退化した円錐曲線

幾何学において、退化円錐曲線とは、既約曲線にならない円錐曲線（2 次平面曲線、 2 次多項式方程式で定義）のことです。これは、定義方程式が、2 つの線型多項式の積として複素数（またはより一般的には代数的に閉じた体）上で因数分解可能であることを意味します。

円錐曲線を、平面と二重円錐の3 次元空間における交差と定義する別の定義を使用すると、平面が円錐の頂点を通過する場合、円錐曲線は退化しています。

実平面では、退化した円錐曲線は、平行でもそうでなくてもよい 2 本の線、1 本の線 (一致する 2 本の線、または 1 本の線と無限遠点の線との和)、1 点 (実際には 2 本の複素共役線)、または零集合 (無限遠点の線の 2 倍、または 2 本の平行な複素共役線) のいずれかになります。

これらの退化した円錐曲線はすべて、円錐曲線の束に発生する可能性があります。つまり、2 つの実数の退化していない円錐曲線が二次多項式方程式f = 0とg = 0で定義されている場合、方程式af + bg = 0の円錐曲線は、1 つまたは 3 つの退化した円錐曲線を含む束を形成します。実平面内の任意の退化した円錐曲線について、与えられた退化した円錐曲線がそれらが決定する束に属するようにfとg を選択できます。

方程式 の円錐曲線は、方程式が と書けるため退化しており、交差する 2 本の線が「X」を形成する。この退化した円錐曲線は、方程式 の双曲線の束の極限ケースとして発生する。極限ケースは、無限遠の直線の 2 倍で構成される退化した円錐曲線の例である。 ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0}$${\displaystyle (xy)(x+y)=0}$${\displaystyle a=1,b=0}$${\displaystyle a(x^{2}-y^{2})-b=0.}$${\displaystyle a=0,b=1}$

同様に、実点が 1 つしかない方程式 の円錐曲線は退化しており、複素数上でのように因数分解可能です。したがって、円錐曲線は、円錐曲線の唯一の実点 で交差する2 本の複素共役直線で構成されます。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle (x+iy)(x-iy)}$${\displaystyle (0,0)}$

方程式の楕円束は、 の場合は 2 本の平行線に退化し、 の場合は1 本の二重線に退化します。 ${\displaystyle ax^{2}+b(y^{2}-1)=0}$${\displaystyle a=0,b=1}$${\displaystyle a=1,b=0}$

方程式の円の束は、無限遠直線と方程式の直線の 2 つの直線に退化します。 ${\displaystyle a(x^{2}+y^{2}-1)-bx=0}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle x=0}$

複素射影平面上では、退化した円錐曲線は 2 種類しかありません。つまり、必ず 1 点で交差する 2 つの異なる直線、または 1 本の二重直線です。任意の退化した円錐曲線は、射影変換によって同じ種類の他の任意の退化した円錐曲線に変換できます。

実アフィン平面上では状況はより複雑になります。退化した実円錐曲線は次のようになります。

• 交差する2本の線、例えば${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0\Leftrightarrow (x+y)(xy)=0}$
• 2本の平行線、例えば${\displaystyle x^{2}-1=0\Leftrightarrow (x+1)(x-1)=0}$
• 二重線（多重度2）${\displaystyle x^{2}=0}$
• 交差する2本の複素共役直線（実数は1点のみ）${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0\Leftrightarrow (x+iy)(x-iy)=0}$
• 2つの平行な複素共役直線（実点なし）${\displaystyle x^{2}+1=0\Leftrightarrow (x+i)(xi)=0}$
• 一本の線と無限遠の線
• 無限遠直線の2倍（アフィン平面に実点はない）

同じクラスの任意の 2 つの退化した円錐曲線に対して、最初の円錐曲線を 2 番目の円錐曲線にマッピングする アフィン変換が存在します。

非退化実円錐曲線は、非同次形式の判別式（行列の行列式） によって楕円、放物線、双曲線に分類できる。${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F}$

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\\\end{bmatrix}},}$

の二次形式の行列。この行列式は、円錐曲線が楕円、放物線、双曲線であるかどうかに応じて、それぞれ正、ゼロ、負になります。 ${\displaystyle (x,y)}$

同様に、円錐曲線は、の同次二次形式の判別式に従って非退化か退化かに分類できる。^{[1] [2] : p.16}ここで、アフィン形式は次のように同次化される。 ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2};}$

この形式の判別式は行列の行列式である

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\\\end{bmatrix}}.}$

この行列の行列式がゼロの場合にのみ、円錐曲線は退化します。この場合、次の可能性が考えられます。

• 2 本の交差する線 (2 つの漸近線に退化した双曲線) は、次の場合にのみ存在します(最初の図を参照)。${\displaystyle \det M<0}$
• 2 本の平行な直線 (退化した放物線) は、 の場合に限ります。これらの直線は、 の場合別個かつ実数であり(2 番目の図を参照)、 の場合一致し、 の場合実平面に存在しません。${\displaystyle \det M=0}$${\displaystyle D^{2}+E^{2}>(A+C)F}$${\displaystyle D^{2}+E^{2}=(A+C)F}$${\displaystyle D^{2}+E^{2}<(A+C)F}$
• 単一の点（退化した楕円）は、次の場合に限ります。${\displaystyle \det M>0}$
• 単一の直線（および無限遠直線）であるためには、およびおよびが両方ともゼロではないことが必要です。このケースは常に、円の束内の退化した円錐曲線として発生します。ただし、他のコンテキストでは、その方程式が 2 次ではないため、退化した円錐曲線とは見なされません。${\displaystyle A=B=C=0,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$

一致する線は、3×3行列の階数が1の場合にのみ発生します。他のすべての退化したケースでは、その階数は2です。^{[3] ：p.108}${\displaystyle Q}$

円錐曲線は、その 3 次元形状を強調するために円錐断面とも呼ばれ、平面と円錐の交差として生じます。退化は、平面が円錐の頂点を含む場合、または円錐が円筒に退化し、平面が円筒の軸に平行である場合に発生します。詳細については、円錐断面#退化の場合を参照してください。

退化円錐は、退化代数多様体一般と同様に、非退化円錐の極限として現れ、曲線のモジュライ空間のコンパクト化において重要です。

例えば、で定義される曲線束（1次元の線型円錐曲線系）はに対しては退化していないが に対しては退化している。具体的には、の2つの平行線に対しては楕円であり、の双曲線である。全体を通して、一方の軸の長さは2で、もう一方の軸の長さはに対して無限大である。${\displaystyle x^{2}+ay^{2}=1}$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle a=0;}$${\displaystyle a>0,}$${\displaystyle a=0,}$${\displaystyle a<0}$${\textstyle 1/{\sqrt {|a|}},}$${\displaystyle a=0.}$

このような族は自然に生じます。一般的な線形位置にある 4 つの点（1 つの線上に 3 つはない）が与えられると、それらの点を通る円錐曲線の束が存在します（5 つの点によって円錐曲線が決定され、4 つの点によって 1 つのパラメーターが自由になります）。そのうち 3 つは退化しており、それぞれが 1 組の線で構成され、4つの点から 2 組の点を選択する方法に対応します（多項式係数を介してカウント）。 ${\displaystyle \textstyle {{\binom {4}{2,2}}=3}}$

外部ビデオ
タイプ I 線形システム (Coffman)。

例えば、4つの点が与えられた場合、それらを通る円錐曲線の線は、次の線を描くようにパラメータ化できます。すべての場合において、中心は原点にあります。^{[注 1]}${\displaystyle (\pm 1,\pm 1),}$${\displaystyle (1+a)x^{2}+(1-a)y^{2}=2,}$

• ${\displaystyle a>1:}$左右に開いた双曲線。
• ${\displaystyle a=1:}$平行な垂直線${\displaystyle x=-1,\ x=1;}$
• ${\displaystyle 0<a<1:}$ 垂直な長軸を持つ楕円。
• ${\displaystyle a=0:}$円（半径）${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• ${\displaystyle -1<a<0:}$水平の長軸を持つ楕円。
• ${\displaystyle a=-1:}$平行な水平線${\displaystyle y=-1,\ y=1;}$
• ${\displaystyle a<-1:}$上下に開いた双曲線、
• ${\displaystyle a=\infty :}$斜めの線${\displaystyle y=x,\ y=-x;}$

（ を で割って極限値をとると となる）${\displaystyle a}$${\displaystyle a\to \infty }$${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0}$

• 鉛筆は射影線なので、これはループします。${\displaystyle a>1,}$

このパラメータ化には対称性があり、aの符号を反転するとxとy が逆になることに注意してください。 (Levy 1964) の用語では、これはタイプ I の線形円錐曲線システムであり、リンクされたビデオでアニメーション化されています。

このような族の顕著な応用例は (Faucette 1996) にあります。この応用では、4 次方程式の 4 つの根を通る円錐曲線の束を考慮し、3 つの退化した円錐曲線を解決可能な 3 次方程式の 3 つの根と同一視することで、4 次方程式の幾何学的解が与えられます。

パップスの六角形定理は、円錐曲線が 2 本の直線に退化する パスカルの定理の特殊なケースです。

複素射影平面では、すべての円錐曲線は同等であり、2 つの異なる直線または 1 つの二重直線に退化できます。

実アフィン平面では:

• 双曲線は、 のように 2 本の交差する線 (漸近線) に退化したり、 のように 2 本の平行線に退化したり、が0 に近づくにつれて二重線に退化したりすることがあります。${\displaystyle x^{2}-y^{2}=a^{2},}$${\displaystyle x^{2}-a^{2}y^{2}=1,}$${\displaystyle x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2},}$
• 放物線は 2 本の平行線に退化できます。または、2 重線は0 に向かいますが、放物線は無限遠点が 2 つあるため、2 本の交差する線には退化できません。${\displaystyle x^{2}-ay-1=0}$${\displaystyle x^{2}-ay=0,}$
• 楕円は 2 本の平行線に退化できます。または、 a が0 に向かうときの二重線に退化できます。ただし、楕円は無限遠に共役複素点を持ち、退化すると二重点になるため、交差する 2 本の線に退化することはできません。${\displaystyle x^{2}+a^{2}y^{2}-1=0}$${\displaystyle x^{2}+a^{2}y^{2}-a^{2}=0,}$

退化した円錐曲線は、空間と無限遠点の次元によって示されるように、より特殊な退化した円錐曲線にさらに退化することができます。

• 交差する 2 本の線は、 のように平行になるまで回転することで 2 本の平行線に退化したり、 のように点を中心に互いに回転することで 2 本の平行線に退化したりして、それぞれの場合でa が0 に近づくにつれて二重線に退化したりすることができます。${\displaystyle x^{2}-ay^{2}-1=0,}$${\displaystyle x^{2}-ay^{2}=0,}$
• 2 本の平行線は、0 に向かうときのように、互いに近づくことで二重線に退化できますが、非平行線には退化できません。${\displaystyle x^{2}-a^{2}=0}$
• 二重線は他のタイプに退化することはできません。
• 楕円の別のタイプの退化は、焦点までの距離の合計が焦点間距離と等しくなるように要求される場合に発生します。つまり、楕円の短軸は 0 に等しく、離心率は 1 になります。その結果、焦点が端点にある線分(楕円は端点で微分できないため退化します)が生成されます。軌道としては、これは放射状楕円軌道です。

一般的な円錐曲線は5 つの点によって定義されます。一般的な位置にある 5 つの点が与えられた場合、それらを通過する唯一の円錐曲線が存在します。これらの点のうち 3 つが直線上にある場合、円錐曲線は縮小可能であり、一意である場合もそうでない場合もあります。4 つの点が同一直線上にない場合は、5 つの点によって一意の円錐曲線が定義されます (3 つの点が同一直線上にある場合は退化しますが、他の 2 つの点によって他の唯一の直線が決定されます)。ただし、4 つの点が同一直線上にある場合は、それらを通過する唯一の円錐曲線は存在しません。つまり、1 つの直線が 4 つの点を通過し、残りの直線が他の点を通過しますが、角度は定義されていないため、1 つのパラメーターが自由になります。5 つの点すべてが同一直線上にある場合は、残りの直線が自由であるため、2 つのパラメーターが自由になります。

一般的な直線位置にある 4 つの点（同一直線上にある 3 つの点、特に 2 つの点が一致する点はない）を考えると、それらの点を通過する直線のペア（退化した円錐曲線）は正確に 3 組存在し、それらの点が台形（1 つのペアが平行）または平行四辺形（2 つのペアが平行） を形成しない限り、それらは一般に交差します。

3 つの点が同一直線上にない場合、それらの点を通る平行線のペアが 3 組あります。平行線公理により、そのうち 2 つを選択して 1 本の線を定義し、3 つ目を選択して平行線が通過する線を定義します。

2 つの異なる点が与えられると、それらを通る一意の二重線が存在します。