標準正規分布表

Xが平均μ、標準偏差σの正規分布に従う確率変数である場合、 Xからμを引いて標準偏差で割ることによって、そのZスコアを計算できます。

${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}}$

もし${\displaystyle {\overline {X}}}$は、平均がμ、標準偏差がσであるある母集団から抽出したサイズnの標本の平均であり、標準誤差は です。${\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}:}$⁠

${\displaystyle Z={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$

もし${\textstyle \sum X}$は、平均がμ、標準偏差がσであるある母集団から抽出したサイズnの標本の合計であり、期待される合計はnμ、標準誤差は です。${\displaystyle \sigma {\sqrt {n}}:}$⁠

${\displaystyle Z={\frac {\sum {X}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}}$

Zテーブルは通常、以下のように構成されます。

• 行のラベルには、Zの整数部分と小数点第 1 位が含まれます。
• 列のラベルには、Zの小数点以下第 2 位が含まれています。
• 表内の値は、表の種類に対応する確率です。これらの確率は、開始点（平均からの累積値の場合は0、累積値の場合は負の無限大、相補累積値の場合は正の無限大）からZまでの正規曲線下の面積の計算値です。

例: 0.69 を見つけるには、行を下方向に見て0.6 を見つけ、次に列を横方向に見て0.09を見つけます。これにより、平均表からの累積確率は0.25490 、累積表からの確率は0.75490となります。

-0.83のような負の値を求めるには、負のz値の累積表^{[ 3 ]}を使用すると、確率は0.20327になります。

しかし、正規分布曲線は対称であるため、通常はZの正の値に対する確率のみが示されます。ユーザーは、以下の例のように、Zの絶対値に対して相補演算を行う必要があるかもしれません。

Z表は少なくとも3つの異なる慣例を使用しています。

平均値からの累積値

統計量が 0 (平均) とZの間にある確率を示します。例: Prob(0 ≤ Z ≤ 0.69) = 0.2549。

累積

統計量がZより小さい確率を示します。これは、 Zより下の分布の面積に相当します。例: Prob(Z ≤ 0.69) = 0.7549。

相補的累積

これは、ある統計量がZより大きい確率を示します。これは、分布のZより上の領域に相当します。

例: Prob( Z ≥ 0.69)を求めます。これはZより上の領域の部分なので、 Zより大きい割合は1 からZ を引くことで求められます。つまり、Prob( Z ≥ 0.69) = 1 − Prob(Z ≤ 0.69)またはProb( Z ≥ 0.69) = 1 − 0.7549 = 0.2451 です。

この表は、統計値がマイナス無限大からZの間にある確率を示しています。

${\displaystyle f(z)=\Phi (z)}$

これらの値は、平均がゼロ、標準偏差が 1 の標準正規分布の累積分布関数を使用して計算され、通常はギリシャ文字の大文字で表されます。${\displaystyle \Phi }$（phi）は積分です

${\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}\,dt}$

${\displaystyle \Phi }$(z) は誤差関数、またはerf( z )に関連しています。

${\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]}$

z = 1, 2, 3の場合、 [− z , z ]区間を考慮して 2 倍すると、 f ( z ) = 0.6827, 0.9545, 0.9974 という結果が得られ、これは68–95–99.7 ルールの特徴です。

この表は、統計量がZより小さい（つまり、負の無限大からZの間）確率を示しています。

^{[ 4 ]}

この表は、ある統計量がZより大きい確率を示しています。 ${\displaystyle f(z)=1-\ファイ (z)}$

^{[ 5 ]}この表は、大きな整数ZZより大きい確率を示しています。