分解不可能な分布

確率論において、分解不可能な分布とは、 2 つ以上の非定数の独立したランダム変数の和の分布として表すことができない確率分布です: Z  ≠  X  +  Y。そのように表現できる場合、それは分解可能です: Z  =  X  +  Y 。さらに、2 つ以上の独立した同一に分布するランダム変数の和の分布として表現できる場合、それは割り切れます: Z  =  X ₁  +  X ₂。

• 最も単純な例はベルヌーイ分布である。

${\displaystyle X={\begin{cases}1&{\text{確率 }}p,\\0&{\text{確率 }}1-p,\end{cases}}}$

Xの確率分布は分解不可能です。

証明:非定数分布UとV が与えられ、U は少なくとも2 つの値a、  bをとり、Vは2 つの値c、  d をとり、a  <  bかつc  <  dであるとすると、U  +  V は少なくとも 3 つの異なる値a  +  c、a  +  d、b  +  dをとります( b  +  c は、たとえば 0、1 と 0、1 を使用する場合、 a  +  dに等しくなることがあります)。したがって、非定数分布の合計は少なくとも 3 つの値をとるため、ベルヌーイ分布は非定数分布の合計ではありません。

• a  +  b  +  c  = 1、a、  b、  c  ≥ 0、および

${\displaystyle X={\begin{cases}2&{\text{確率aで}}a、\\1&{\text{確率bで}}b、\\0&{\text{確率cで}}c.\end{cases}}}$

この確率分布は、（ベルヌーイ分布に従う2つの確率変数の和の分布として）分解可能である。

${\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {c}}\leq 1\ }$

それ以外では分解不可能である。これを理解するには、UとVが独立した確率変数で、U  +  Vがこの確率分布に従うと仮定する。すると、

${\displaystyle {\begin{matrix}U={\begin{cases}1&{\text{確率 }}p,\\0&{\text{確率 }}1-p,\end{cases}}&{\mbox{and}}&V={\begin{cases}1&{\text{確率 }}q,\\0&{\text{確率 }}1-q,\end{cases}}\end{matrix}}}$

 ベルヌーイの場合と同様の推論により、あるp、  q∈ [0, 1]に対して（そうでなければ、 U  +  Vの合計は3つ以上の値を取る）。従って、

${\displaystyle a=pq,\,}$

${\displaystyle c=(1-p)(1-q),\,}$

${\displaystyle b=1-ac.\,}$

この2つの変数pとqの2次方程式の系は、次の場合のみ解( p ,  q )∈[0,1] ^{2を持ちます。}

${\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {c}}\leq 1.\ }$

したがって、たとえば、集合 {0, 1, 2} 上の離散一様分布は分解できませんが、確率がそれぞれ 1/2 である 2 つの試行 (したがって、それぞれの確率a、b、c は1/4、1/2、1/4 になります) の二項分布は分解できます。

• 絶対的に連続な分解不可能な分布。密度関数が

${\displaystyle f(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \,}}}x^{2}e^{-x^{2}/2}}$

分解不可能です。

• すべての無限に分割可能な分布は、さらに分解可能です。特に、これには正規分布などの安定分布が含まれます。
• 区間 [0, 1] 上の一様分布は、0 または 1/2 を等確率で仮定するベルヌーイ変数と [0, 1/2] 上の一様分布の合計であるため、分解可能です。これを繰り返すと、無限分解が得られます。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{X_{n} \over 2^{n}},}$

ここで、独立したランダム変数X _{n は}それぞれ等しい確率で 0 または 1 に等しくなります。これは、2 進展開の各桁のベルヌーイ試行です。

• 分解不可能なランダム変数の和は、元の加数に分解できる。しかし、無限に割り切れる場合もある。ランダム変数Yが幾何分布に従うと仮定する。

${\displaystyle \Pr(Y=n)=(1-p)^{n}p\,}$

{0, 1, 2, ...} について。

任意の正の整数kに対して、負の二項分布に従うランダム変数のシーケンスY _j , j = 1, ..., kが存在し、Y ₁  + ... +  Y _{k は}この幾何分布に従います。^[要出典] したがって、この分布は無限に割り切れます。

一方、D _{n を}Yのn番目の 2 進数桁とします( n ≥ 0)。すると、D _nは独立になります^{[なぜでしょうか? ]}そして

${\displaystyle Y=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}D_{n},}$

そして、この合計の各項は分解不可能です。

分解不可能性の対極にあるのが、無限に分割可能であることです。

• クラメールの定理は、正規分布は無限に分割可能であるが、正規分布にしか分解できないことを示しています。
• コクランの定理は、正規確率変数の二乗和をこれらの変数の線形結合の二乗和に分解したとき、その項は常に独立したカイ二乗分布に従うことを示しています。

• クラメールの定理
• コクランの定理
• 無限に割り切れる可能性（確率）
• 分布の因数分解に関するヒンチンの定理

• Linnik, Yu. V. および Ostrovskii, IV 「ランダム変数とベクトルの分解」、Amer. Math. Soc.、Providence RI、1977 年。

• ルカーチ、ユージン、『特性関数』、ニューヨーク、ハフナー出版社、1970年。