正規分布

正規分布の最も単純なケースは、標準正規分布または単位正規分布として知られています。これは、${\textstyle \mu =0}$そして$\textstyle \sigma ^{2}=1}$、そしてそれはこの確率密度関数（または密度）によって記述されます：^{[ 11 ]}$${\displaystyle \varphi (z)={\frac {e^{-z^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\,.}$$ 変数⁠${\displaystyle z}$平均は0、分散と標準偏差は1です。密度${\textstyle \varphi (z)}$最高値${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$で${\textstyle z=0}$変曲点は​${\textstyle z=+1}$そして​${\displaystyle z=-1}$⁠ .

上記の密度は一般的に標準正規分布として知られていますが、一部の著者はこの用語を正規分布の他のバージョンを説明するために使用しています。たとえば、カール・フリードリヒ・ガウスはかつて標準正規分布を次のように定義しました。${\textstyle \varphi (z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}},}$分散は⁠$\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$⁠、そしてスティーブン・スティグラーはかつて標準正規値を次のように定義した。${\textstyle \varphi (z)=e^{-\pi z^{2}},}$これは単純な関数形式と分散を持ち、${\textstyle \sigma ^{2}={\frac {1}{2\pi }}.}$^{[ 12 ]}

もし​${\displaystyle Z}$は標準正規偏差である。${\textstyle X=\sigma Z+\mu }$期待値は正規分布に従う${\displaystyle \mu }$⁠および標準偏差${\displaystyle \sigma }$これは、標準正規分布が${\displaystyle Z}$⁠ は、次の係数で拡大縮小できます。${\displaystyle \sigma }$⁠そしてシフトした${\displaystyle \mu }$異なる正規分布を生成するために、${\displaystyle X}$⁠ .

逆に、もし⁠${\displaystyle X}$は、パラメータを持つ正規偏差です。${\displaystyle \mu }$そして​$\textstyle \sigma ^{2}}$そしてこれ${\displaystyle X}$分布は、以下の式によって再スケーリングおよびシフトできます。${\textstyle Z=(X-\mu )/\sigma }$これを標準正規分布に変換する。この変量は、の標準化された形式とも呼ばれる。${\displaystyle X}$⁠ .

特に、の確率密度関数は${\displaystyle X}$標準正規分布を用いて表すことができる${\displaystyle \varphi }$（平均値0、分散1の場合）： $${\displaystyle f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\,.}$$ 確率密度は、$1/σ$そのため、積分値は依然として 1となる。

標準正規分布の確率密度関数は、一般的にギリシャ文字のφで表される。${\displaystyle \phi }$⁠ . ^{[ 13 ]}異形⁠${\displaystyle \varphi }$も使用されます。

標準正規分布の累積分布関数は、一般的にギリシャ文字の大文字ファイ（φ）で表される。${\displaystyle \Phi }$⁠ .

正規分布はしばしば次のように呼ばれる${\textstyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$または⁠${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$⁠ . ^{[ 14 ]}ランダム変数が⁠${\displaystyle X}$は平均で正規分布する${\displaystyle \mu }$⁠および標準偏差${\displaystyle \sigma }$⁠、次のように書くことができる

$${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}).}$$

一部の著者は精度の使用を推奨している$\displaystyle \tau }$標準偏差の代わりに、分布の幅を定義するパラメータとして${\displaystyle \sigma }$または分散​$\displaystyle \sigma ^{2}}$精度は通常、分散の逆数として定義される。$1/σ²$⁠ . ^{[ 15 ]}分布の式は次のようになる。 $${\displaystyle f(x)={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}e^{-\tau (x-\mu )^{2}/2}.}$$

この選択は、数値計算において次のような利点があると主張されている。${\displaystyle \sigma }$はゼロに非常に近く、多変量正規分布を持つ変数のベイズ推論など、いくつかの状況で数式を簡略化します。

あるいは、標準偏差の逆数${\textstyle \tau '=1/\sigma }$は精度として定義される可能性があり、その場合、正規分布の式は次のようになる。 $${\displaystyle f(x)={\frac {\tau '}{\sqrt {2\pi }}}e^{-(\tau ')^{2}(x-\mu )^{2}/2}.}$$

スティグラーによれば、この定式化の利点は、より単純で覚えやすい公式と、分布の分位数に対する単純な近似式が得られる点にある。

正規分布は自然パラメータを持つ指数族を形成する${\textstyle \textstyle \theta _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}}$そして${\textstyle \textstyle \theta _{2}=-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}}$、自然統計量xとx ²。正規分布の双対期待値パラメータはη ₁ = μおよびη ₂ = μ ² + σ ²です。

標準正規分布の累積分布関数（CDF）は、通常ギリシャ文字の大文字で表されます。${\displaystyle \Phi }$⁠、は積分です $${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt\,.}$$

関連するエラー関数${\textstyle \operatorname {erf} (x)}$平均0、分散1/2の正規分布に従う確率変数が、次の範囲に入る確率を示します。${\displaystyle [-x,x]}$つまり：$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-x}^{x}e^{-t^{2}}\,dt={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt\,.}$$

これらの積分は初等関数で表現することができず、しばしば特殊関数と呼ばれます。しかし、多くの数値近似法が知られています。詳しくは下記をご覧ください。

この2つの機能は密接に関連しており、 $${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right].}$$

密度を持つ一般的な正規分布の場合${\displaystyle f}$⁠、平均⁠${\displaystyle \mu }$⁠そして分散${\textstyle \sigma ^{2}}$累積分布関数は $${\displaystyle F(x)=\Phi {\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right].}$$

したがって、xがaとbの間にあり、かつa < bである確率は^{[ 16 ]： 84である。}$${\displaystyle \operatorname {P} (a<x\leq b)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {b-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)-\operatorname {erf} \left({\frac {a-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]}$$

標準正規累積分布関数の補関数、${\textstyle Q(x)=1-\Phi (x)}$は、特に工学系の文献ではQ関数と呼ばれることが多い。^{[ 17 ] [ 18 ]}これは、標準正規確率変数の値が である確率を与える。${\displaystyle X}$超える​​${\displaystyle x}$⁠ : ⁠${\displaystyle P(X>x)}$⁠ .その他の定義⁠${\displaystyle Q}$⁠ -関数、これらはすべて の単純な変換です⁠${\displaystyle \Phi }$⁠、も時折使用されます。 ^{[ 19 ]}

標準正規累積分布関数のグラフ${\displaystyle \Phi }$⁠は点 (0,1/2) を中心とした2 回回転対称性を持つ。つまり、${\displaystyle \Phi (-x)=1-\Phi (x)}$その原始関数（不定積分）は次のように表すことができます 。$${\displaystyle \int \Phi (x)\,dx=x\Phi (x)+\varphi (x)+C.}$$

大きなxに対する累積分布関数の漸近展開は、部分積分を用いて導出できる。 $${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!!}}x^{2n+1}\,.}$$ どこ${\textstyle$ !!} は二重階乗を表します。詳しくは、誤差関数§ 漸近展開を参照してください。 ^{[ 20 ]}

標準偏差とカバレッジ

正規分布から抽出された値の約 68% は平均から1 標準偏差σ の範囲内にあり、約 95% の値は 2 標準偏差の範囲内にあり、約 99.7% は 3 標準偏差の範囲内にあります。 ^{[ 9 ]}これは68–95–99.7 (経験) ルール、または3 シグマ ルールとして知られています。

より正確には、正規偏差が次の範囲にある確率は${\textstyle \mu -n\sigma }$そして${\textstyle \mu +n\sigma }$は $${\displaystyle F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )=\Phi (n)-\Phi (-n)=\operatorname {erf} \left({\frac {n}{\sqrt {2}}}\right).}$$ 12桁の有効数字で、${\textstyle n=1,2,\ldots ,6}$は：

大規模向け${\displaystyle n}$⁠、近似値を使用できます$${\displaystyle 1-p\approx {\frac {\sqrt {2}}{n{\sqrt {\pi e^{n^{2}}}}}}}$$

The normal distribution with density ${\textstyle f(x)}$ (mean ⁠${\displaystyle \mu }$⁠ and variance ${\textstyle \sigma ^{2}>0}$) has the following properties:

• It is symmetric around the point ${\textstyle x=\mu ,}$これは同時に分布の最頻値、中央値、平均値でもある。 ^{[ 28 ]}
• これは単峰性です。その1階微分は正です。${\textstyle x<\mu ,}$陰性${\textstyle x>\mu ,}$そしてゼロは${\textstyle x=\mu .}$
• 曲線と で囲まれた領域${\displaystyle x}$⁠ -軸は単位（つまり1に等しい）です。
• その1階微分は${\textstyle f'(x)=-{\frac {x-\mu }{\sigma ^{2}}}f(x).}$
• その2階微分は${\textstyle f''(x)={\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}f(x).}$
• その密度には2つの変曲点がある（2階微分が${\displaystyle f}$（ゼロで符号が変わる）は、平均から1標準偏差離れた位置にあり、具体的には${\textstyle x=\mu -\sigma }$そして${\textstyle x=\mu +\sigma .}$^{[ 28 ]}
• その密度は対数凹関数である。^{[ 28 ]}
• その密度は無限に微分可能であり、実際には2次の超平滑である。 ^{[ 29 ]}

さらに、密度${\displaystyle \varphi }$標準正規分布の${\textstyle \mu =0}$そして${\textstyle \sigma =1}$また、以下の特性も有しています。

• その1階微分は${\textstyle \varphi '(x)=-x\varphi (x).}$
• その2階微分は${\textstyle \varphi ''(x)=(x^{2}-1)\varphi (x)}$
• より一般的には、そのn階導関数は${\textstyle \varphi ^{(n)}(x)=(-1)^{n}\operatorname {He} _{n}(x)\varphi (x),}$どこ${\textstyle \operatorname {He} _{n}(x)}$はn番目の (確率論的)エルミート多項式である。^{[ 30 ]}
• 正規分布する変数の確率${\displaystyle X}$既知の​${\displaystyle \mu }$そして​${\textstyle \sigma ^{2}}$特定のセットに含まれている場合、その割合が与えられれば計算できます${\textstyle Z=(X-\mu )/\sigma }$標準正規分布に従う。

変数の単純モーメントと絶対モーメント${\displaystyle X}$は期待値です${\textstyle X^{p}}$そして${\textstyle |X|^{p}}$それぞれ。期待値が${\displaystyle \mu }$の​​${\displaystyle X}$⁠がゼロの場合、これらのパラメータは中心モーメントと呼ばれ、そうでない場合は、これらのパラメータは非中心モーメントと呼ばれます通常、私たちは整数次数のモーメントのみに関心があります。${\displaystyle p}$⁠ .

もし​${\displaystyle X}$は正規分布に従い、非中心モーメントは存在し、任意のに対して有限である。${\displaystyle p}$実部が-1より大きい。 任意の非負整数に対して${\displaystyle p}$⁠、単純な中心モーメントは次のとおりです。 ^{[ 31 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} \left[(X-\mu )^{p}\right]={\begin{cases}0&{\text{if }}p{\text{ is odd,}}\\\sigma ^{p}(p-1)!!&{\text{if }}p{\text{ is even.}}\end{cases}}}$$ ここ${\textstyle n!!}$は二重階乗、つまり から までのすべての数の積を表します。${\displaystyle n}$⁠ 1と 同じパリティを持つ${\textstyle n.}$

中心絶対モーメントは、偶数次では通常のモーメントと一致するが、奇数次ではゼロにならない。任意の非負整数に対して${\textstyle p,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[|X-\mu |^{p}\right]&=\sigma ^{p}(p-1)!!\cdot {\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}&{\text{if }}p{\text{ is odd}}\\1&{\text{if }}p{\text{ is even}}\end{cases}}\\[8pt]&=\sigma ^{p}\cdot {\frac {2^{p/2}\Gamma \left({\frac {p+1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}.\end{aligned}}}$$ 最後の式は、任意の非整数に対しても有効です。${\textstyle p>-1.}$平均${\textstyle \mu \neq 0,}$単純モーメントと絶対モーメントは、合流型超幾何関数を用いて表現できる。${\textstyle {}_{1}F_{1}}$そして${\textstyle U.}$^{[ 32 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{p}\right]&=\sigma ^{p}\cdot {\left(-i{\sqrt {2}}\right)}^{p}\,U{\left(-{\frac {p}{2}},{\frac {1}{2}},-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)},\\\operatorname {E} \left[|X|^{p}\right]&=\sigma ^{p}\cdot 2^{p/2}{\frac {\Gamma {\left({\frac {1+p}{2}}\right)}}{\sqrt {\pi }}}\,{}_{1}F_{1}{\left(-{\frac {p}{2}},{\frac {1}{2}},-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}.\end{aligned}}}$$

これらの表現は、たとえ${\displaystyle p>-1}$は整数ではありません。一般化エルミート多項式も参照してください。

期待される${\displaystyle X}$⁠という事象を条件とする⁠${\displaystyle X}$区間内に位置する${\textstyle [a,b]}$は $${\displaystyle \operatorname {E} \left[X\mid a<X<b\right]=\mu -\sigma ^{2}{\frac {f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}}\,,}$$ どこで${\displaystyle f}$そして​​${\displaystyle F}$それぞれは、の密度関数と累積分布関数である。${\displaystyle X}$⁠。${\textstyle b=\infty }$これは逆ミルズ比として知られています。上記では密度⁠${\displaystyle f}$の​​${\displaystyle X}$逆ミルズ比のように標準正規密度の代わりに が使用されるので、ここでは次のようになります。${\textstyle \sigma ^{2}}$代わりに⁠${\displaystyle \sigma }$⁠ .

正規密度のフーリエ変換${\displaystyle f}$平均値​${\displaystyle \mu }$⁠そして分散${\textstyle \sigma ^{2}}$[ ^{33 ]​}

$${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx}\,dx=e^{-i\mu t}e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}\,,}$$

どこで${\displaystyle i}$は虚数単位です。平均が${\textstyle \mu =0}$最初の係数は 1 であり、フーリエ変換は定数係数を除いて、周波数領域における平均 0、分散 の正規分布である。${\displaystyle 1/\sigma ^{2}}$特に、標準正規分布${\displaystyle \varphi }$はフーリエ変換の固有関数です

確率論において、実数値確率変数の確率分布のフーリエ変換は${\displaystyle X}$特性関数と密接に関連している${\textstyle \varphi _{X}(t)}$その変数の期待値として定義される${\textstyle e^{itX}}$実変数の関数として${\displaystyle t}$（フーリエ変換の周波数パラメータ）。この定義は、複素数値変数に解析的に拡張できる。${\displaystyle t}$⁠ . ^{[ 34 ]}両者の関係は次のとおりです。 $${\displaystyle \varphi _{X}(t)={\hat {f}}(-t)\,.}$$

実部と虚部${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\operatorname {E} [e^{-itx}]=e^{-i\mu t}e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$与える： $${\displaystyle \operatorname {E} [\cos(tx)]=\cos(\mu t)e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$$そして $${\displaystyle \operatorname {E} [\sin(tx)]=\sin(\mu t)e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}.}$$

同様に、 $${\displaystyle \operatorname {E} [\cosh(tx)]=\cosh(\mu t)e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$$そして $${\displaystyle \operatorname {E} [\sinh(tx)]=\sinh(\mu t)e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}.}$$

これらの式は${\displaystyle t=1}$ガウス型確率変数に対するこれらの基本的な三角関数と双曲線関数の期待値を求めよ。${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$これはイッサーリスの定理の結果とも見なせる。

実数確率変数のモーメント母関数${\displaystyle X}$は期待値です${\textstyle e^{tX}}$実数パラメータの関数として${\displaystyle t}$正規分布の場合、密度は${\displaystyle f}$⁠、平均⁠${\displaystyle \mu }$⁠そして分散${\textstyle \sigma ^{2}}$モーメント生成関数が存在し、次の値に等しい。

$${\displaystyle M(t)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]={\hat {f}}(it)=e^{\mu t}e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}\,.}$$ いずれの場合も${\displaystyle k}$⁠、の係数⁠${\displaystyle t^{k}/k!}$モーメント生成関数（指数べき級数として表現される）において${\displaystyle t}$⁠ ) は正規分布の期待値です。${\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]}$⁠ .

キュムラント生成関数はモーメント生成関数の対数であり、すなわち $${\displaystyle g(t)=\ln M(t)=\mu t+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\,.}$$

この指数べき級数の係数はキュムラントを定義しますが、これは の二次多項式である ため${\displaystyle t}$⁠、最初の 2 つのキュムラントのみがゼロではなく、すなわち平均⁠ ${\displaystyle \mu }$⁠そして分散 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$⁠ .

一部の著者は、代わりに特性関数E[ e ^itX ] = e ^{iμt − σ 2 t 2 /2}およびln E[ e ^itX ] = iμt − ⁠ 1 / 2 ⁠ σ ² t ²を使用することを好みます。

スタインの方法では、スタイン演算子と確率変数のクラス ${\textstyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$は${\textstyle {\mathcal {A}}f(x)=\sigma ^{2}f'(x)-(x-\mu )f(x)}$そして${\textstyle {\mathcal {F}}}$絶対連続関数のクラス${\displaystyle \textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$⁠そのため⁠${\displaystyle \operatorname {E} [\vert f'(X)\vert ]<\infty }$⁠ .

極限では${\textstyle \sigma ^{2}}$確率密度がゼロに近づくと、${\textstyle f}$は、を除くすべての場所でゼロに近づく。${\textstyle \mu }$近づく${\textstyle \infty }$、その積分は1のままである。分散がゼロの場合への正規分布の拡張は、ディラックのデルタ測度を用いて定義できる。${\textstyle \delta _{\mu }}$ただし、結果として得られる確率変数は絶対的に連続ではなく、したがって確率密度関数を持ちません。このような確率変数の累積分布関数は、平均値で平行移動したヘヴィサイド階段関数になります。${\textstyle \mu }$すなわち $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<\mu \\1&{\text{if }}x\geq \mu .\end{cases}}}$$

指定された有限平均を持つ実数上のすべての確率分布の中で${\displaystyle \mu }$⁠そして有限の分散${\displaystyle \sigma ^{2}}$正規分布${\textstyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$はエントロピーが最大となるものです。^{[ 24 ]}これを確認するには、 とします。${\displaystyle X}$確率密度を持つ連続確率変数である${\displaystyle f(x)}$エントロピー​​${\displaystyle X}$⁠は^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}と定義される$${\displaystyle H(X)=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln f(x)\,dx\,,}$$ どこ${\textstyle f(x)\log f(x)}$は、次の場合にゼロとみなされる。${\displaystyle f(x)=0}$この関数は、分布が適切に正規化され、指定された平均と分散を持つという制約の下で、変分法を用いて最大化することができる。3つのラグランジュ乗数を持つ関数が定義される。 $${\displaystyle L=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln f(x)\,dx-\lambda _{0}\left(1-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx\right)-\lambda _{1}\left(\mu -\int _{-\infty }^{\infty }f(x)x\,dx\right)-\lambda _{2}\left(\sigma ^{2}-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)(x-\mu )^{2}\,dx\right)\,.}$$

最大エントロピーでは、小さな変化${\textstyle \delta f(x)}$について${\textstyle f(x)}$バリエーションを生成します${\textstyle \delta L}$について​${\displaystyle L}$⁠これは0に等しい： $${\displaystyle 0=\delta L=\int _{-\infty }^{\infty }\delta f(x)\left(-\ln f(x)-1+\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}(x-\mu )^{2}\right)\,dx\,.}$$

これはどんな小さなものにも当てはまるはずなので${\displaystyle \delta f(x)}$⁠、乗算係数⁠${\displaystyle \delta f(x)}$はゼロでなければならず、を解くと${\displaystyle f(x)}$⁠結果: $${\displaystyle f(x)=\exp \left(-1+\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}(x-\mu )^{2}\right)\,.}$$

ラグランジュ制約は、${\displaystyle f(x)}$は適切に正規化されており、指定された平均と分散が満たされるのは、以下の条件を満たす場合のみです。${\displaystyle \lambda _{0}}$⁠、 ⁠${\displaystyle \lambda _{1}}$⁠、そして⁠${\displaystyle \lambda _{2}}$⁠は、 $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,.}$$ 正規分布のエントロピー${\textstyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$に等しい $${\displaystyle H(X)={\tfrac {1}{2}}(1+\ln 2\sigma ^{2}\pi )\,,}$$ これは平均値とは無関係である。${\displaystyle \mu }$⁠ .

中心極限定理は、特定の（かなり一般的な）条件下では、多数の確率変数の和がほぼ正規分布に従うことを述べている。より具体的には、${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$これらは、同一の任意の分布、ゼロ平均、および分散を持つ、独立かつ同一の分布を持つ確率変数です。${\textstyle \sigma ^{2}}$そして​${\displaystyle Z}$それらの平均は、${\textstyle {\sqrt {n}}}$$${\displaystyle Z={\sqrt {n}}{\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}{\biggr )}}$$ そして、${\displaystyle n}$増加すると、確率分布は${\displaystyle Z}$平均ゼロ、分散の正規分布に近づく傾向がある${\displaystyle \sigma ^{2}}$⁠ .

この定理は変数にも拡張できる。${\textstyle (X_{i})}$特定の制約が分布の依存性の度合いとモーメントに課せられている場合、それらは独立ではなく、かつ/または同一分布ではない。

実務で遭遇する多くの検定統計量、スコア、推定量には、特定の確率変数の和が含まれており、影響関数を用いることで、さらに多くの推定量を確率変数の和として表現することができます。中心極限定理によれば、これらの統計パラメータは漸近的に正規分布に従います。

中心極限定理は、特定の分布が正規分布で近似できることも示唆している。例えば、次の通りである。

• 二項分布${\textstyle B(n,p)}$平均がほぼ正規分布である${\textstyle np}$および分散${\textstyle np(1-p)}$大規模向け${\displaystyle n}$そして​​${\displaystyle p}$0や1に近すぎない。
• パラメータを持つポアソン分布${\displaystyle \lambda }$⁠は平均の正規分布に近似する。${\displaystyle \lambda }$⁠そして分散⁠${\displaystyle \lambda }$⁠、大きな値の場合⁠${\displaystyle \lambda }$⁠ . ^{[ 45 ]}
• カイ二乗分布${\textstyle \chi ^{2}(k)}$平均が正規分布に近い${\displaystyle k}$⁠そして分散${\textstyle 2k}$大規模向け${\displaystyle k}$⁠ .
• スチューデントのt分布${\textstyle t(\nu )}$の場合、平均0、分散1の正規分布に近似する。${\displaystyle \nu }$大きい。

これらの近似が十分な精度を持つかどうかは、それらが必要とされる目的と、正規分布への収束速度によって決まります。一般的に、このような近似は分布の両端では精度が低下します。

中心極限定理における近似誤差の一般的な上限はベリー・エッセーンの定理によって与えられ、近似の改善はエッジワース展開によって与えられる。

この定理は、多数の均一ノイズ源の合計をガウスノイズとしてモデル化することを正当化するためにも使用できます。AWGNを参照してください。