中央値

一連の数値の中央値は、データ サンプル、母集団、または確率分布の上位半分と下位半分を分ける値です。データ セットの場合、これは「中央」の値と考えることができます。平均値(単に「平均」と呼ばれることが多い) と比較してデータを説明する際の中央値の基本的な特徴は、極端に大きい値や小さい値の小さな割合によって歪められず、中心をより適切に表すことです。たとえば、中央値の所得は、所得分布の中心を説明するのに適した方法である可能性があります。これは、最高所得の増加だけでは中央値に影響しないためです。このため、中央値はロバスト統計において非常に重要です。

有限の数値リストの中央値は、それらの数値が最小から最大の順にリストされている場合の「真ん中の」数値です。

データセットに奇数の観測値がある場合、中央の観測値が選択されます（昇順に並べた後）。たとえば、次の7つの数値のリストでは、

1、3、3、6、7、8、9​​

中央値は6で、これは 4 番目の値です。

データセットに観測値が偶数個ある場合、明確な中央値は存在せず、中央値は通常、 2つの中央値の算術平均として定義されます。^{[1] [2]}たとえば、このデータセットには8つの数値が含まれ ています。

1、2、3、4、5、6、8、9​​

の中央値は4.5、つまり です。(より技術的な用語で言えば、これは中央値を完全にトリミングされた中間範囲として解釈します)。 ${\displaystyle (4+5)/2}$

一般的に、この慣例によれば、中央値は次のように定義される。最小から最大の順に並べられた要素のデータセットに対して、 ${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$

が奇数の場合、${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {med} (x)=x_{(n+1)/2}}$

偶数の場合、${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {med} (x)={\frac {x_{(n/2)}+x_{((n/2)+1)}}{2}}}$

正式には、母集団の中央値とは、母集団の少なくとも半分が提案された中央値以下であり、かつ少なくとも半分が提案された中央値以上である値です。上記のように、中央値は一意ではない場合があります。各セットに母集団の半分以上が含まれる場合、母集団の一部は一意の中央値と正確に等しくなります。

中央値は、順序付けられた（1 次元の）データに対して明確に定義されており、距離メトリックとは無関係です。したがって、中央値は、ランク付けされているが数値化されていない学校のクラスに適用できます（たとえば、生徒のテストのスコアが F から A に評価されている場合に、平均成績を算出するなど）。ただし、クラスの数が偶数の場合、結果はクラス間の中間になる可能性があります。（奇数のクラスの場合、特定の 1 つのクラスが中央値として決定されます。）

一方、幾何中央値は、任意の数の次元で定義されます。結果がサンプルのメンバーに対応するように強制される関連概念は、メドイドです。

中央値については広く受け入れられている標準的な表記法はないが、変数xの中央値をmed( x )、x͂、^[3]、μ1 _/2、^[1]、またはM [ ³ ]と表す著者もいる。^[4]いずれの場合でも、中央値を表すこれらの記号またはその他の記号の使用は、導入時に明示的に定義される必要がある。

中央値は、統計分布に関連する典型的な値を要約する他の方法の特殊なケースであり、第 2四分位数、第 5十分位数、および 50パーセンタイルです。

中央値は、分布が歪んでいる、極端な値が不明である、外れ値が信頼できない（つまり、測定エラーまたは転記エラーである可能性がある）などの理由で極端な値の重要性を低く 評価する場合に、位置の尺度として使用できます。

例えば、多重集合を考える。

1、2、2、2、3、14。

この場合、中央値は 2 で、最頻値も同様です。これは、1 つを除くすべての値より大きい算術平均4よりも、中心を示すのに適していると考えられます。しかし、広く引用されている経験的関係、つまり平均値は中央値よりも「分布の末端にさらに」シフトしているという関係は、一般的には正しくありません。せいぜい、2 つの統計値が「離れすぎている」ということはあり得ないと言えるでしょう。以下の § 平均値と中央値に関する不等式を参照してください。^[5]

中央値は集合内の中央のデータに基づいているため、計算するために極端な結果の値を知る必要はありません。たとえば、問題を解くのに必要な時間を調べる心理学テストでは、少数の人が与えられた時間内に問題をまったく解けなかったとしても、中央値を計算することは可能です。^[6]

中央値は理解しやすく計算も容易で、平均値の確実な近似値でもあるため、記述統計ではよく使われる要約統計量です。この文脈では、変動性の尺度として、範囲、四分位範囲、平均絶対偏差、中央値絶対偏差など、いくつかの選択肢があります。

実用上、位置と分散のさまざまな尺度は、対応する母集団の値がデータのサンプルからどれだけ正確に推定できるかに基づいて比較されることが多い。サンプル中央値を使用して推定された中央値は、この点で優れた特性を持っている。特定の母集団分布を仮定した場合、通常は最適ではないが、その特性は常にかなり優れている。たとえば、候補となる推定値の効率を比較すると、データがヘビーテール分布または分布の混合からのデータによって汚染されていない場合、そしてその場合にのみ、サンプル平均は統計的に効率的であることが示される。 ^[要出典] その場合でも、中央値は最小分散平均と比較して64％の効率を持ちます（大規模な正規サンプルの場合）。つまり、中央値の分散は平均の分散よりも約50％大きくなります。^{[7] [8]}

累積分布関数Fを持つ任意の実数値確率分布では、中央値は不等式を満たす 任意の実数 mとして定義されます (任意の実数値ランダム変数の期待値の定義の図を参照)。同等の表現では、 Fに従って分布するランダム変数Xを使用します。  $${\displaystyle \lim _{x\to m-}F(x)\leq {\frac {1}{2}}\leq F(m)}$$$${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ and }}\operatorname {P} (X\geq m)\geq {\frac {1}{2}}\,.}$$

この定義では、 Xが絶対連続分布（確率密度関数 fを持つ）を持つことは要求されず、離散分布を持つことも要求されないことに注意してください。前者の場合、不等式は等式にアップグレードできます。つまり、中央値はを満たし 、 $${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq m)=\int _{-\infty }^{m}{f(x)\,dx}={\frac {1}{2}}}$$$${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq m)=\int _{m}^{\infty }{f(x)\,dx}={\frac {1}{2}}\,.}$$

実数集合上の確率分布には少なくとも 1 つの中央値がありますが、異常な場合には中央値が複数存在することがあります。つまり、ある区間でFが定数 1/2 である場合 (つまり、その区間でf = 0 である場合)、その区間の任意の値は中央値です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

特定の種類の分布の中央値は、そのパラメータから簡単に計算できます。さらに、コーシー分布のように、明確に定義された平均値を持たない分布でも中央値は存在します。

• 対称的な単峰性分布の中央値は最頻値と一致します。
• 平均μ を持つ対称分布の中央値も値μ をとります。
  • 平均μと分散σ ^{2 の}正規分布の中央値はμ です。実際、正規分布の場合、平均 = 中央値 = 最頻値です。
  • 区間 [ a ,  b ] 内の一様分布の中央値は( a  +  b ) / 2 であり、これは平均値でもあります。
• 位置パラメータx ₀と尺度パラメータyを持つコーシー分布の中央値は、位置パラメータx ₀です 。
• 指数a > 1のべき乗分布 x ^{− a}の中央値は 2 ^{1/( a  − 1)} x _minであり、x _minはべき乗法則が成り立つ最小値である^[10]
• 速度パラメータλを持つ指数分布の中央値は、2 の自然対数を速度パラメータで割った値、つまりλ ⁻¹ ln 2 です。
• 形状パラメータkと尺度パラメータλを持つワイブル分布の中央値はλ (ln 2) ^{1/ k}です 。

実変数cの確率変数Xに対する平均絶対誤差は  

${\displaystyle E(\left|X-c\right|)\,}$

Xの確率分布が上記の期待値が存在するようなものである場合、m がXの中央値となる のは、m がXに関する平均絶対誤差の最小値となる場合のみです。^[11]特に、m がサンプルの中央値である場合、絶対偏差の算術平均を最小化します。^[12]ただし、サンプルに偶数個の要素が含まれる場合、この最小値は一意ではないことに注意してください。

より一般的には、中央値は以下の最小値として定義されます。

${\displaystyle E(|X-c|-|X|),}$

多変量中央値（具体的には空間中央値）に関する以下のセクションで説明します。

この最適化ベースの中央値の定義は、 k中央値クラスタリングなどの統計データ分析に役立ちます。

分布に有限分散がある場合、中央値と平均値の間の距離は1標準偏差によって制限されます。 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle {\bar {X}}}$

この境界は、1979年にBookとSherによって離散サンプルに対して証明され、^[13]より一般的には1982年にPageとMurtyによって証明されました。 ^[14] O'Cinneideによるその後の証明に対するコメントで、^{[15] Mallowsは1991年に}Jensenの不等式を2回使用する簡潔な証明を示しました。 ^{[16]次のように。}絶対値に|·|を使用すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mu -m|=|\operatorname {E} (X-m)|&\leq \operatorname {E} (|X-m|)\\&\leq \operatorname {E} (|X-\mu |)\\&\leq {\sqrt {\operatorname {E} \left((X-\mu )^{2}\right)}}=\sigma .\end{aligned}}}$

最初の不等式と 3 番目の不等式は、それぞれ凸関数である絶対値関数と二乗関数に Jensen の不等式を適用した結果です。2 番目の不等式は、中央値が絶対偏差関数を最小化するという事実から生じます。 ${\displaystyle a\mapsto \operatorname {E} (|X-a|)}$

マローズの証明は、絶対値をノルムに置き換えるだけで不等式^[17]の多変量版を得るように一般化することができる。

${\displaystyle \|\mu -m\|\leq {\sqrt {\operatorname {E} \left(\|X-\mu \|^{2}\right)}}={\sqrt {\operatorname {trace} \left(\operatorname {var} (X)\right)}}}$

ここでmは空間中央値、つまり関数の最小値である。空間中央値はデータセットの次元が2以上の場合に一意となる。^{[18] [19]}${\displaystyle a\mapsto \operatorname {E} (\|X-a\|).\,}$

別の証明では、片側チェビシェフ不等式を使用する。これは、位置とスケールパラメータの不等式に現れる。この式は、カンテリの不等式から直接導かれる。^[20]

単峰性分布の場合、中央値と平均値の間の距離についてより明確な境界を達成することができます。

${\displaystyle \left|{\tilde {X}}-{\bar {X}}\right|\leq \left({\frac {3}{5}}\right)^{\frac {1}{2}}\sigma \approx 0.7746\sigma }$^[21 ]

中央値と最頻値の間にも同様の関係が成り立ちます。

${\displaystyle \left|{\tilde {X}}-\mathrm {mode} \right|\leq 3^{\frac {1}{2}}\sigma \approx 1.732\sigma .}$

典型的な経験則は、正に歪んだ分布は平均 > 中央値であるというものです。これはピアソン分布族のすべてのメンバーに当てはまります。しかし、これは常に当てはまるわけではありません。たとえば、ワイブル分布族には、平均が正であるが平均 < 中央値であるメンバーが存在します。この規則の違反は、離散分布で特によく見られます。たとえば、ポアソン分布は正の歪を持っていますが、 の場合は常に平均 < 中央値となります。^{[22]証明の概要については[23] を}参照してください。 ${\displaystyle \mu {\bmod {1}}>\ln 2}$

分布の確率密度が単調に減少する場合、図に示すように、中央値は平均よりも小さくなります。

ジェンセンの不等式は、有限の期待値E [ X ]を持つ任意の確率変数Xと任意の凸関数fに対して、

${\displaystyle f[E(x)]\leq E[f(x)]}$

この不等式は中央値にも一般化される。関数f : R → RがC関数であるとは、任意のtに対して、

${\displaystyle f^{-1}\left(\,(-\infty ,t]\,\right)=\{x\in \mathbb {R} \mid f(x)\leq t\}}$

は閉区間である（単一点または空集合の退化ケースを許容する）。すべての凸関数はC関数であるが、その逆は成り立たない。fがC関数である場合、

${\displaystyle f(\operatorname {med} [X])\leq \operatorname {med} [f(X)]}$

中央値が一意でない場合は、対応する最大値についてもこの文が成り立ちます。^[24]

n個のアイテムを比較ソートするには Ω ( nlogn )回の演算が必要ですが、選択アルゴリズムはΘ( n )回の演算だけでn個のアイテムのうちk番目に小さいものを計算できます。これには中央値も含まれます。これは⁠ん/2⁠番目の順序統計量（またはサンプル数が偶数の場合は、２つの中間の順序統計量の算術平均）。 ^[25]

選択アルゴリズムには依然としてΩ( n ) のメモリを必要とするという欠点がある。つまり、サンプル全体（またはその線形サイズの一部）をメモリに保持する必要がある。線形時間要件と同様に、これが法外な場合があるため、中央値の推定手順がいくつか開発されている。単純なものは 3 つの要素のサブサンプルの中央値として中央値を推定する 3 つの中央値ルールである。これは、入力の中央値の推定値を使用するクイックソートソートアルゴリズムのサブルーチンとしてよく使用される。より堅牢な推定量は、制限された再帰で 3 つの中央値ルールを適用するTukeyの9 番目の である。 ^[26] A が配列としてレイアウトされたサンプルであり、

med3( A ) = med( A [1], A [ ⁠ん/2⁠ ], A [ n ])、

それから

ninther( A ) = med3(med3( A [1 ... ⁠1/3⁠ n ]), med3( A [ ⁠1/3⁠ n ... ⁠2/3⁠ n ]), med3( A [ ⁠2/3⁠ n ... n ]))

中央値は、線形時間は必要だが線形以下のメモリを必要とする中央値の推定値であり、サンプルを1回通過するだけで動作します。^[27]

標本平均値と標本中央値の分布はラプラス分布によって決定された。^[28]密度関数を持つ母集団からの標本中央値の分布は、平均と分散に対して漸近的に正規分布する^[29]${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {1}{4nf(m)^{2}}}}$

ここで はの中央値であり、 はサンプルサイズです。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\text{Sample median}}\sim {\mathcal {N}}\left(\mu =m,\sigma ^{2}={\frac {1}{4nf(m)^{2}}}\right)}$

以下に現代的な証明を示します。ラプラスの結果は現在、任意の分位数の漸近分布の特殊なケースとして理解されています。

通常のサンプルの場合、密度は なので、大きなサンプルの場合、中央値の分散は^[7]に等しくなります （以下の「効率」のセクションも参照）。 ${\displaystyle f(m)=1/{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}$${\displaystyle ({\pi }/{2})\cdot (\sigma ^{2}/n).}$

サンプル サイズを奇数とし、変数が連続的であると仮定します。離散変数の場合の式は、以下の § 経験的局所密度に示されています。サンプルは、「中央値未満」、「中央値」、「中央値以上」とまとめることができ、これは確率 、および の三項分布に対応します。連続変数の場合、複数のサンプル値が中央値と正確に等しい確率は 0 であるため、その点における の密度を三項分布から直接計算できます。 ${\displaystyle N=2n+1}$${\displaystyle F(v)}$${\displaystyle f(v)}$${\displaystyle 1-F(v)}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle \Pr[\operatorname {med} =v]\,dv={\frac {(2n+1)!}{n!n!}}F(v)^{n}(1-F(v))^{n}f(v)\,dv}$。

ここでベータ関数を導入します。整数引数との場合、これは と表すことができます。また、 を思い出してください。これらの関係を使用し、 と の両方をと等しく設定すると 、最後の式は次のように記述できます。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {(\alpha -1)!(\beta -1)!}{(\alpha +\beta -1)!}}}$${\displaystyle f(v)\,dv=dF(v)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle n+1}$

${\displaystyle {\frac {F(v)^{n}(1-F(v))^{n}}{\mathrm {B} (n+1,n+1)}}\,dF(v)}$

したがって、中央値の密度関数は、によって押し出された対称ベータ分布です。その平均は、予想どおり 0.5 で、分散は です 。連鎖律により、サンプル中央値の対応する分散は、 ${\displaystyle F}$${\displaystyle 1/(4(N+2))}$

${\displaystyle {\frac {1}{4(N+2)f(m)^{2}}}}$。

追加の 2 は、極限では無視できます。

実際には、上記の関数は知られていないか、想定されていないことがよくあります。ただし、観測された頻度分布から推定することはできます。このセクションでは、例を示します。3,800 個の (離散値) 観測値のサンプルを表す次の表を検討してください。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$

観測値は離散値であるため、中央値の正確な分布を構築することは、上記の式をそのまま翻訳するものではありません。サンプルには中央値のインスタンスが複数ある場合があります (通常はそうなります)。そのため、これらすべての可能性を合計する必要があります。 ${\displaystyle \Pr(\operatorname {med} =v)}$

${\displaystyle \Pr(\operatorname {med} =v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {N!}{i!(N-i-k)!k!}}F(v-1)^{i}(1-F(v))^{k}f(v)^{N-i-k}}$

ここで、i は中央値より厳密に小さい点の数であり、k は中央値より厳密に大きい点の数です。

これらの予備データを使用して、サンプル サイズが平均値と中央値の標準誤差に与える影響を調べることができます。観測された平均値は 3.16、観測された生の中央値は 3、観測された補間された中央値は 3.174 です。次の表は、いくつかの比較統計を示しています。

中央値の期待値はサンプル サイズが増加するにつれてわずかに低下しますが、予想どおり、中央値と平均値の両方の標準誤差はサンプル サイズの逆平方根に比例します。漸近近似は、標準誤差を過大評価することで、慎重な姿勢をとります。

の値（ は母集団の中央値である の漸近値）は、複数の著者によって研究されてきました。標準的な「1 を削除」ジャックナイフ法では、一貫性のない結果が得られます。^[30]代替法である「k を削除」法（ はサンプル サイズとともに増加します）は、漸近的に一貫性があることが示されています。^[31]この方法は、大規模なデータセットでは計算コストが高くなる可能性があります。ブートストラップ推定は一貫性があることが知られていますが、^[32]収束が非常に遅くなります（のオーダー）。^[33]他の方法も提案されていますが、大規模なサンプルと小規模なサンプルでは動作が異なる可能性があります。^[34]${\displaystyle (2f(x))^{-2}}$${\displaystyle n^{-1/2}(\nu -m)}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle k}$${\displaystyle n^{-{\frac {1}{4}}}}$

標本中央値の効率は、平均値の分散と中央値の分散の比として測定され、標本サイズと基礎となる母集団分布に依存します。正規分布からの標本サイズの場合、Nが大きい場合の効率は ${\displaystyle N=2n+1}$

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}{\frac {N+2}{N}}}$

効率は無限大に近づく傾向があります。 ${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}}$${\displaystyle N}$

言い換えると、中央値の相対分散は、つまり平均値の分散より57%大きくなります。中央値の相対標準誤差は、つまり平均値の標準誤差より25%大きくなります（上記の「標本分布」のセクションも参照）。^[35]${\displaystyle \pi /2\approx 1.57}$${\displaystyle (\pi /2)^{\frac {1}{2}}\approx 1.25}$${\displaystyle \sigma /{\sqrt {n}}}$

一つの中央値を中心に対称な一変量分布の場合、ホッジス・レーマン推定量は、母集団の中央値を推定するための堅牢かつ非常に効率的な方法である。 ^[36]

データが特定の確率分布族を指定した統計モデルによって表される場合、その確率分布族をデータに当てはめ、当てはめた分布の理論的な中央値を計算することによって、中央値の推定値を得ることができます。パレート補間は、母集団がパレート分布を持つと仮定した場合にこれを応用したものです。

以前、この記事では、標本または母集団が1次元の場合の単変量中央値について説明しました。次元が2以上の場合、単変量中央値の定義を拡張する複数の概念があります。このような多変量中央値は、次元が正確に1の場合の単変量中央値と一致します。^{[36] [37] [38] [39]}

限界中央値は、固定された座標系に対して定義されたベクトルに対して定義されます。限界中央値は、その成分が単変量中央値であるベクトルとして定義されます。限界中央値は計算が容易であり、その特性はPuriとSenによって研究されました。^{[36] [40]}

ユークリッド空間内の離散的なサンプル点の集合の幾何学的中央値は、サンプル点までの距離の合計を最小化する ^{[a]点です。}${\displaystyle x_{1},\ldots x_{N}}$

${\displaystyle {\hat {\mu }}={\underset {\mu \in \mathbb {R} ^{m}}{\operatorname {arg\,min} }}\sum _{n=1}^{N}\left\|\mu -x_{n}\right\|_{2}}$

周辺中央値とは対照的に、幾何中央値は、平行移動や回転などのユークリッド相似変換に関して同変です。

すべての座標系の周辺中央値が一致する場合、それらの共通の位置は「全方向の中央値」と呼ばれることがあります。^{[42]この概念は、}中央値投票者定理のために投票理論に関連しています。この定理が存在する場合、全方向の中央値は（少なくとも離散分布の場合）幾何学的中央値と一致する。

条件付き中央値は、ランダム変数（ のノイズバージョン）からランダム変数 を推定しようとする設定で発生します。この設定での条件付き中央値は次のように与えられます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle m(X|Y=y)=F_{X|Y=y}^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)}$

ここで、 は の条件付き cdf (つまり、条件付き分位関数) の逆です。たとえば、一般的なモデルはで、 はに依存しない標準正規分布です。条件付き中央値は、最適なベイズ推定値です。 ${\displaystyle t\mapsto F_{X|Y=y}^{-1}(t)}$${\displaystyle x\mapsto F_{X|Y}(x|y)}$${\displaystyle Y=X+Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L_{1}}$

${\displaystyle m(X|Y=y)=\arg \min _{f}\mathbb {E} \left[|X-f(Y)|\right]}$

が に依存しない標準正規分布であるモデルでは、 がガウス分布である場合に限り、推定量は線形であることが知られている。^[43]${\displaystyle Y=X+Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

離散変数を扱う場合、観測値を基礎となる連続区間の中点と見なすと便利な場合があります。この例としては、意見や好みが、可能な応答の数が設定された尺度で表現されるリッカート尺度があります。尺度が正の整数で構成されている場合、観測値 3 は 2.50 から 3.50 の区間を表すと見なすことができます。基礎となる変数の中央値を推定することは可能です。たとえば、観測値の 22% が値 2 以下で、55.0% が 3 以下 (つまり 33% が値 3) の場合、中央値は の半分より大きい最小値であるため、中央値は 3 です。ただし、補間された中央値は 2.50 から 3.50 の間になります。まず、区間幅の半分を中央値に追加して、中央値区間の上限を取得します。次に、区間幅の割合を減算します。これは、50% マークを超える 33% の割合に相当します。言い換えると、区間幅を観測数に比例して分割します。この場合、33% は中央値より下の 28% と上の 5% に分割されるため、区間幅の 5/33 を上限の 3.50 から減算すると、補間された中央値は 3.35 になります。より正式には、値がわかっている場合、補間された中央値は次のように計算できます 。${\displaystyle m}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle m_{\text{int}}=m+w\left[{\frac {1}{2}}-{\frac {F(m)-{\frac {1}{2}}}{f(m)}}\right].}$

あるいは、観察されたサンプルに中央値カテゴリを超えるスコア、その中のスコア、それ以下のスコアがある場合、補間された中央値は次のように与えられる。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle m_{\text{int}}=m+{\frac {w}{2}}\left[{\frac {k-i}{j}}\right].}$

1つの中央値を中心に対称な単変量分布の場合、ホッジス・レーマン推定量は、母集団の中央値の堅牢かつ非常に効率的な推定量です。非対称分布の場合、ホッジス・レーマン推定量は、対称化された分布の中央値であり、母集団の中央値に近い母集団の疑似中央値の堅牢かつ非常に効率的な推定量です。 ^[44]ホッジス・レーマン推定量は多変量分布に一般化されています。^[45]

テイル・セン推定量は、傾きの中央値を見つけることに基づいたロバストな 線形回帰の手法である。^[46]

メジアンフィルターは画像処理の重要なツールであり、グレースケール画像からごま塩ノイズを効果的に除去できます。

クラスター分析では、k-medians クラスタリングアルゴリズムによってクラスターを定義する方法が提供されます。この方法では、k-means クラスタリングで使用されるクラスター平均間の距離を最大化する基準が、クラスター中央値間の距離を最大化することに置き換えられます。

これはロバスト回帰法の一種です。このアイデアは1940年にウォルドが提案したもので、独立パラメータの値に応じて2変量データのセットを2つの半分に分割し、中央値未満の値を持つ左半分と中央値を超える値を持つ右半分に分割することを提案しました。^[47]彼は、左半分と右半分の従属変数と独立変数の平均を取り、これら2つの点を結ぶ線の傾きを推定することを提案しました。その後、線を調整してデータセット内のほとんどの点に適合させることができます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

1942年にNairとShrivastavaは同様のアイデアを提案したが、代わりにサブサンプルの平均を計算する前にサンプルを3つの等しい部分に分割することを提唱した。^[48] 1951年にBrownとMoodは、平均値ではなく2つのサブサンプルの中央値を使用するアイデアを提案した。^[49] Tukeyはこれらのアイデアを組み合わせて、サンプルを3つの等しいサイズのサブサンプルに分割し、サブサンプルの中央値に基づいて線を推定することを推奨した。^[50]

平均不偏推定量はいずれも、ガウスが観測したように、二乗誤差損失関数に関してリスク（期待損失）を最小化します。中央値不偏推定量は、ラプラスが観測したように、絶対偏差損失関数に関してリスクを最小化します。その他の損失関数は、統計理論、特にロバスト統計で使用されます。

中央値不偏推定量の理論は1947年にジョージ・W・ブラウンによって復活した。^[51]

1 次元パラメータ θ の推定値は、固定された θ に対して推定値の分布の中央値が値 θ にある場合、中央値不偏であると言われます。つまり、推定値は過大評価するのと同じくらい頻繁に過小評価します。この要件は、ほとんどの目的において平均不偏の要件と同程度に達成されるようであり、1 対 1 の変換に対して不変であるという追加の特性があります。

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中央値不偏推定量のさらなる特性が報告されている。^{[52] [53] [54] [55]}

最適な中央値不偏推定量を構築する方法があります（ある意味では、平均不偏推定量の最小分散特性に類似しています）。そのような構築は、単調な尤度関数を持つ確率分布に対して存在します。^{[56] [57]そのような手順の1つは、平均不偏推定量に対する}ラオ-ブラックウェル手順の類似です。この手順は、ラオ-ブラックウェル手順よりも小さいクラスの確率分布に対して有効ですが、より大きなクラスの損失関数に対して有効です。^[58]

古代近東の科学研究者は、要約統計をまったく使用していなかったようで、代わりに、さまざまな現象を統合したより広範な理論と最大限の一貫性を提供する値を選択した。^[59] 地中海（そして後にヨーロッパ）の学術コミュニティでは、平均値のような統計は基本的に中世および初期近代期に開発されたものである。（ヨーロッパ以外の中央値の歴史とその前身については、あまり研究されていない。）

中央値の概念は、異なる評価を公平に分析するために、 6世紀にタルムードに登場しました。^{[60] [61]} しかし、この概念は科学界全体に広まりませんでした。

代わりに、現代の中央値の最も近い祖先は、アル・ビルニによって発明された中間範囲です^{[62] : 31  [63]} 彼の研究が後の学者に伝わったかどうかは不明です。彼はその技術を通貨金属の分析に応用しましたが、彼の研究を発表した後も、ほとんどの分析者は、不正行為をしていると思われないように、結果から最も不利な値を採用しました。^{[62] : 35–8  [64]しかし、}大航海時代の海上航行の増加により、船の航海士は敵対的な海岸に対して悪天候で緯度を決定しようとすることが増え、要約統計への関心が再び高まりました。再発見されたか、独自に発明されたかはわかりませんが、中間範囲は、ハリオットの「1595年のローリーのギアナ航海の指示」で航海士に推奨されています。^{[62] : 45–8}

中央値のアイデアは、エドワード・ライトが1599年に著した『航海におけるある誤り』の羅針盤航法に関する章で初めて登場したと考えられる。 ^[65]ライトは測定値を捨てることを躊躇し、データセットの中間範囲よりも大きな割合を組み込んだ中央値の方が正しい可能性が高いと感じたのかもしれない。しかし、ライトは彼の手法の使用例を示しておらず、彼が現代の中央値の概念を説明したかどうかを検証することは困難である。^{[59] [63] [b]} 中央値（確率の文脈で）は確かにクリスティアーン・ホイヘンスの書簡に登場しているが、それは保険数理の実務には不適切な統計の例としてであった。^[59]

中央値が推奨されたのは1757年、ロジャー・ジョセフ・ボスコヴィッチがL ¹ノルムに基づく回帰法を開発した時で、このとき暗黙的に中央値に基づくものであった。^{[59] [66]} 1774年、ラプラスはこの要望を明示した。彼は、事後確率密度関数の値の標準推定値として中央値を使用することを提案した。具体的な基準は、誤差の期待値を最小化することであった。ここで、 は推定値、は真の値である。この目的のために、ラプラスは1800年代初頭に標本平均値と標本中央値の両方の分布を決定した。^{[28] [67]} しかし、10年後、ガウスとルジャンドルは平均値を得るために最小化する最小二乗法を開発した。正規分布に基づく最大尤度推定を参照してこの推定値が強力に正当化されたため、ラプラスの最初の提案はほぼ置き換えられた。^[68]${\displaystyle |\alpha -\alpha ^{*}|}$${\displaystyle \alpha ^{*}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (\alpha -\alpha ^{*})^{2}}$

1843年、アントワーヌ・オーギュスタン・クールノーは、確率分布を2等分する値を表すために、初めて^[69]中央値（valeur médiane）という用語を使用しました。グスタフ・テオドール・フェヒナーは、社会学的および心理学的現象において中央値（Centralwerth ）を使用しました。[ ^70]それ以前は、天文学と関連分野でのみ使用されていました。グスタフ・フェヒナーは、中央値をデータの正式な分析に普及させましたが、これはラプラスによって以前に使用されていました。 ^{[70]また、中央値は}F.Y.エッジワースの教科書にも登場しています。^[71]フランシス・ゴルトンは、1881年に中央値という用語を使用しました。 ^{[72] [73]それ以前には、1869年に}最中間値、1880年に媒体という用語を使用していました。 ^{[74] [75]}

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