スケーリングされた逆カイ二乗分布

スケーリングされた逆カイ二乗分布${\displaystyle \psi \,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$、 どこ${\displaystyle \psi }$は尺度パラメータであり、単変量逆ウィシャート分布に等しい。${\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}(\psi ,\nu )}$自由度${\displaystyle \nu }$。

このスケーリングされた逆カイ二乗分布のファミリーは、逆カイ二乗分布およびカイ二乗分布と関連付けられています。

もし${\displaystyle X\sim \psi \,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$それから${\displaystyle X/\psi \sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$同様に${\displaystyle \psi /X\sim \chi ^{2}(\nu )}$そして${\displaystyle 1/X\sim \psi ^{-1}\chi ^{2}(\nu )}$。

の代わりに${\displaystyle \psi }$しかし、スケーリングされた逆カイ二乗分布は、多くの場合、スケールパラメータによってパラメータ化されます。${\displaystyle \tau ^{2}=\psi /\nu }$そしてその分布${\displaystyle \nu \tau ^{2}\,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$は、${\displaystyle {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$。

に関しては$\displaystyle \tau ^{2}}$上記の関係は次のように表すことができます。

もし${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$それから${\displaystyle {\frac {X}{\nu \tau ^{2}}}\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$同様に${\displaystyle {\frac {\nu \tau ^{2}}{X}}\sim \chi ^{2}(\nu )}$そして${\displaystyle 1/X\sim {\frac {1}{\nu \tau ^{2}}}\chi ^{2}(\nu )}$。

このスケーリングされた逆カイ二乗分布のファミリーは、逆ガンマ分布の再パラメータ化である。

具体的には、

${\displaystyle X\sim \psi \,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )={\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$  それから  ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\psi }{2}}\right)={\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu \tau ^{2}}{2}}\right)}$

どちらの形式も、固定された第1逆モーメントに対する最大エントロピー分布を表すために使用できます。${\displaystyle (E(1/X))}$そして最初の対数モーメント${\displaystyle (E(\ln(X))}$。

スケーリングされた逆カイ二乗分布は、ベイズ統計学においても特別な用途があります。具体的には、スケーリングされた逆カイ二乗分布は、正規分布の分散パラメータの共役事前分布として使用できます。別のパラメータ化では、同じ事前分布は逆ガンマ分布によって与えられます。

スケーリングされた逆カイ二乗分布の確率 密度関数は、領域にわたって広がっている。${\displaystyle x>0}$そしてそれは

${\displaystyle f(x;\nu ,\tau ^{2})={\frac {(\tau ^{2}\nu /2)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu \tau ^{2}}{2x}}\right]}{x^{1+\nu /2}}}}$

どこ${\displaystyle \nu }$は自由度パラメータであり、$\displaystyle \tau ^{2}}$は尺度パラメータです。累積分布関数は

${\displaystyle F(x;\nu ,\tau ^{2})=\Gamma \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\tau ^{2}\nu }{2x}}\right)\left/\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right.}$

${\displaystyle =Q\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\tau ^{2}\nu }{2x}}\right)}$

どこ$\displaystyle \Gamma (a,x)$は不完全なガンマ関数です。$\displaystyle \Gamma (x)$はガンマ関数で あり、${\displaystyle Q(a,x)}$は正則化されたガンマ関数です。特性関数は

${\displaystyle \varphi (t;\nu ,\tau ^{2})=}$

${\displaystyle {\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-i\tau ^{2}\nu t}{2}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}\!\!K_{\frac {\nu }{2}}\left({\sqrt {-2i\tau ^{2}\nu t}}\right),}$

どこ${\displaystyle K_{\frac {\nu }{2}}(z)}$は、修正された第2種ベッセル関数です。

最尤推定値$\displaystyle \tau ^{2}}$は

$\displaystyle \tau ^{2}=n/\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}.}$

最尤推定値${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}}$ニュートン法を用いて以下を求めることができます。

${\displaystyle \ln \left({\frac {\nu }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left(x_{i}\right)-\ln \left(\tau ^{2}\right),}$

どこ${\displaystyle \psi (x)}$はディガンマ関数です。初期推定値は、平均の式を について解くことで得られます。${\displaystyle \nu .}$ させて${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$を標本平均とする。すると、 の初期推定値は次のようになる。${\displaystyle \nu }$次のように与えられます。

${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}={\frac {\bar {x}}{{\bar {x}}-\tau ^{2}}}.}$

スケーリングされた逆カイ二乗分布には、正規分布の分散のベイズ推定という、もう一つの重要な応用例がある。

ベイズの定理によれば、関心のある量の事後確率分布は、その量の事前分布と尤度関数の積に比例する。

${\displaystyle p(\sigma ^{2}|D,I)\propto p(\sigma ^{2}|I)\;p(D|\sigma ^{2})}$

ここで、^Dはデータを表し、Iはσ2に関する既に持っている可能性のある初期情報を表します。

最も単純なシナリオは、平均μがすでにわかっている場合、または、μの特定の仮定値に対するσ ²の条件付き分布が求められている場合です。

すると、尤度項L ( σ ² | D ) = p ( D | σ ² ) は、おなじみの形になる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\sigma ^{2}|D,\mu )={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\sigma \right)^{n}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

これを、この問題におけるσ ²の情報量が最も少ない事前分布であると主張できる（例えばJeffreys に従うと）再スケーリング不変事前分布 p( σ ² | I ) = 1/ σ ²と組み合わせると、結合事後確率が得られます。

${\displaystyle p(\sigma ^{2}|D,I,\mu )\propto {\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

この形式は、パラメータν = nおよびτ ² = s ² = (1/ n ) Σ (x _i - μ ) ²を持つ、スケーリングされた逆カイ二乗分布として認識できます。

ゲルマンと共著者らは、以前サンプリングの文脈で見られたこの分布が再び現れることは驚くべきことのように思えるかもしれないが、事前分布の選択を考慮すると「この結果は驚くべきことではない」と述べている。^{[ 1 ]}

特に、σ ^{2に対して再スケーリング不変な事前分布を選択すると、} σ ² / s ²の比率の確率は、 s ^{2を条件とした場合と}σ ²を条件とした場合で同じ形式になります (条件付け変数に依存しません)。

${\displaystyle p({\tfrac {\sigma ^{2}}{s^{2}}}|s^{2})=p({\tfrac {\sigma ^{2}}{s^{2}}}|\sigma ^{2})}$

サンプリング理論の場合、σ ^{2を条件とすると、(1/s 2} )の確率分布はスケーリングされた逆カイ二乗分布になります。したがって、スケールに依存しない事前分布が与えられた場合、 s ²を条件としたσ ²の確率分布もスケーリングされた逆カイ二乗分布になります。

• もし${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$それから${\displaystyle kX\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,k\tau ^{2})\,}$
• もし${\displaystyle X\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )\,}$（逆カイ二乗分布）${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,1/\nu )\,}$
• もし${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$それから${\displaystyle {\frac {X}{\tau ^{2}\nu }}\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )\,}$（逆カイ二乗分布）
• もし${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$それから${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu \tau ^{2}}{2}}\right)}$（逆ガンマ分布）
• スケーリングされた逆カイ二乗分布は、タイプ5ピアソン分布の特殊なケースである。

• ゲルマン、アンドリュー他 (2014).ベイズデータ分析（第3 版）. ボカラトン：CRC Press. p.  583. ISBN 978-1-4398-4095-5。