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ピエール・ド・フェルマー（/ fɜːrˈmɑː /；[ 2 ]フランス語: [ pjɛʁdəfɛʁma ]；1605年10月31日[ a ] - 1665年1月12日）は、フランスの判事、博学者であり、何よりも数学者であり、微積分学につながる初期の発展、特に等式法の考案に貢献したことで知られています。特に、曲線の最大値と最小値の座標を求める独創的な方法を発見したことで知られており、これは当時知られていなかった微分積分学に類似しています。また、数論の研究でも知られています。解析幾何学、確率論、光学にも顕著な貢献をしました。彼は、光伝播に関するフェルマーの原理と、数論におけるフェルマーの最終定理で最もよく知られており、後者については、ディオファントスの『算術』の写本の余白に注釈として記している。彼はまた、フランスのトゥールーズ高等法院の弁護士[ 4 ]であり、詩人、熟練したラテン語学者、そしてギリシャ語学者でもあった。
フェルマーは1601年にフランスのボーモン＝ド＝ロマーニュで生まれた[ a ]。フェルマーが生まれた15世紀後半の邸宅は現在博物館となっている。彼はガスコーニュ出身で、父親のドミニク・フェルマーは裕福な皮革商人であり、ボーモン＝ド＝ロマーニュの4人の執政官のうちの1人として3期1年間務めた。母親はクレール・ド・ロン[ 3 ] 。ピエールには兄弟が1人と姉妹が2人おり、ほぼ間違いなく生まれた町で育った。
彼は1623年からオルレアン大学に通い、1626年に民法学の学士号を取得した後、ボルドーに移った。ボルドーで、彼は最初の本格的な数学研究を始めた。1629年、彼はアポロニウスの『平面図について』の復元版を、そこの数学者の一人に贈った。ボルドーではボーグランと交流があり、この時期に彼は最大値と最小値に関する重要な研究を行い、フェルマーと数学的関心を共有していたエティエンヌ・デスパニェに贈った。そこで彼はフランソワ・ヴィエトの研究から大きな影響を受けた。[ 5 ]
1630年、彼はフランスの高等裁判所の1つであるトゥールーズ高等法院の評議員の職を購入し、1631年5月に大法廷で宣誓を行った。彼は生涯この職を務めた。これにより、フェルマーはピエール・フェルマーからピエール・ド・フェルマーに改名する権利を得た。1631年6月1日、フェルマーは母クレール・ド・フェルマー（旧姓ド・ロン）の4従姉妹にあたるルイーズ・ド・ロンと結婚した。フェルマー夫妻には8人の子供がおり、そのうち5人が成人した。クレマン＝サミュエル、ジャン、クレール、カトリーヌ、ルイーズである。[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]
フェルマーは6カ国語（フランス語、ラテン語、オック語、古典ギリシャ語、イタリア語、スペイン語）に堪能で、複数の言語で書いた詩が評価され、ギリシャ語文献の修正に関して彼の助言が熱心に求められた。彼は自分の研究のほとんどを友人への手紙で伝え、定理の証明はほとんど、あるいは全く示さなかった。友人への手紙の中には、ニュートンやライプニッツよりも前に微積分学の多くの基本的な考え方を探求したものもあった。彼は弁護士の資格を持っていたため、数学は職業というより趣味だった。それでも、彼は解析幾何学、確率論、数論、微積分学に重要な貢献をした。[ 9 ]当時、ヨーロッパの数学界では秘密主義が一般的だった。これは当然、デカルトやウォリスなどの同時代人との優先権争いにつながった。[ 10 ]
アンダース・ハルドは、「フェルマーの数学の基礎は、古典ギリシャの論文とヴィエタの新しい代数的手法を組み合わせたものであった」と述べている。[ 11 ]
フェルマーの解析幾何学における先駆的な研究( Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de Tangentibus lineaum curvarum ) は、この研究を活用したデカルトのLa géométrie (1637)の出版よりも前に、(1629 年に達成された結果に基づいて) 1636 年に原稿の形で流通しました[ 12 ]。[ 13 ]この原稿は、死後 1679 年にAd Locos Planos et Solidos Isagoge (平面と立体軌跡の紹介)としてVaria opera mathematicaに掲載されました。 [ 14 ]
フェルマーは『Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum』の中で、微分積分に相当する、さまざまな曲線の最大値、最小値、接線を決定する方法（adequality ）を開発した。[ 15 ] [ 16 ]これらの著作の中で、フェルマーはさまざまな平面図形や立体図形の重心を求める技術を獲得し、それが彼のその後の求積法の研究につながった。
フェルマーは、一般べき関数の積分を評価したことが知られている最初の人物である。彼の方法により、この評価を等比級数の和に還元することができた。[ 17 ]結果として得られた公式は、ニュートン、そしてライプニッツがそれぞれ独立に微積分学の基本定理を発展させた際に役立った。
数論において、フェルマーはペル方程式、完全数、友愛数、そして後にフェルマー数となるものを研究した。完全数を研究している最中に、彼はフェルマーの小定理を発見した。彼は因数分解法（フェルマーの因数分解法）を考案し、無限降下法による証明を普及させた。彼はこの方法を用いて、 n =4の場合のフェルマーの最終定理を系として含むフェルマーの直角三角形定理を証明した。フェルマーは2平方数定理と多角数定理を発展させた。多角数定理は、すべての数は3つの三角数、4つの平方数、5つの五角数などの和で表されると述べている。
フェルマーは自身の算術定理をすべて証明したと主張したが、その証明の記録はほとんど残っていない。ガウスをはじめとする多くの数学者は、特に問題の難しさやフェルマーが利用できた数学的手法の限界を考慮すると、彼の主張のいくつかに疑問を抱いていた。彼の最終定理は、父親が所有していたディオファントスの版の余白に息子が発見したもので、余白が小さすぎて証明を書き込めなかったという記述があった。フェルマーはマラン・メルセンヌにこの件について手紙を書いていなかったようだ。この定理は1994年にアンドリュー・ワイルズ卿によって初めて証明されたが、その証明にはフェルマーには利用できなかった手法が用いられた。
1654年のフェルマーとブレーズ・パスカルの書簡のやり取りを通して、確率論の基礎が築かれた。点の問題に関するこの短期間ながらも実りある共同作業から、彼らは現在、確率論の共同創始者とみなされている。[ 18 ]フェルマーは、史上初の厳密な確率計算を行ったとされている。その中で、プロのギャンブラーから、サイコロを4回振って少なくとも1回6が出ることに賭けると長期的には勝つのに、2つのサイコロを24回振って少なくとも1回ダブルシックスが出ることに賭けると負けるのはなぜかと尋ねられた。フェルマーは、これがなぜそうなるのかを数学的に示した。[ 19 ]
物理学における最初の変分原理は、ユークリッドが『カトプトリカ』の中で述べたものです。それは、鏡から反射する光の経路において、入射角と反射角が等しいというものです。アレクサンドリアのヘロンは後に、この経路が最短距離と最短時間を与えることを示しました。[ 20 ]フェルマーはこれを洗練し一般化して、「光は最短時間の経路に沿って2つの与えられた点の間を進む」という、現在では最小時間原理として知られる原理にしました。[ 21 ]このため、フェルマーは物理学における最小作用の基本原理の歴史的発展において重要な人物として認識されています。フェルマーの原理とフェルマー関数という用語は、この役割を認めて名付けられました。[ 22 ]
ピエール・ド・フェルマーは1665年1月12日、現在のタルン県のカストルで亡くなった。[ 23 ]トゥールーズで最も古く、最も権威のある高校は、彼にちなんで名付けられたピエール・ド・フェルマー高校である。フランスの彫刻家テオフィル・バローは、フェルマーへの敬意を表して「ピエール・フェルマーへのオマージュ」という大理石像を制作し、現在はトゥールーズのキャピトルにある。
フェルマーは、ルネ・デカルトとともに、17世紀前半を代表する2人の数学者の1人でした。ピーター・L・バーンスタインは、1996年の著書『神々に抗して』の中で、フェルマーは「稀に見る力を持つ数学者だった。彼は解析幾何学の独立した発明者であり、微積分学の初期発展に貢献し、地球の重さの研究を行い、光の屈折と光学の研究にも取り組んだ。ブレーズ・パスカルとの長期にわたる書簡のやり取りの中で、彼は確率論に重要な貢献をした。しかし、フェルマーの最大の功績は数論にあった。」と述べています。[ 24 ]
フェルマーの解析学における業績に関して、アイザック・ニュートンは、微積分に関する自身の初期の考えは「フェルマーの接線の描き方」から直接得たものだと述べている。[ 25 ]
フェルマーの数論的研究について、20世紀の数学者アンドレ・ヴェイユは次のように書いています。「種数1の曲線を扱うための彼の方法のうち、我々が手にしているものは驚くほど首尾一貫しており、それは今でもそのような曲線の現代理論の基礎となっています。それは自然に2つの部分に分けられ、最初の部分は、フェルマー独自のものと正しく見なされている下降法とは対照的に、都合よく上昇法と呼ぶことができます。」[ 26 ]フェルマーの上昇法の使用に関して、ヴェイユは続けて次のように述べています。「その斬新さは、フェルマーがそれを非常に広範囲に使用したことにあり、標準的な3次曲線上の有理点の群論的性質を体系的に使用することによって我々が得られるものと少なくとも部分的に同等のものを彼に与えました。」 [ 27 ]数の関係に対する才能と、多くの定理の証明を見つける能力によって、フェルマーは本質的に現代の数論を創り出したのです。
フェルマーは多くの間違いを犯した。いくつかの間違いはシンツェルとシェルピンスキーによって指摘された。[ 28 ]ピエール・ド・カルカヴィへの手紙の中で、フェルマー数はすべて素数であることを証明したとフェルマーは述べている。オイラーは4,294,967,297が641で割り切れることを指摘した。また、ワイルの「数論」も参照のこと。[ 29 ]
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