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幾何学において、ダンデリン球は、平面と平面と交差する円錐の両方に接する1つまたは2つの球である。円錐と平面の交点は円錐曲線であり、いずれかの球が平面に接する点は円錐曲線の焦点であるため、ダンデリン球は焦点球と呼ばれることもある。[1]
ダンデリン球は1822年に発見されました。[1] [2]フランスの数学者ジェルミナル・ピエール・ダンデリン にちなんで名付けられましたが、アドルフ・ケトレにも部分的に功績が認められることがあります。[3] [4] [5]
ダンデリン球は、アポロニウスが知っていた2つの古典的な定理を現代的にエレガントに証明するために使用できます。最初の定理は、閉じた円錐曲線（つまり楕円）は、2つの固定点（焦点）までの距離の合計が一定である点の軌跡です。2番目の定理は、任意の円錐曲線について、固定点（焦点）からの距離は固定線（準線）からの距離に比例し、比例定数は離心率と呼ばれます。[6]
円錐曲線では、焦点ごとに 1 つのダンデリン球があります。楕円では、円錐の同じナップに接する 2 つのダンデリン球があり、双曲線では、反対のナップに接する 2 つのダンデリン球があります。放物線では、ダンデリン球は 1 つだけです。
交差曲線の焦点までの距離の合計が一定であることの証明
頂点Sを持つ円錐を描いた図を考えてみましょう。平面e は曲線C (内部が青色)で円錐と交差します。次の証明は、曲線Cが楕円であることを示します。
2 つの茶色のダンデリン球G 1とG 2 は、平面と円錐の両方に接するように配置されています。G 1 は平面の上に、G 2 は平面の下にあります。各球は円 (白色) に沿って円錐に接しています。
平面とG 1の接点をF 1で表し、G 2とF 2についても同様とする。曲線C上の代表的な点をPとする。
証明:点P が交差曲線Cに沿って移動しても、距離の合計は一定のままです。(これは、 C が楕円であり、と が焦点である という定義の 1 つです。)
- Pと円錐の頂点 Sを通る線は2 つの円と交差し、それぞれ点P 1と点P 2でG 1とG 2に接します。
- P が曲線の周りを移動すると、 P 1とP 2 は2 つの円に沿って移動し、それらの距離d ( P 1、 P 2 ) は一定のままです。
- 線分PF 1とPP 1 は両方とも同じ球G 1に接しているので、 PからF 1までの距離はPからP 1までの距離と同じです。
- 対称的な議論によれば、PからF 2までの距離は、 PからP 2までの距離と同じです。
- したがって、距離の合計を として計算します。これは、 P が曲線に沿って移動しても一定です。
これはペルガのアポロニウスの定理の別の証明を与える。[6]
楕円を、 d ( F 1、 P ) + d ( F 2、 P ) = 定数となる点Pの軌跡と定義すると、上記の議論は交差曲線Cが確かに楕円であることを証明します。平面と円錐の交差がF 1とF 2 を通る線の垂直二等分線に関して対称であるというのは直感に反するかもしれませんが、この議論によってそれが明らかになります。
この議論の適応は、平面と円錐の交差としての双曲線と放物線にも適用できます。別の適応は、平面と直円柱の交差として実現される楕円にも適用できます。
焦点-準線特性の証明
円錐断面の準線は、ダンデリン作図法を使用して見つけることができます。各ダンデリン球は円錐と円で交差します。これらの円は両方とも独自の平面を定義します。これらの 2 つの平行な平面と円錐断面の平面の交点は 2 本の平行線になります。これらの線が円錐断面の準線です。ただし、放物線にはダンデリン球が 1 つしかないため、準線も 1 つしかありません。
ダンデリン球面を使用すると、任意の円錐曲線は、点（焦点）からの距離が準線からの距離に比例する点の軌跡であることが証明できます。[7]アレクサンドリアのパップス などの古代ギリシャの数学者はこの性質を認識していましたが、ダンデリン球面は証明を容易にします。[6]
ダンデランもケトレもダンデラン球を焦点-準線の性質の証明に使用しなかった。最初にこれを証明したのは、1829年のピアス・モートン[8] か、あるいは1758年に球が円錐に接する円は平面を定義し、その平面と円錐断面の平面の交点は準線であると指摘したヒュー・ハミルトンだったかもしれない。[1] [9] [10] [11]焦点-準線の性質は、天体が太陽の周りを円錐断面[壊れた錨]に沿って動くこと を証明するために使用できる。 [12]
注記
- ^ abc テイラー、チャールズ。 『古代および現代の円錐幾何学入門』、196 ページ (「焦点球」)、204 ～ 205 ページ (発見の歴史) (デイトン、ベルおよび共同、1881 年)。
- ^ ダンデリン、G. (1822)。 "Mémoire sur quelques propriétés remarquables de la folke parabolique" [放物線焦点[すなわち、斜長球面] のいくつかの注目すべき性質に関する回想録]。Nouveau mémoires de l'Académie Royale des Sciences et belles-lettres de Bruxelles (フランス語)。2：171-200。
- ^ ケンディグ、キース。 円錐曲線、p. 86（楕円の証明）およびp. 141（双曲線の証明）（ケンブリッジ大学出版局、2005年）。
- ^ Quetelet, Adolphe (1819) 「Dissertatio mathematica inauguralis de quibusdam locis geometais nec non de curva focusi」 (いくつかの幾何学的軌跡と焦点曲線に関する最初の数学論文)、博士論文 (ベルギーのゲント大学 (「ガント」))。 (ラテン語で)
- ^ ゴドー、L. (1928)。 「Le mathématicien Adolphe Quetelet (1796-1874)」。シエル・エ・テール（フランス語）。44：60～64。
- ^ abc ヒース、トーマス。 ギリシャ数学の歴史、119ページ（焦点-準線の性質）、542ページ（焦点までの距離の合計の性質）（クラレンドンプレス、1921年）。
- ^ Brannan, A. et al. Geometry、19ページ（ケンブリッジ大学出版局、1999年）。
- ^ ヌメリカナの伝記: モートン、ピアース
- ^ モートン、ピアース『 幾何学、平面、立体、球面』6冊、228ページ（ボールドウィン＆クラドック、1830年）。
- ^ モートン、ピアース（1830）。「円錐断面の焦点について」ケンブリッジ哲学協会紀要3：185-190 。
- ^ ヒュー・ハミルトン (1758)。 De Sectionibus Conicis。 Tractatus Geometricus。現状では、ex Natura ipsius Coni、Sectionum Affectiones facillime deducuntur。 Methodo nova [円錐曲線について。幾何学の専門書。この場合、円錐自体の性質から、セクションの関係が最も簡単に推測されます。新しい方法で。］（ラテン語）。イギリス、ロンドン：ウィリアム・ジョンストン。 122–125ページ。 Liber (本) II、Propositio (命題) XXXVII (37)。
- ^ ハイマン、アンドリュー。「惑星運動の単純なデカルト的扱い」、ヨーロッパ物理学ジャーナル、第14巻、145ページ（1993年）。
外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、ダンデリン球に関連するメディアがあります。
- ホップ・デイビッドによるダンデリン・スフィアのページ
- ワイスタイン、エリック・W.「ダンデリンの球体」。マスワールド。
- ダンデリンの球に関する Math Academy のページ 2007-04-11 にWayback Machineでアーカイブ
- グザヴィエ・ユボー著『Les théorèmes belges』（フランス語）。
- 円錐曲線軌道 - ダンデリン球 ( Greg Egan作)