円錐円錐と円錐円錐

一般円錐曲線の中心は点です

${\displaystyle u(-au+bv+cw):v(au-bv+cw):w(au+bv-cw).}$

頂点A、B、Cにおける一般外接円錐曲線に接する直線は、それぞれ次のとおりである。

${\displaystyle {\begin{aligned}wv+vz&=0,\\uz+wx&=0,\\vx+uy&=0.\end{aligned}}}$

一般円錐の中心は点です

${\displaystyle cv+bw:aw+cu:bu+av.}$

一般円錐曲線に接する線は△ ABCの辺であり、方程式x = 0、y = 0、z = 0で与えられる。

• 円弧以外の円周円錐曲線は、 △ ABCの外接円とA、B、C以外の点で交わります。この点はしばしば第4交点と呼ばれ、三線座標で表されます。

${\displaystyle (cx-az)(ay-bx):(ay-bx)(bz-cy):(bz-cy)(cx-az)}$

• もし${\displaystyle P=p:q:r}$が一般外接円錐曲線上の点である場合、点Pにおける円錐曲線への接線は次の式で与えられる。

${\displaystyle (vr+wq)x+(wp+ur)y+(uq+vp)z=0.}$

• 一般の円錐曲線が放物線になるのは、

${\displaystyle u^{2}a^{2}+v^{2}b^{2}+w^{2}c^{2}-2vwbc-2wuca-2uvab=0,}$

そして、直角双曲線になるのは、

${\displaystyle u\cos A+v\cos B+w\cos C=0.}$

• 与えられた楕円に内接するすべての三角形のうち、面積が最大の三角形の重心は、楕円の中心と一致します。^{[ 3 ]： p.147}この三角形の3つの頂点を通り、三角形の重心を中心とする与えられた楕円は、三角形のシュタイナー外接楕円と呼ばれます。

• 一般の円錐曲線は、以下の条件を満たす場合に限り放物線に縮小します。

${\displaystyle ubc+vca+wab=0,}$

この場合、それは三角形の1辺に外接し、他の2辺の延長線に接する。

• 仮に​${\displaystyle p_{1}:q_{1}:r_{1}}$そして​​${\displaystyle p_{2}:q_{2}:r_{2}}$は異なる点であり、

${\displaystyle X=(p_{1}+p_{2}t):(q_{1}+q_{2}t):(r_{1}+r_{2}t).}$

パラメータt が実数を変化するとき、 Xの軌跡は直線になります。

${\displaystyle X^{2}=(p_{1}+p_{2}t)^{2}:(q_{1}+q_{2}t)^{2}:(r_{1}+r_{2}t)^{2}.}$

X ²の軌跡は、必然的に楕円となる非円錐曲線であり、次の式で与えられる。

${\displaystyle L^{4}x^{2}+M^{4}y^{2}+N^{4}z^{2}-2M^{2}N^{2}yz-2N^{2}L^{2}zx-2L^{2}M^{2}xy=0,}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=q_{1}r_{2}-r_{1}q_{2},\\M&=r_{1}p_{2}-p_{1}r_{2},\\N&=p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}.\end{aligned}}}$

• 三角形の内部にある点が三角形の内接楕円の中心となるのは、その点が、元の三角形の辺の中点を頂点とする三角形の内部にある場合に限る。^{[ 3 ]： p.139} その中接三角形の内部にある特定の点に対して、その点を中心とする内接楕円は一意である。^{[ 3 ]： p.142}
• 面積が最大の内楕円は、三角形の重心を中心とするシュタイナー内楕円（中点内楕円とも呼ばれる）である。^{[ 3 ]： p.145}一般に、内楕円の中心の単位和重心座標（α、β、γ）を用いて表した内楕円の面積と三角形の面積の比は、 ^{[ 3 ]： p.143}である。

${\displaystyle {\frac {\text{楕円の面積}}{\text{三角形の面積}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta )(1-2\gamma )}},}$

これは、重心の重心座標α = β = γ = ⅓によって最大化されます。

• 三角形の任意の内接楕円の接点と三角形の対向する頂点を結ぶ線は一点で交わる。^{[ 3 ]： p.148}