精度（統計）

統計学では、精度行列または集中行列は、共分散行列または分散行列の逆行列である。^[1]^[2] [ ^3]単変量分布の場合、精度行列は分散の逆数として定義されるスカラー精度に退化する。^[4] $P=\Sigma ^{-1}$ $p={\frac {1}{\sigma ^{2}}}$

統計的分散の他の要約統計量は精度（または不正確さ^[5]^[6]）とも呼ばれ、標準偏差の逆数^[3]、標準偏差自体と相対標準偏差^[7]、標準誤差^[8]、信頼区間（またはその半値幅、誤差幅）^[9] などがある。 $p={\frac {1}{\sigma }}$

使用法

精度行列の特別な用途の1つは、多変量正規分布のベイズ解析の文脈です。たとえば、ベルナルドとスミスは、特定の簡略化が生じるため、共分散行列ではなく精度行列で多変量正規分布をパラメータ化することを好みます。^[10]たとえば、事前分布と尤度の両方がガウス形式であり、これらの両方の精度行列が存在する場合（共分散行列はフルランクであり、したがって可逆であるため）、事後分布の精度行列は、事前分布と尤度の精度行列の合計になります。

エルミート行列の逆行列として、実数値ランダム変数の精度行列が存在する場合、それは正定値かつ対称です。

精度行列が役に立つもう 1 つの理由は、多変量正規分布の2 つの次元とが条件付きで独立している場合、精度行列の要素と要素はであるということです。これは、多くの次元が条件付きで独立している場合、精度行列は疎になる傾向があることを意味し、精度行列を操作する際の計算効率が向上します。また、精度行列は部分相関の概念と密接に関連していることも意味します。 $i$ $j$ $ij$ $ji$ $0$

精度行列は、単位行列である通常の最小二乗法や、対角行列(重み行列) である重み付き最小二乗法と比較して、一般化最小二乗法で中心的な役割を果たします。 $P$ $P$

語源

この意味での精度(「mensura praecisionis observem」)という用語は、ガウス(1809)の著書「 Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium」(212 ページ) で初めて登場しました。ガウスの定義は現代の定義とは 1 倍異なります。ガウスは、精度(標準偏差の逆数) を持つ正規分布の密度関数について、次のように書いています。 ${\sqrt {2}}$ $h$

\varphi \Delta ={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-hh\Delta \Delta }.

ここで（現代の指数表記法を参照）。後にWhittakerとRobinson（1924）の「観測の微積分」ではこの量を（精度の）係数と呼んだが、この用語は使われなくなった。^[11] $hh=h^{2}$

参考文献

^ DeGroot, Morris H. (1969).最適な統計的決定. ニューヨーク: McGraw-Hill. p. 56.
^ デイビッドソン、ラッセル、マッキノン、ジェームズ・G. (1993)。計量経済学における推定と推論。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。p. 144。ISBN 0-19-506011-3。
^ ab Dodge, Y. (2003).オックスフォード統計用語辞典. オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-920613-9。
^ Bolstad, WM; Curran, JM (2016). ベイズ統計学入門. Wiley. p. 221. ISBN 978-1-118-59315-8. 2022年8月13日閲覧。
^ Natrella, MG (2013). 実験統計学. Dover Books on Mathematics (イタリア語). Dover Publications. p. 21-PA14. ISBN 978-0-486-15455-8. 2022年8月14日閲覧。
^ Balakrishnan, N. (2009). 生命科学と健康科学における統計の方法と応用. 統計の方法と応用. Wiley. p. 537. ISBN 978-0-470-40509-3. 2022年8月14日閲覧。
^ Ellison, SLR; Farrant, TJ; Barwick, V. (2009). 分析科学者のための実践統計学: ベンチガイド. 有効な分析測定. 王立化学協会. p. 145. ISBN 978-0-85404-131-2. 2022年8月14日閲覧。
^ ウィルバーン、AJ (1984)。監査人のための実践的統計サンプリング。統計：教科書とモノグラフのシリーズ。テイラー＆フランシス。p. 62。ISBN 978-0-8247-7124-9. 2022年8月14日閲覧。
^ カミング、G. (2013)。新しい統計を理解する: 効果サイズ、信頼区間、メタ分析。多変量アプリケーションシリーズ。テイラー＆フランシス。p. 366。ISBN 978-1-136-65918-8. 2022年8月14日閲覧。
^ ベルナルド、JM & スミス、AFM (2000)ベイズ理論、Wiley ISBN 0-471-49464-X
^ 「数学におけるいくつかの単語の最も古い使用例」。

[1] DeGroot, Morris H. (1969).最適な統計的決定. ニューヨーク: McGraw-Hill. p. 56.

[2] デイビッドソン、ラッセル、マッキノン、ジェームズ・G. (1993)。計量経済学における推定と推論。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。p. 144。ISBN 0-19-506011-3。

[dodge-3] Dodge, Y. (2003).オックスフォード統計用語辞典. オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-920613-9。

[Bolstad_Curran_2016_p._221-4] Bolstad, WM; Curran, JM (2016). ベイズ統計学入門. Wiley. p. 221. ISBN 978-1-118-59315-8. 2022年8月13日閲覧。

[Natrella_2013_p._21-PA14-5] Natrella, MG (2013). 実験統計学. Dover Books on Mathematics (イタリア語). Dover Publications. p. 21-PA14. ISBN 978-0-486-15455-8. 2022年8月14日閲覧。

[Balakrishnan_2009_p._537-6] Balakrishnan, N. (2009). 生命科学と健康科学における統計の方法と応用. 統計の方法と応用. Wiley. p. 537. ISBN 978-0-470-40509-3. 2022年8月14日閲覧。

[Ellison_Farrant_Barwick_2009_p._145-7] Ellison, SLR; Farrant, TJ; Barwick, V. (2009). 分析科学者のための実践統計学: ベンチガイド. 有効な分析測定. 王立化学協会. p. 145. ISBN 978-0-85404-131-2. 2022年8月14日閲覧。

[Wilburn_1984_p._62-8] ウィルバーン、AJ (1984)。監査人のための実践的統計サンプリング。統計：教科書とモノグラフのシリーズ。テイラー＆フランシス。p. 62。ISBN 978-0-8247-7124-9. 2022年8月14日閲覧。

[Cumming_2013_p._366-9] カミング、G. (2013)。新しい統計を理解する: 効果サイズ、信頼区間、メタ分析。多変量アプリケーションシリーズ。テイラー＆フランシス。p. 366。ISBN 978-1-136-65918-8. 2022年8月14日閲覧。

[10] ベルナルド、JM & スミス、AFM (2000)ベイズ理論、Wiley ISBN 0-471-49464-X

[11] 「数学におけるいくつかの単語の最も古い使用例」。