5）。

${\displaystyle f(n)={(n-5)+5-1 \choose n-5}\;(1-0.4)^{5}\;0.4^{n-5}={n-1 \choose n-5}\;3^{5}\;{\frac {2^{n-5}}{5^{n}}}.}$

パットが10番目の家で終わる確率はどれくらいですか?

${\displaystyle f(10)=0.1003290624.\,}$

パットが 8 番目の家に到達する前に終了する確率はどれくらいですか?

8 番目のハウスまたはそれより前に終了するには、パットは 5 番目、6 番目、7 番目、または 8 番目のハウスで終了する必要があります。これらの確率を合計します。

${\displaystyle f(5)=0.07776\,}$

${\displaystyle f(6)=0.15552\,}$

${\displaystyle f(7)=0.18662\,}$

${\displaystyle f(8)=0.17418\,}$

${\displaystyle \sum _{j=5}^{8}f(j)=0.59408.}$

パットが近所にある 30 軒の家をすべて買い尽くす確率はどれくらいでしょうか?

これは、パットが5 番目から 30 番目のハウスで終了し ない確率として表すことができます。

${\displaystyle 1-\sum _{j=5}^{30}f(j)=1-I_{0.4}(5,30-5+1)\approx 1-0.99999342=0.00000658.}$

パットが各住宅に売却する確率はかなり高い（60 パーセント）ため、彼女が目標を達成 できない可能性は極めて低いです。

r 回の成功を確認するために必要な試行の予想総数はです。したがって、失敗の予想数は、この値から成功数を引いたものになります。 ${\displaystyle {\frac {r}{p}}}$

${\displaystyle E[\operatorname {NB} (r,p)]={\frac {r}{p}}-r={\frac {r(1-p)}{p}}}$

パラメータが( r , p )である負の二項分布における失敗の総数の期待値はr (1 −  p )/ pです。これを理解するには、負の二項分布をシミュレートする実験が何度も実行されることを想像してください。つまり、r 回の成功が得られるまで一連の試行が実行され、次に別の一連の試行が実行され、さらにその繰り返しとなります。各実験で実行された試行回数を書き留めます。a、b、c、...とし、 a  +  b  +  c  + ... =  Nと設定します。これで、合計で約Np 回の成功が期待されます。実験がn回実行されたとします。この場合、合計でnr 回の成功があります。したがって、 nr = Np、つまりN / n =  r / pが期待されます。N / n は、実験あたりの平均試行回数にすぎないことに注意してください。これが「期待値」の意味です。実験あたりの平均失敗回数は、N / n  −  r =  r / p  −  r = r (1 −  p )/ pです。これは、このページの右側のボックスに示されている平均値と一致します。

負の二項分布を待ち時間の合計として表すことで、厳密な導出を行うことができます。慣例に従って、成功の確率が である成功の前に観測される失敗の数を表します。そして、成功を見る前の失敗の数を表す とします。は、番目の成功と番目の成功の間の待ち時間 (失敗の数) と考えることができます。したがって、 ${\displaystyle X_{r}\sim \operatorname {NB} (r,p)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r}$${\displaystyle p}$${\displaystyle Y_{i}\sim Geom(p)}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (i-1)}$

${\displaystyle X_{r}=Y_{1}+Y_{2}+\cdots +Y_{r}.}$

平均は

${\displaystyle E[X_{r}]=E[Y_{1}]+E[Y_{2}]+\cdots +E[Y_{r}]={\frac {r(1-p)}{p}},}$

これは事実から導かれます。 ${\displaystyle E[Y_{i}]=(1-p)/p}$

r回目の成功までの失敗回数を数える場合、分散は r (1−  p )/ p2となる^。r回目の失敗までの成功回数を数える場合、上記の代替定式化(3)のように、分散は rp /(1−  p ) ²となる。

Y がパラメータnとp を持つ二項分布に従うランダム変数であるとする。p  +  q  = 1、p、  q  ≥ 0 と仮定すると、

${\displaystyle 1=1^{n}=(p+q)^{n}.}$

ニュートンの二項定理を使用すると、これは次のように書くこともできます。

${\displaystyle (p+q)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{n \choose k}p^{k}q^{n-k},}$

合計の上限が無限大となる。この場合、二項係数は

${\displaystyle {n \choose k}={n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1) \over k!}.}$

は、 nが単なる正の整数ではなく実数であるときに定義されます。しかし、二項分布の場合、 k > nのときはゼロになります。そのため、例えば、

${\displaystyle (p+q)^{8.3}=\sum _{k=0}^{\infty }{8.3 \choose k}p^{k}q^{8.3-k}.}$

ここで、 r > 0と仮定し、負の指数を使用します。

${\displaystyle 1=p^{r}\cdot p^{-r}=p^{r}(1-q)^{-r}=p^{r}\sum _{k=0}^{\infty }{-r \choose k}(-q)^{k}.}$

すると、すべての項は正となり、項

${\displaystyle p^{r}{-r \choose k}(-q)^{k}}$

rが整数である場合、 r 番目の成功までの失敗数が k に等しくなる確率です。( rが負の非整数で、指数が正の非整数である場合、上記の合計の項の一部は負になり、すべての非負整数の集合に対する確率分布は存在しません。)

ここで、 rの非整数値も許可します。すると、パスカル分布の一般化である適切な負の二項分布が得られ、 r が正の整数である 場合にパスカル分布と一致します。

上記を思い出してください

パラメータpの値が同じである独立した負の二項分布のランダム変数r ₁とr _{2の合計は、} p は同じですがr値 がr ₁  +  r ₂である負の二項分布になります。

この特性は定義が一般化された場合でも維持され、負の二項分布が無限に割り切れることをすぐに確認できるようになります。

次の再帰関係が成り立ちます。

確率質量関数の場合

${\displaystyle {\begin{cases}(k+1)\Pr(X=k+1)-p\Pr(X=k)(k+r)=0,\\[5pt]\Pr(X=0)=(1-p)^{r}.\end{cases}}}$

瞬間のために${\displaystyle m_{k}=\mathbb {E} (X^{k}),}$

${\displaystyle m_{k+1}=rPm_{k}+(P^{2}+P){dm_{k} \over dP},\quad P:=(1-p)/p,\quad m_{0}=1.}$

キュムラントについて

${\displaystyle \kappa _{k+1}=(Q-1)Q{d\kappa _{k} \over dQ},\quad Q:=1/p,\quad \kappa _{1}=r(Q-1).}$

• 幾何分布（{0, 1, 2, 3, ...}）は負の二項分布の特殊なケースであり、

${\displaystyle \operatorname {Geom} (p)=\operatorname {NB} (1,\,p).\,}$

• 負の二項分布は離散位相型分布の特殊なケースです。
• 負の二項分布は、離散複合ポアソン分布の特殊なケースです。

負の二項ランダム変数のシーケンスを考えてみましょう。停止パラメータrは無限大になり、各試行での成功確率p は1 になり、分布の平均 (つまり、期待される失敗数) は一定に保たれます。この平均をλとすると、パラメータp はp  =  r /( r  +  λ ) になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Mean:}}\quad &\lambda ={\frac {(1-p)r}{p}}\quad \Rightarrow \quad p={\frac {r}{r+\lambda }},\\{\text{Variance:}}\quad &\lambda \left(1+{\frac {\lambda }{r}}\right)>\lambda ,\quad {\text{thus always overdispersed}}.\end{aligned}}}$

このパラメータ化の下では、確率質量関数は

${\displaystyle f(k;r,p)={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\cdot \Gamma (r)}}(1-p)^{k}p^{r}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot {\frac {\Gamma (r+k)}{\Gamma (r)\;(r+\lambda )^{k}}}\cdot {\frac {1}{\left(1+{\frac {\lambda }{r}}\right)^{r}}}}$

ここで、 r → ∞の極限を考えると、2 番目の因子は 1 に収束し、3 番目の因子は指数関数に収束します。

${\displaystyle \lim _{r\to \infty }f(k;r,p)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot 1\cdot {\frac {1}{e^{\lambda }}},}$

これは期待値 λを持つポアソン分布のランダム変数の質量関数です。

言い換えると、代替パラメータ化された負の二項分布はポアソン分布に収束し、 r はポアソンからの偏差を制御します。これにより、負の二項分布は、rが大きい場合はポアソンに近づきますが、 rが小さい場合はポアソンよりも分散が大きい、ポアソンの堅牢な代替として適しています。

${\displaystyle \operatorname {Poisson} (\lambda )=\lim _{r\to \infty }\operatorname {NB} \left(r,{\frac {r}{r+\lambda }}\right).}$

負の二項分布は、ポアソン分布の連続混合（つまり、複合確率分布）としても現れ、ポアソン率の混合分布はガンマ分布になります。つまり、負の二項分布をポアソン（λ）分布と見なすことができます。ここで、 λ自体はランダム変数であり、形状r、スケール θ = (1 − p )/ p、またはそれに応じて率β = p /(1 − p )のガンマ分布として分布します。

このステートメントの背後にある直感を示すために、強度がpと 1 −  pである 2 つの独立したポアソン過程、「成功」と「失敗」を考えてみましょう。成功過程と失敗過程を合わせると、強度 1 の単一のポアソン過程に相当します。この場合、対応する独立したコイン投げが確率pで表を出せば過程の発生は成功となり、それ以外の場合は失敗となります。rが計数である場合、コイン投げは、 r番目の失敗の前の成功回数が、パラメータrとpを持つ負の二項分布に従うことを示します。ただし、この回数は、失敗ポアソン過程におけるr番目の発生のランダムな時間Tにおける成功ポアソン過程の回数でもあります。成功回数は、平均pTのポアソン分布に従います。ここで、Tは強度 1 − pのポアソン過程における r回の発生の待機時間です。つまり、T は形状パラメータrと強度 1 −  pのガンマ分布に従います。したがって、負の二項分布は平均pTのポアソン分布と同等であり、ランダム変量Tは形状パラメータrと強度(1 − p )でガンマ分布します。 λ  =  pTは形状パラメータrと強度(1 − p )/ pでガンマ分布するため、前の段落は続きます。

次の正式な導出（ rが数であるか どうかに依存しない）は直感を裏付けます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }f_{\operatorname {Poisson} (\lambda )}(k)\times f_{\operatorname {Gamma} \left(r,\,{\frac {p}{1-p}}\right)}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\times {\frac {1}{\Gamma (r)}}\left({\frac {p}{1-p}}\lambda \right)^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }\,\left({\frac {p}{1-p}}\,\right)\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{r}{\frac {1}{k!\,\Gamma (r)}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{r+k-1}e^{-\lambda {\frac {p+1-p}{1-p}}}\;\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{r}{\frac {1}{k!\,\Gamma (r)}}\Gamma (r+k)(1-p)^{k+r}\int _{0}^{\infty }f_{\operatorname {Gamma} \left(k+r,{\frac {1}{1-p}}\right)}(\lambda )\;\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&{\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}\;(1-p)^{k}\,p^{r}\\[8pt]={}&f(k;r,p).\end{aligned}}}$

このため、負の二項分布はガンマポアソン（混合）分布とも呼ばれます。負の二項分布はもともとガンマポアソン分布の極限ケースとして導出されました。^[19]

Y _{r が、}パラメータrとp を持ち、サポート {0, 1, 2, ...}を持つ負の二項分布に従うランダム変数である場合、 Y _{r は}、パラメータpを持つ ({0, 1, 2, ...} 上の)幾何分布に従うr 個の 独立変数の合計です。中心極限定理の結果として、Y _r (適切にスケーリングおよびシフトされたもの) は、十分に大きい rに対してほぼ正規分布になります。

さらに、B _{s + r が}パラメータs  +  rとp を持つ二項分布に従うランダム変数である場合、

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(Y_{r}\leq s)&{}=1-I_{p}(s+1,r)\\[5pt]&{}=1-I_{p}((s+r)-(r-1),(r-1)+1)\\[5pt]&{}=1-\Pr(B_{s+r}\leq r-1)\\[5pt]&{}=\Pr(B_{s+r}\geq r)\\[5pt]&{}=\Pr({\text{after }}s+r{\text{ trials, there are at least }}r{\text{ successes}}).\end{aligned}}}$

この意味で、負の二項分布は二項分布の「逆」です。

パラメータpの値が同じである独立した負の二項分布のランダム変数r ₁とr _{2の合計は、} p は同じですがr値 がr ₁  +  r ₂である負の二項分布になります。

負の二項分布は無限に割り切れます。つまり、Y が負の二項分布に従う場合、任意の正の整数nに対して、合計がYと同じ分布に従う独立した同一分布のランダム変数Y ₁、...、  Y _{n が}存在します。

負の二項分布NB( r , p )は、複合ポアソン分布として表すことができます。独立した同一分布のランダム変数のシーケンスを表します。各ランダム変数は、確率質量関数の対数級数分布Log( p )を持ちます。 ${\textstyle (Y_{n})_{n\,\in \,\mathbb {N} }}$

${\displaystyle f(k;r,p)={\frac {-p^{k}}{k\ln(1-p)}},\qquad k\in {\mathbb {N} }.}$

Nをシーケンスに依存しないランダム変数とし、Nが平均λ = − r ln(1 − p )のポアソン分布に従うと仮定する。この場合、ランダム和

${\displaystyle X=\sum _{n=1}^{N}Y_{n}}$

はNB( r , p )分布に従う。これを証明するために、確率生成関数 G _NとG _{Y 1}の合成であるXの確率生成関数G _Xを計算する。

${\displaystyle G_{N}(z)=\exp(\lambda (z-1)),\qquad z\in \mathbb {R} ,}$

そして

${\displaystyle G_{Y_{1}}(z)={\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}},\qquad |z|<{\frac {1}{p}},}$

我々は得る

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{X}(z)&=G_{N}(G_{Y_{1}}(z))\\[4pt]&=\exp {\biggl (}\lambda {\biggl (}{\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}}-1{\biggr )}{\biggr )}\\[4pt]&=\exp {\bigl (}-r(\ln(1-pz)-\ln(1-p)){\bigr )}\\[4pt]&={\biggl (}{\frac {1-p}{1-pz}}{\biggr )}^{r},\qquad |z|<{\frac {1}{p}},\end{aligned}}}$

これはNB( r , p )分布の確率生成関数である。

次の表は、一連の抽選における成功数に関連する 4 つの分布を示しています。

負の二項分布は、ポアソン分布や二項分布とともに、分布の( a , b ,0) クラスのメンバーです。これら 3 つの分布はすべて、パンジャー分布の特殊なケースです。また、自然指数族のメンバーでもあります。

p が未知であり、 r 回の成功が見つかるまでサンプリングを継続することが事前に決定されている実験が行われるとします。実験の十分な統計量は、失敗の数 kです。

pを推定する際、最小分散不偏推定量は

${\displaystyle {\widehat {p}}={\frac {r-1}{r+k-1}}.}$

rが既知の場合、 pの最大尤度推定値は

${\displaystyle {\widetilde {p}}={\frac {r}{r+k}},}$

しかしこれは偏った推定値である。しかしその逆数( r  +  k )/ rは1/ pの偏りのない推定値である。^[20]

rが未知の場合、 pとrを合わせた最大尤度推定量は、標本分散が標本平均より大きい標本に対してのみ存在する。^[21] N個の iid観測値（k ₁ , ...,  k _N ）に対する尤度関数は

${\displaystyle L(r,p)=\prod _{i=1}^{N}f(k_{i};r,p)\,\!}$

そこから対数尤度関数を計算する

${\displaystyle \ell (r,p)=\sum _{i=1}^{N}\ln(\Gamma (k_{i}+r))-\sum _{i=1}^{N}\ln(k_{i}!)-N\ln(\Gamma (r))+\sum _{i=1}^{N}k_{i}\ln(1-p)+Nr\ln(p).}$

最大値を見つけるには、 rとpに関する偏微分を取り、それらをゼロに設定します。

${\displaystyle {\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial p}}=-\left[\sum _{i=1}^{N}k_{i}{\frac {1}{1-p}}\right]+Nr{\frac {1}{p}}=0}$そして

${\displaystyle {\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial r}}=\left[\sum _{i=1}^{N}\psi (k_{i}+r)\right]-N\psi (r)+N\ln(p)=0}$

どこ

${\displaystyle \psi (k)={\frac {\Gamma '(k)}{\Gamma (k)}}\!}$はディガンマ関数です。

最初の方程式をpについて解くと次のようになります。

${\displaystyle p={\frac {Nr}{Nr+\sum _{i=1}^{N}k_{i}}}}$

これを 2 番目の式に代入すると次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial r}}=\left[\sum _{i=1}^{N}\psi (k_{i}+r)\right]-N\psi (r)+N\ln \left({\frac {r}{r+\sum _{i=1}^{N}k_{i}/N}}\right)=0}$

この方程式は閉じた形ではrについて解くことができない。数値解が必要な場合は、ニュートン法などの反復手法を使用することができる。あるいは、期待値最大化アルゴリズムを使用することもできる。^[21]

rが整数である特殊なケースでは、負の二項分布はパスカル分布として知られています。これは、一連の独立した同一分布のベルヌーイ試行における、特定の数の失敗と成功の確率分布です。成功確率がpであるk  +  r 回の ベルヌーイ試行の場合、負の二項分布は、最後の試行で失敗し、 k 回の成功とr 回の失敗の確率を示します。言い換えると、負の二項分布は、各試行で成功する確率がpであるベルヌーイ過程におけるr回目の失敗までの成功数の確率分布です。ベルヌーイ過程は離散時間過程であるため、試行、失敗、および成功の数は整数です。

次の例を考えてみましょう。繰り返しサイコロを投げ、1 が出たら失敗とします。各試行で成功する確率は 5/6 です。3 回目の失敗までの成功回数は、無限集合 {0、1、2、3、...} に属します。その成功回数は、負の二項分布に従うランダム変数です。

r = 1のとき、最初の失敗までの成功回数の確率分布（つまり、最初の失敗が ( k  + 1) 回目の試行で発生する確率）が得られます。これは幾何分布です。

${\displaystyle f(k;r,p)=(1-p)\cdot p^{k}\!}$

最近の調査結果によると、ベルヌーイ過程の待ち時間はフラクタルやディリクレ関数と深く関係しているようです。ディリクレ関数と関係のあるフラクタル特性を持つ確率分布は、一様離散分布によって生成される再帰過程から導き出すことができます。このような一様離散分布には、円周率、公平なサイコロの投げ方、ライブカジノのスピンなどがあります。ベルヌーイ過程における次の待ち時間について考えてみましょう。ランダム変数 C _{i は}、離散一様分布から N 回繰り返しサンプリングされます。ここで、 i の範囲は 1 から N です。たとえば、1 から 10 までの整数値を考えます。発生モーメント T _{k は}、イベント C _{iが繰り返される時間を表します。これは、 C i} = C _i-1または C _i = C _i-2と定義されます。ここで、 k の範囲は 1 から M で、M は N より小さい値です。次に、 S _{j を連続する T k}間の間隔として定義し、イベントが発生するまでの待ち時間を表します。最後に、Z _{l を}ln(S _j ) – ln(S _j-1 )として導入します。ここで、lは1からU-1までの範囲です。ランダム変数Zはフラクタル特性を示し、トーマ関数やディリクレ関数に似た形状分布を示します。 ^[22]

負の二項分布は、特に上で説明した代替パラメータ化では、ポアソン分布の代替として使用できます。これは、サンプル分散がサンプル平均を超える、無制限の正の範囲にわたる離散データに特に役立ちます。このような場合、観測値はポアソン分布に対して過剰に分散しており、平均は分散に等しくなります。したがって、ポアソン分布は適切なモデルではありません。負の二項分布はポアソンよりもパラメータが 1 つ多いため、2 番目のパラメータを使用して、平均とは独立に分散を調整できます。一部の離散確率分布の累積分布を参照してください。

これを応用すると、北大西洋の熱帯低気圧の年間数や、ヨーロッパの冬季温帯低気圧の月ごとから6か月ごとの数などとなり、分散は平均よりも大きくなります。^{[23] [24] [25]} 中程度の過剰分散の場合、これは過剰分散ポアソン分布と実質的に同様の結果を生み出す可能性があります。^{[26] [27]}

負の二項分布モデルは、過分散が非常に一般的なカウント データを分析するために、生態学および生物多様性研究で広く使用されています。これは、過分散が、種またはコミュニティがクラスターを形成するなどの生物学的凝集を示しているためです。過分散を無視すると、モデル パラメータが大幅に膨らみ、誤った統計的推論につながる可能性があります。負の二項分布は、分散が平均に対して 2 次的に変化することを許可することで、過分散カウントに効果的に対処します。追加の分散パラメータは、2 次項の傾きを制御し、過分散の重大度を決定します。モデルの 2 次平均-分散関係は、多くの研究の経験的証拠によって裏付けられているように、過分散を処理するための現実的なアプローチであることが証明されています。全体として、NB モデルは 2 つの魅力的な機能を提供します。(1) 分散パラメータをクラスター化または凝集の指標として簡単に解釈できること、および (2) 確率質量関数の閉じた表現を特徴とする扱いやすい形式です。^[28]

遺伝学では、負の二項分布は、高スループットRNAおよびDNAシーケンシング実験からの離散配列読み取りカウントの形でデータをモデル化するためによく使用されます。^{[29] [30] [31] [32]}

感染症の疫学では、負の二項分布は、1人の感染者からの二次感染の過剰分散数（スーパースプレッディングイベント）をモデル化するためにポアソン分布よりも優れた選択肢として使用されてきました。^[33]

負の二項分布は、粒子衝突実験における広範囲の多重度観測に対する最も効果的な統計モデルであり、例えば^{[34] [35] [36] [37] [38]}（概要については^[39]を参照）であり、物質のスケール不変特性であると主張されており^{[40] [41]}、宇宙の領域にある銀河の数を予測する天文観測に最もよく適合する。^{[42] [43] [44] [45]}これらの文脈における負の二項分布の有効性の現象論的正当性は、1973年の最初の観測以来50年間不明のままであった。^{[46] 2023年に、スコット・V・テズラフによって}第一原理からの証明がようやく示され、負の二項分布はミンコフスキー空間における粒子の標準的な集団の動力学方程式の対称性から生じることが示された。^[47]大まかに言えば、試行回数の期待値と成功回数の期待値が与えられ、 ${\displaystyle p{\bar {p}},\ hh,\ hA,\ AA,\ e^{+}e^{-}}$ ${\displaystyle \langle n\rangle }$${\displaystyle \langle r\rangle }$

${\displaystyle \langle {\mathcal {n}}\rangle -\langle r\rangle =k,\quad \quad \langle p\rangle ={\frac {\langle r\rangle }{\langle {\mathcal {n}}\rangle }}\quad \quad \quad \implies \quad \quad \quad \langle {\mathcal {n}}\rangle ={\frac {k}{1-\langle p\rangle }},\quad \quad \langle {r}\rangle ={\frac {k\langle p\rangle }{1-\langle p\rangle }},}$

同型の方程式のセットは、質量を持つ粒子の標準的な集団の 相対論的 電流密度のパラメータと同一視することができる。

${\displaystyle c^{2}\langle \rho ^{2}\rangle -\langle j^{2}\rangle =c^{2}\rho _{0}^{2},\quad \quad \quad \langle \beta _{v}^{2}\rangle ={\frac {\langle j^{2}\rangle }{c^{2}\langle \rho ^{2}\rangle }}\quad \quad \implies \quad \quad c^{2}\langle \rho ^{2}\rangle ={\frac {c^{2}\rho _{0}^{2}}{1-\langle \beta _{v}^{2}\rangle }},\quad \quad \quad \langle j^{2}\rangle ={\frac {c^{2}\rho _{0}^{2}\langle \beta _{v}^{2}\rangle }{1-\langle \beta _{v}^{2}\rangle }},}$

ここで、は静止密度、は相対論的平均二乗密度、は相対論的平均二乗電流密度、そして、は粒子集団の平均二乗速度、は光速であり、次の全単射写像を確立することができます。 ${\displaystyle \rho _{0}}$${\displaystyle \langle \rho ^{2}\rangle }$${\displaystyle \langle j^{2}\rangle }$${\displaystyle \langle \beta _{v}^{2}\rangle =\langle v^{2}\rangle /c^{2}}$${\displaystyle \langle v^{2}\rangle }$${\displaystyle c}$

${\displaystyle c^{2}\rho _{0}^{2}\mapsto k,\quad \quad \langle \beta _{v}^{2}\rangle \mapsto \langle p\rangle ,\quad \quad c^{2}\langle \rho ^{2}\rangle \mapsto \langle {\mathcal {n}}\rangle ,\quad \quad \langle j^{2}\rangle \mapsto \langle r\rangle .}$

上記の対応関係の厳密な代替証明は、量子力学におけるファインマン経路積分によっても実証されている。^[47]

この分布は、1713年にピエール・ルモン・ド・モンモールが著書『危険のゲーム分析』の中で、実験で一定数の成功を得るために必要な試行回数の分布として初めて研究した。^[48]パスカルもそれ以前にこの分布について言及していた。^[49]

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