パラメータの滑らかな埋め込みによって与えられない曲線上の点
幾何学 において 、 曲線 上の 特異点 とは、曲線が パラメータ の 滑らかな 埋め込みによって与えられない点である。特異点の正確な定義は、研究対象の曲線の種類によって異なる。
平面上の代数曲線 平面上の代数曲線は、 次の形式の方程式を満たす点 ( x , y ) の集合として定義できます。 ここで、 f は 多項式 関数 です 。 f が次のように展開される
場合
、原点 (0, 0) が曲線上にある場合、 a 0 = 0 です。 b 1 ≠ 0 の場合、 暗黙の関数定理 により、曲線が原点の近くで y = h ( x ) の形になるように 滑らかな関数 hが存在することが保証されます。同様に、 b 0 ≠ 0の場合、曲線が原点の近くで x = k ( y ) の形になるように 滑らかな関数 kが存在します。どちらの場合でも、 から平面への滑らかな写像があり 、それが原点の近傍で曲線を定義します。原点では、
f の 偏導関数 の少なくとも 1 つが 0 でない場合、
曲線は原点で非特異または 正則で あることに注意してください。特異点とは、両方の偏導関数が消える曲線上の点です。
ふ （ x 、 ええ ） = 0 、
{\displaystyle f(x,y)=0,}
ふ :
R
2
→
R
。
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} .}
ふ =
1つの
0
+
b
0
x +
b
1
ええ +
c
0
x
2
+ 2
c
1
x ええ +
c
2
ええ
2
+ ⋯
{\displaystyle f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\cdots }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
b
0
=
∂ ふ
∂ x
、
b
1
=
∂ ふ
∂ ええ
、
{\displaystyle b_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}},\;b_{1}={\frac {\partial f}{\partial y}},}
ふ （ x 、 ええ ） =
∂ ふ
∂ x
=
∂ ふ
∂ ええ
= 0.
{\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial y}}=0.}
通常ポイント 曲線が原点を通り、 と書く と、 f は 次
のよう に書くことができます
。 が 0 でない場合、 f = 0 は x = 0 で重複度 1 の解を持ち 、原点は直線との単一の接点です。 の場合、 f = 0 は 重複度 2 以上の解を持ち、直線 またはは 曲線に接します。 この場合、 が 0 でない場合、曲線は との二重接点を持ちます。 x 2 の係数が 0 であるが 、 x 3 の係数が 0 でない場合、原点は 曲線の 変曲点です。 x 2 と x 3 の係数が両方とも 0 の場合、原点は曲線の起伏点 と呼ばれます 。 この分析は、座標軸を変換して原点が指定された点になるようにすることで、曲線上の任意の点に適用できます。 [1]
ええ = メートル x 。
{\displaystyle y=mx.}
ふ = （
b
0
+ メートル
b
1
） x + （
c
0
+ 2 メートル
c
1
+
c
2
メートル
2
）
x
2
+ ⋯ 。
{\displaystyle f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\cdots .}
b
0
+ メートル
b
1
{\displaystyle b_{0}+mb_{1}}
ええ = メートル x 。
{\displaystyle y=mx.}
b
0
+ メートル
b
1
= 0
{\displaystyle b_{0}+mb_{1}=0}
ええ = メートル x 、
{\displaystyle y=mx,}
b
0
x +
b
1
ええ = 0 、
{\displaystyle b_{0}x+b_{1}y=0,}
c
0
+ 2 メートル
c
1
+
c
2
メートル
2
{\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}}
ええ = メートル x 。
{\displaystyle y=mx.}
c
0
+ 2 メートル
c
1
+
c
2
メートル
2
、
{\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2},}
ダブルポイント 二重点の種類を示す 3 つの リマソン。左の曲線を 直交座標 に変換すると 、平面内の孤立した点である原点に尖点ができます。中央の曲線である 心臓形 は、原点に尖点があります。右の曲線は原点にクルノードがあり、曲線は交差してループを形成します。
（
x
2
+
ええ
2
− x
）
2
= （ 1.5
）
2
（
x
2
+
ええ
2
） 、
{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-x)^{2}=(1.5)^{2}(x^{2}+y^{2}),}
上記の展開において、 b 0 と b 1 が 両方とも 0であるが、 c 0 、 c 1 、 c 2 の少なくとも 1 つが0 でない 場合 、原点は 曲線の 二重点 と呼ばれます。再びf を置くと、二重点は次のように書き表すことができ
ます。
二重点は、次の解に従って分類できます。
ええ = メートル x 、
{\displaystyle y=mx,}
ふ = （
c
0
+ 2 メートル
c
1
+
c
2
メートル
2
）
x
2
+ （
d
0
+ 3 メートル
d
1
+ 3
メートル
2
d
2
+
d
3
メートル
3
）
x
3
+ ⋯ 。
{\displaystyle f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\cdots .}
c
0
+ 2 メートル
c
1
+
メートル
2
c
2
= 0.
{\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}
クルノデス にm の 2 つの実数解がある 場合 、つまり の場合、 原点は クルーノード と呼ばれます。この場合の曲線は原点で交差し、 の 2 つの解に対応する 2 つの異なる接線を持ちます 。この場合、
関数 f は原点に 鞍点 を持ちます。
c
0
+ 2 メートル
c
1
+
メートル
2
c
2
= 0
{\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}
c
0
c
2
−
c
1
2
< 0 、
{\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}<0,}
c
0
+ 2 メートル
c
1
+
メートル
2
c
2
= 0.
{\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}
アクノデス にm の実数解がない 場合 、つまり の場合、原点は アクノード と呼ばれます 。実平面では、原点は曲線上の 孤立点 です。しかし、複素曲線として考えると、原点は孤立せず、 の 2 つの複素解に対応する 2 つの虚接線を持ちます 。この場合、
関数 fは原点で 極値を 持ちます。
c
0
+ 2 メートル
c
1
+
メートル
2
c
2
= 0
{\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}
c
0
c
2
−
c
1
2
> 0 、
{\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}>0,}
c
0
+ 2 メートル
c
1
+
メートル
2
c
2
= 0.
{\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}
カスプ がm に対して重複度 2 の単一の解を持つ 場合 、つまり である場合、 原点は 尖点 と呼ばれます。この場合、曲線は原点で方向を変え、鋭い点を形成します。曲線は原点で単一の接線を持ち、これは 2 つの一致する接線と見なすことができます。
c
0
+ 2 メートル
c
1
+
メートル
2
c
2
= 0
{\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}
c
0
c
2
−
c
1
2
= 0 、
{\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}=0,}
さらに分類する ノード という用語は 、クルノードまたはアクノード、つまり尖点ではない二重点を示すために使用されます。曲線上のノードの数と尖点の数は、 Plücker の公式 で使用される不変量の 2 つです。
の解の1つが の 解でもある場合 、曲線の対応する枝は原点で変曲点を持ちます。この場合、原点は 屈曲点 と呼ばれます。両方の接線がこの性質を持ち、の因数もこの性質を 持つ場合 、原点は 双屈曲点 と呼ばれます。 [2]
c
0
+ 2 メートル
c
1
+
メートル
2
c
2
= 0
{\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}
d
0
+ 3 メートル
d
1
+ 3
メートル
2
d
2
+
メートル
3
d
3
= 0 、
{\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3}=0,}
c
0
+ 2 メートル
c
1
+
メートル
2
c
2
{\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}}
d
0
+ 3 メートル
d
1
+ 3
メートル
2
d
2
+
メートル
3
d
3
、
{\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3},}
複数のポイント 原点に三重点を持つ曲線: x ( t ) = sin(2 t ) + cos( t ) 、 y ( t ) = sin( t ) + cos(2 t ) 一般に、 fにおいて k 未満の次数の項がすべて0 で、 k 次数の項の少なくとも 1 つ が 0 でない場合、曲線は k 次数の 多重点 、つまり k 重点 を持つと言われます。一般に、曲線は原点に k 本 の接線を持ちます が、これらの接線の一部は虚数である可能性があります。 [3]
パラメトリック曲線 の パラメータ化された 曲線は関数 の像として定義されます。 特異点とは、
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
グ :
R
→
R
2
、
{\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},}
グ （ t ） = （
グ
1
（ t ） 、
グ
2
（ t ） ） 。
{\displaystyle g(t)=(g_{1}(t),g_{2}(t)).}
d
グ
1
d t
=
d
グ
2
d t
= 0.
{\displaystyle {\frac {dg_{1}}{dt}}={\frac {dg_{2}}{dt}}=0.}
半立方放物面 の尖端
ええ
2
=
x
3
{\displaystyle y^{2}=x^{3}}
多くの曲線はどちらかの方法で定義できますが、2 つの定義が一致しない場合があります。たとえば、 尖点は 代数曲線 上、 またはパラメーター化された曲線 上に 定義できます 。どちらの定義でも、原点に特異点が生じます。ただし、原点 の などの ノードは 、代数曲線として考えた場合の曲線の特異点ですが、それを としてパラメーター化すると が 消えることはなく、したがってノードは 上記で定義したパラメーター化された曲線の特異点で
は ありません。
x
3
−
ええ
2
= 0 、
{\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}
グ （ t ） = （
t
2
、
t
3
） 。
{\displaystyle g(t)=(t^{2},t^{3}).}
ええ
2
−
x
3
−
x
2
= 0
{\displaystyle y^{2}-x^{3}-x^{2}=0}
グ （ t ） = （
t
2
− 1 、 t （
t
2
− 1 ） ） 、
{\displaystyle g(t)=(t^{2}-1,t(t^{2}-1)),}
グ ′
（ t ）
{\displaystyle g'(t)}
パラメータ化を選択する際には注意が必要です。たとえば、直線 y = 0 は、原点で特異点を持つ によってパラメータ化できます。 によってパラメータ化されると、特異点ではなくなります。したがって、ここでは曲線の特異点ではなく、 滑らかなマッピングの特異点 について議論する方が技術的に正確です 。
グ （ t ） = （
t
3
、 0 ） 、
{\displaystyle g(t)=(t^{3},0),}
グ （ t ） = （ t 、 0 ） 、
{\displaystyle g(t)=(t,0),}
上記の定義は、 滑らかな関数 の 零点集合として定義される 暗黙 の 曲線 を カバーするように拡張することができ、代数多様体だけを考慮する必要はありません。定義は、より高次元の曲線をカバーするように拡張できます。
ふ
− 1
（ 0 ）
{\displaystyle f^{-1}(0)}
ハスラー・ホイットニー の定理 [4] [5] によれば、
任意のパラメータ化された曲線は暗黙の曲線として定義することもでき、曲線の特異点の分類は 代数多様体の特異点 の分類として研究することができます。
特異点の種類 考えられる特異点のいくつかは次のとおりです。
孤立点 ： アクノード
x
2
+
ええ
2
= 0 、
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=0,}
2本の線が 交差する： クルノード
x
2
−
ええ
2
= 0 、
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=0,}
カスプ ： スピノード と も呼ばれる
x
3
−
ええ
2
= 0 、
{\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}
タクノード :
x
4
−
ええ
2
= 0
{\displaystyle x^{4}-y^{2}=0}
菱形 骨尖 ：
x
5
−
ええ
2
= 0.
{\displaystyle x^{5}-y^{2}=0.}
参照
参考文献
^ ヒルトン第2章§1 ^ ヒルトン第2章§2 ^ ヒルトン第2章§3 ^ Th. Bröcker, Differentiable Germs and Catastrophes 、ロンドン数学会。講義ノート 17。ケンブリッジ、(1975) ^ ブルースとギブリン『 曲線と特異点 』（1984年、1992年） ISBN 0-521-41985-9 、 ISBN 0-521-42999-4 （ペーパーバック） ヒルトン、ハロルド (1920)。「第 2 章: 特異点」。平面代数曲線。オックスフォード。
