軸の翻訳

数学において、2次元における軸の変換とは、 xy -直交座標系からx'y' - 直交座標系への写像であり、 x'軸はx軸と平行でk単位離れており、y'軸はy軸と平行でh単位離れている。つまり、新しい座標系の原点O' は、元の座標系では ( h , k ) である。x 'およびy' の正方向は、 xおよびy の正方向と同じである。点P は、元の座標系に対しては( x , y ) の座標を持ち、新しい座標系に対しては ( x' , y' ) の座標を持つ。

または同等

新しい座標系では、点P は反対方向に移動したように見えます。たとえば、xy系が右に距離h 、上に距離k移動した場合、x'y'系ではP は左に距離h 、下に距離k移動したように見えます。2次元以上の軸の移動も同様に定義されます。^[3]軸の移動は固定変換であり、線形写像ではありません。(アフィン変換を参照。)

座標系は、解析幾何学の方法を用いて曲線の方程式を研究するために不可欠です。座標幾何学の方法を使用するには、軸を、検討中の曲線に対して都合の良い位置に配置します。たとえば、楕円と双曲線の方程式を研究する場合、焦点は通常、軸の 1 つにあり、原点に対して対称に配置されます。曲線 (双曲線、放物線、楕円など) が軸に対して都合の良い位置に配置されていない場合は、座標系を変更して、曲線を都合の良い、馴染みのある位置と方向に配置する必要があります。この変更を行うプロセスは、座標の変換と呼ばれます。^[4]

多くの問題の解決は、座標軸を変換して元の軸と平行な新しい軸を取得することで簡素化できます。^[5]

座標変換により、円錐曲線の方程式は標準形に置き換えることができ、通常は扱いやすくなります。最も一般的な2次方程式は、次の形式をとります。

軸の回転を常に実行することができ、新しいシステムでは方程式が次の形式になる。

つまり、xy項を消去する。^[6] 次に、軸を平行移動することで、形式（3）の方程式を、座標として新しい変数（x'、y'）を持ち、DとEが両方ともゼロに等しい（放物線などの特定の例外を除く）同じ形式の方程式に簡約することができます。このプロセスの主なツールは「平方完成」です。^[7] 次の例では、軸の回転がすでに実行されていることを前提としています。

方程式

${\displaystyle 9x^{2}+25y^{2}+18x-100y-116=0,}$

軸の移動を使用して、方程式の軌跡が放物線、楕円、双曲線のいずれであるかを決定します。焦点、頂点、および離心率を決定します。

解答: xとy の平方根を完成するには、次の形式で方程式を書きます。

${\displaystyle 9(x^{2}+2x\qquad )+25(y^{2}-4y\qquad )=116.}$

四角形を完成させて

${\displaystyle 9(x^{2}+2x+1)+25(y^{2}-4y+4)=116+9+100}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 9(x+1)^{2}+25(y-2)^{2}=225.}$

定義する

${\displaystyle x'=x+1}$     そして     ${\displaystyle y'=y-2.}$

つまり、式（２）の変換は、 新しい座標系における式は ${\displaystyle h=-1,k=2.}$

式（５）を２２５で割ると

${\displaystyle {\frac {x'^{2}}{25}}+{\frac {y'^{2}}{9}}=1,}$

これは楕円として認識でき、 x'y'座標系 では中心、頂点、焦点がある。${\displaystyle a=5,b=3,c^{2}=a^{2}-b^{2}=16,c=4,e={\tfrac {4}{5}}.}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (\pm 5,0)}$${\displaystyle (\pm 4,0).}$

xy座標系では、中心、頂点、焦点、偏心度の関係式を用いる^[8]。${\displaystyle x=x'-1,y=y'+2}$${\displaystyle (-1,2)}$${\displaystyle (4,2),(-6,2)}$${\displaystyle (3,2),(-5,2)}$${\displaystyle {\tfrac {4}{5}}.}$

3次元のxyz-直交座標系について、2番目の直交座標系が導入され、x'、y'、z'の各軸が、 x'軸がx軸に平行でそこからh単位離れ、 y'軸がy軸に平行でそこからk単位離れ、z'軸がz軸に平行でそこからl単位離れていると仮定します。空間内の点Pは、両方の座標系で座標を持ちます。その座標が元の座標系で( x、y、z )で、2番目の座標系で( x'、y'、z' )である場合、方程式は次のよう になります。

成り立つ。^[9]式（6）は3次元における軸の移動を定義する。ここで、（h、k、l）は新しい原点のxyz座標である。 ^[10] 任意の有限次元における軸の移動も同様に定義される。

3次元空間では、 x、y、zの2次の最も一般的な方程式は次の形になります。

ここで、量は正または負の数またはゼロです。このような方程式を満たす空間内の点はすべて表面上にあります。円筒、平面、線、または点に簡約されない2次方程式はすべて、二次曲面と呼ばれる表面に対応します。^[11]${\displaystyle A,B,C,\ldots,J}$

平面解析幾何学の場合と同様に、軸の移動法は2次方程式を単純化するために使用することができ、それによって特定の2次曲面の性質を明らかにする。このプロセスの主なツールは「平方完成」である。^[12]

座標変換を使用して二次曲面を識別する

${\displaystyle x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+2x-8y+9z=10.}$

解答: 方程式を次の形式で書きます

${\displaystyle x^{2}+2x\qquad +4(y^{2}-2y\qquad )+3(z^{2}+3z\qquad )=10.}$

正方形を完成させると

${\displaystyle (x+1)^{2}+4(y-1)^{2}+3(z+{\tfrac {3}{2}})^{2}=10+1+4+{ \tfrac {27}{4}}.}$

座標の変換を導入する

${\displaystyle x'=x+1,\qquad y'=y-1,\qquad z'=z+{\tfrac {3}{2}}.}$

表面の方程式は次の形をとる。

${\displaystyle x'^{2}+4y'^{2}+3z'^{2}={\tfrac {87}{4}},}$

これは楕円体の方程式として認識できる。^[13]

• 基準の変更
• 翻訳（幾何学）

• アントン、ハワード（1987）、初等線形代数（第5版）、ニューヨーク：ワイリー、ISBN 0-471-84819-0
• プロッター、マレー H.; モリー、チャールズ B. ジュニア (1970)、大学微積分学と解析幾何学(第 2 版)、読書: Addison-Wesley、LCCN  76087042