チェビシェフ多項式

チェビシェフ多項式は、コサイン関数とサイン関数に関連する2 つの多項式の列で、とと表記されます。これらは、いくつかの同等の方法で定義できますが、そのうちの 1 つは三角関数から始まります。 $T_{n}(x)$ $U_{n}(x)$

第一種チェビシェフ多項式は次 のように定義されます。 $T_{n}$ $T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ).$

同様に、第 2 種チェビシェフ多項式は次 のように定義されます。 $U_{n}$ $U_{n}(\cos \theta )\sin \theta =\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}.$

これらの式がにおける多項式を定義していることは、一見して明らかではないかもしれませんが、とをド・モアブルの公式を使って書き直すか、との角度の和の公式を繰り返し使うことでわかります。たとえば、角度の和の公式から直接導かれる2 倍角の公式を使って、とを得ることができます。これらはそれぞれにおける多項式とにおける多項式にを掛けたものです。したがってとです。 $\cos \theta$ $\cos(n\theta )$ $\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}$ $\cos$ $\sin$ $T_{2}(\cos \theta )=\cos(2\theta )=2\cos ^{2}\theta -1$ $U_{1}(\cos \theta )\sin \theta =\sin(2\theta )=2\cos \theta \sin \theta$ $\cos \theta$ $\cos \theta$ $\sin \theta$ $T_{2}(x)=2x^{2}-1$ $U_{1}(x)=2x$

$T n (x)$ の重要かつ便利な特性は、次の内積に関して直交することです。また、 $U$ $n$ $($ $x$ $) は$ 、以下に示す別の類似の内積に関して直交します。 $\langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\,g(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}},$

チェビシェフ多項式 $T$ $nは、$ 区間 $[-1, 1]$ 上の絶対値が1で制限される最大の主係数を持つ多項式です。これらは、他の多くの特性を持つ「極値」多項式でもあります。^[1]

1952年、コルネリウス・ランチョスは、チェビシェフ多項式が線形システムの解の近似理論において重要であることを示しました。 ^[2] $T$ $n$ $($ $x$ $)$ の根はチェビシェフノードとも呼ばれ、多項式補間を最適化するためのマッチングポイントとして使用されます。結果として得られる補間多項式は、ルンゲ現象の問題を最小限に抑え、最大ノルムの下で連続関数に対する最良の多項式近似に近い近似を提供します。これは「ミニマックス」基準とも呼ばれます。この近似は、クレンショウ・カーティス求積法に直接つながります。

これらの多項式はパフヌティ・チェビシェフにちなんで名付けられました。^[3]チェビシェフという名前はTchebycheff、Tchebyshev（フランス語）、Tschebyschow （ドイツ語）と翻字されるため、文字 $T$ が使用されています。

定義

再発の定義

第一種チェビシェフ多項式は再帰関係から得られる。

${\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}$ 再帰性により、これらをサイズの三角対角行列の行列式として明示的に表すこともできます。 $k\times k$

$T_{k}(x)=\det {\begin{bmatrix}x&1&0&\cdots &0\\1&2x&1&\ddots &\vdots \\0&1&2x&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&1&2x\end{bmatrix}}$

$T$ $n$ の通常の生成関数は次のとおりです。チェビシェフ多項式には他にも生成関数がいくつかあります。指数生成関数は次のとおりです。 $\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.$ $\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{2}}\!\left(e^{t\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}+e^{t\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}\right)=e^{tx}\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right).$

2次元ポテンシャル理論と多重極展開に関連する生成関数は次のとおりです。 $\sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}(x)\,{\frac {t^{n}}{n}}=\ln \left({\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}\right).$

第二種チェビシェフ多項式は、再帰関係によって定義されます。 2 つの再帰関係は、とを除いて同一であることに注意してください。 $U$ $n$ の通常の生成関数は次のとおりです。指数生成関数は次のとおりです。 ${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2x\,U_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}$ $T_{1}(x)=x$ $U_{1}(x)=2x$ $\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}},$ $\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{tx}\!\left(\!\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\sinh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\!\right).$

三角関数の定義

序論で述べたように、第一種チェビシェフ多項式は、次を満たす唯一の多項式として定義できます。または、言い換えると、 $n$ $= 0, 1, 2, 3, \dots$ に対して、次を満たす唯一の多項式として定義できます。 $T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos x)&{\text{ if }}~|x|\leq 1\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)&{\text{ if }}~x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\operatorname {arcosh} (-x))&{\text{ if }}~x\leq -1\end{cases}}$ $T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )$

第二種多項式は次式を満たします。または、これは構造的にディリクレ核 $D$ $n$ $($ $x$ $)$ と非常に類似しています。 (実際、ディリクレ核は、現在第四種チェビシェフ多項式として知られているものと一致します。) $U_{n-1}(\cos \theta )\sin \theta =\sin(n\theta ),$ $U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\,\theta {\big )}}{\sin \theta }},$ $D_{n}(x)={\frac {\sin \left((2n+1){\dfrac {x}{2}}\,\right)}{\sin {\dfrac {x}{2}}}}=U_{2n}\!\!\left(\cos {\frac {x}{2}}\right).$

これを複素数のべき乗で表すこともできます。絶対値が1の複素数 $z = a + bi$ が与えられた場合、三角多項式を研究するときにチェビシェフ多項式をこの形式で定義できます。^[4] $z^{n}=T_{n}(a)+ibU_{n-1}(a).$

cos $nx が$ $cos$ $x$ $のn$ 次多項式であることは、 $cos$ $nx$ がド・モアブルの公式 $の$ 片辺の実部であることを観察することでわかります。もう一方の辺の実部は $cos$ $x$ と $sin$ $x$ $の多項式で、 sin$ $x$ の累乗はすべて偶数なので、 $cos$ $2$ $x$ $+ sin$ $2$ $x$ $= 1 という$ 恒等式で置き換えることができます。同じ理由で、 $sin$ $nx$ は多項式の虚部で、 $sin$ $x$ の累乗はすべて奇数なので、 $sin$ $x$ $の 1 つの因数を因数分解すると、残りの因数を置き換えてcos$ $x$ $の($ $n$ $-1)$ 次多項式を作成できます。 $\cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.$

可換多項式の定義

チェビシェフ多項式は次の定理によって特徴付けられる: ^[5]

が特性体の係数を持つ単項多項式の族で、すべてのおよびに対してかつとなる場合、単純な変数変換を除いて、すべてのまたはすべてのに対してとなります。 $F_{n}(x)$ $0$ $\deg F_{n}(x)=n$ $F_{m}(F_{n}(x))=F_{n}(F_{m}(x))$ $m$ $n$ $F_{n}(x)=x^{n}$ $n$ $F_{n}(x)=2\cdot T_{n}(x/2)$ $n$

ペル方程式の定義

チェビシェフ多項式は、環 $R$ $[$ $x$ $]$ におけるペル方程式の解として定義することもできる。 ^[6]したがって、それらはペル方程式の基本解のべき乗をとる標準的な手法によって生成することができる。 $T_{n}(x)^{2}-\left(x^{2}-1\right)U_{n-1}(x)^{2}=1$ $T_{n}(x)+U_{n-1}(x)\,{\sqrt {x^{2}-1}}=\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n}~.$

2種類のチェビシェフ多項式の関係

第一種および第二種のチェビシェフ多項式は、パラメータP = 2 xおよびQ = 1を持つ $ルーカス$ $数列$ $Ṽn$ ( $P$ $,$ Q $) および \times n (P$ , $Q) の相補ペアに対応$ する。したがって、それらは相互再帰方程式のペアも満たす。 $[$ ^7] ${\begin{aligned}{\tilde {U}}_{n}(2x,1)&=U_{n-1}(x),\\{\tilde {V}}_{n}(2x,1)&=2\,T_{n}(x).\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}T_{n+1}(x)&=x\,T_{n}(x)-(1-x^{2})\,U_{n-1}(x),\\U_{n+1}(x)&=x\,U_{n}(x)+T_{n+1}(x).\end{aligned}}$

これらの 2 番目は、第 2 種チェビシェフ多項式の再帰定義を使用して並べ替えられ、次のようになります。 $T_{n}(x)={\frac {1}{2}}{\big (}U_{n}(x)-U_{n-2}(x){\big )}.$

この式を反復的に使用すると、和の式が得られます。を置き換え、の微分式を使用すると、の微分に対する再帰関係が得られます。 $U_{n}(x)={\begin{cases}2\sum _{{\text{ odd }}j}^{n}T_{j}(x)&{\text{ for odd }}n.\\2\sum _{{\text{ even }}j}^{n}T_{j}(x)+1&{\text{ for even }}n,\end{cases}}$ $U_{n}(x)$ $U_{n-2}(x)$ $T_{n}(x)$ $T_{n}$

$2\,T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n-1}(x),\qquad n=2,3,\ldots$

この関係は、微分方程式を解くチェビシェフスペクトル法で使用されます。

チェビシェフ多項式に対するトゥランの不等式は以下の通りである: ^[8] ${\begin{aligned}T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)\,T_{n+1}(x)&=1-x^{2}>0&&{\text{ for }}-1<x<1&&{\text{ and }}\\U_{n}(x)^{2}-U_{n-1}(x)\,U_{n+1}(x)&=1>0~.\end{aligned}}$

積分関係は^[7]^{: 187(47)(48)}^[9] であり、ここで積分は主値として考えられている。 ${\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {T_{n}(y)}{y-x}}\,{\frac {\mathrm {d} y}{\sqrt {1-y^{2}}}}&=\pi \,U_{n-1}(x)~,\\[1.5ex]\int _{-1}^{1}{\frac {U_{n-1}(y)}{y-x}}\,{\sqrt {1-y^{2}}}\mathrm {d} y&=-\pi \,T_{n}(x)\end{aligned}}$

明示的な表現

チェビシェフ多項式を定義するためのさまざまなアプローチにより、明示的な表現も異なります。三角関数の定義では、次のような明示的な式が得られます。この三角関数形式から、基底ケースが成り立つことを直接計算することで、再帰定義を復元できます。また、積和恒等式が成り立つことも計算できます。 ${\begin{aligned}T_{n}(x)&={\begin{cases}\cos(n\arccos x)\qquad \quad &{\text{ for }}~-1\leq x\leq 1\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)\qquad \quad &{\text{ for }}~1\leq x\\(-1)^{n}\cosh {\big (}n\operatorname {arcosh} (-x){\big )}\qquad \quad &{\text{ for }}~x\leq -1\end{cases}}\end{aligned}}$ $T_{0}(\cos \theta )=\cos(0\theta )=1$ $T_{1}(\cos \theta )=\cos \theta ,$ $2\cos n\theta \cos \theta =\cos \lbrack (n+1)\theta \rbrack +\cos \lbrack (n-1)\theta \rbrack .$

チェビシェフ多項式の複素数指数定義を使用すると、次の式を導くことができます。 2つは等しいです。なぜならです。 $T_{n}(x)={\dfrac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}+{\Big (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}{\bigg )}\qquad {\text{ for }}~x\in \mathbb {R}$ $T_{n}(x)={\dfrac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}+{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{-n}{\bigg )}\qquad {\text{ for }}~x\in \mathbb {R}$ $(x+{\sqrt {x^{2}-1}})(x-{\sqrt {x^{2}-1}})=1$

チェビシェフ多項式を単項式 $x k$ で明示的に表すと、ド・モアブルの公式: となる。ここで、 $Re は$ 複素数の実部を表す。この公式を展開すると、次の式が得られる。この式の実部は、偶数添字に対応する加数から得られる。およびに注意すると、明示的な公式が得られる。これは次のことを意味する。これは、 $2$ $F$ $1$ 超幾何関数: として表すことができ、逆関数は次のようになる。^[10]^[11] $T_{n}(\cos(\theta ))=\operatorname {Re} (\cos n\theta +i\sin n\theta )=\operatorname {Re} ((\cos \theta +i\sin \theta )^{n}),$ $(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\sum \limits _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}i^{j}\sin ^{j}\theta \cos ^{n-j}\theta .$ $i^{2j}=(-1)^{j}$ $\sin ^{2j}\theta =(1-\cos ^{2}\theta )^{j}$ $\cos n\theta =\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}(\cos ^{2}\theta -1)^{j}\cos ^{n-2j}\theta ,$ $T_{n}(x)=\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}(x^{2}-1)^{j}x^{n-2j}.$ ${\begin{aligned}T_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&={\frac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\qquad \qquad {\text{ for }}~n>0\\\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\qquad \qquad ~{\text{ for }}~n>0\\\\&={}_{2}F_{1}\!\left(-n,n;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right)\\\end{aligned}}$

$x^{n}=2^{1-n}\mathop {{\sum }'} _{j=0 \atop j\,\equiv \,n{\pmod {2}}}^{n}\!\!{\binom {n}{\tfrac {n-j}{2}}}\!\;T_{j}(x),$ $ここで、合計記号のプライムは、 j = 0$ の寄与が現れた場合に半分にする必要があることを示します。

二項係数と2の累乗を持つ単項式の和としての $T n$ の関連表現は、 $T_{n}\left(x\right)=\sum \limits _{m=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }\left(-1\right)^{m}\left({\binom {n-m}{m}}+{\binom {n-m-1}{n-2m}}\right)\cdot 2^{n-2m-1}\cdot x^{n-2m}.$

同様に、 $U n は$ 超幾何関数で表現できます。 ${\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}-\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}~n>0\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}~n>0\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}&{\text{ for }}~n>0\\&=(n+1)\ {}_{2}F_{1}\left(-n,n+2;{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right).\\\end{aligned}}$

プロパティ

対称

${\begin{aligned}T_{n}(-x)&=(-1)^{n}\,T_{n}(x)={\begin{cases}T_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ even}}\\-T_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ odd}}\end{cases}}\\\\U_{n}(-x)&=(-1)^{n}\,U_{n}(x)={\begin{cases}U_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ even}}\\-U_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ odd}}\end{cases}}\end{aligned}}$

つまり、偶数次のチェビシェフ多項式は偶対称性を持ち、したがって $x$ の偶数乗のみが含まれます。奇数次のチェビシェフ多項式は奇対称性を持ち、したがって $x$ の奇数乗のみが含まれます。

根と極値

$どちらの種類のn$ 次チェビシェフ多項式も、区間 $[-1, 1]内に$ $n 個$ の異なる単純根(チェビシェフ根)を持ちます。第 1 種チェビシェフ多項式の根は、多項式補間のノードとして使用されるため、チェビシェフノードと呼ばれることもあります。三角関数の定義と次の事実を使用すると、 $T$ $n$ の根は次のようになります。同様に、 $U$ $n$ の根は次のようになります。区間 $-1 \leq$ $x$ $\leq 1上の$ $T$ $n$ の極値は次のようになります。 $\cos \left((2k+1){\frac {\pi }{2}}\right)=0$ $x_{k}=\cos \left({\frac {\pi (k+1/2)}{n}}\right),\quad k=0,\ldots ,n-1.$ $x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.$ $x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n.$

第一種チェビシェフ多項式のユニークな性質の 1 つは、区間 $-1 \leq x \leq 1$ 上のすべての極値は-1 または 1 のいずれかの値を持つということです。したがって、これらの多項式には 2 つの有限の臨界値しかありません。これは、シャバット多項式の定義特性です。第一種および第二種のチェビシェフ多項式はどちらも、次のように表される端点に極値を持ちます。 ${\begin{aligned}T_{n}(1)&=1\\T_{n}(-1)&=(-1)^{n}\\U_{n}(1)&=n+1\\U_{n}(-1)&=(-1)^{n}(n+1).\end{aligned}}$

の区間上のの極値はの値にあります。は、、または、、、つまりが互いに素な数である場合です。 $T_{n}(x)$ $-1\leq x\leq 1$ $n>0$ $n+1$ $x$ $\pm 1$ $\cos \left({\frac {2\pi k}{d}}\right)$ $d>2$ $d\;|\;2n$ $0<k<d/2$ $(k,d)=1$ $k$ $d$

具体的には、^[12]^[13]が偶数のとき: $n$

$T_{n}(x)=1$ 、またはが偶数の場合。のこのような値が存在します。 $x=\pm 1$ $d>2$ $2n/d$ $n/2+1$ $x$
$T_{n}(x)=-1$ およびが奇数の場合。のこのような値が存在します。 $d>2$ $2n/d$ $n/2$ $x$

奇数の場合: $n$

$T_{n}(x)=1$ 、またはが偶数の場合。のこのような値が存在します。 $x=1$ $d>2$ $2n/d$ $(n+1)/2$ $x$
$T_{n}(x)=-1$ 、またはが奇数の場合。のこのような値が存在します。 $x=-1$ $d>2$ $2n/d$ $(n+1)/2$ $x$

この結果は、の解に一般化されており、^[13]また、第3種および第4種チェビシェフ多項式に対してそれぞれおよびに一般化されている。 ^[14] $U_{n}(x)\pm 1=0$ $V_{n}(x)\pm 1=0$ $W_{n}(x)\pm 1=0$

差別化と統合

多項式の導関数は、必ずしも簡単ではありません。多項式を三角関数形式で微分すると、次のことが示されます。 ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} T_{n}}{\mathrm {d} x}}&=nU_{n-1}\\{\frac {\mathrm {d} U_{n}}{\mathrm {d} x}}&={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=n\,{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n\,{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\end{aligned}}$

最後の2つの式は、ゼロ除算のため数値的に問題になる可能性がある（⁠0/0⁠ 不定形、具体的には $x = 1$ および $x = -1$ の場合。ロピタルの規則により: ${\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=1}\!\!&={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}},\\\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=-1}\!\!&=(-1)^{n}{\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}.\end{aligned}}$

より一般的には、これは固有値問題の数値解法に非常に役立ちます。 $\left.{\frac {\mathrm {d} ^{p}T_{n}}{\mathrm {d} x^{p}}}\right|_{x=\pm 1}\!\!=(\pm 1)^{n+p}\prod _{k=0}^{p-1}{\frac {n^{2}-k^{2}}{2k+1}}~,$

また、次式も成り立ちます。ここで、和の記号のプライムは、 $k$ $= 0$ によって寄与される項が現れる場合に、その項が半分になることを意味します。 ${\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} x^{p}}}\,T_{n}(x)=2^{p}\,n\mathop {{\sum }'} _{0\leq k\leq n-p \atop k\,\equiv \,n-p{\pmod {2}}}{\binom {{\frac {n+p-k}{2}}-1}{\frac {n-p-k}{2}}}{\frac {\left({\frac {n+p+k}{2}}-1\right)!}{\left({\frac {n-p+k}{2}}\right)!}}\,T_{k}(x),~\qquad p\geq 1,$

$積分に関しては、 T n$ の 1 次導関数は次を意味します。また、導関数を含む第一種多項式の再帰関係は、 $n$ $\geq 2$ に対して次を確立します。 $\int U_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {T_{n+1}}{n+1}}$ $\int T_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {T_{n+1}}{n+1}}-{\frac {T_{n-1}}{n-1}}\right)={\frac {n\,T_{n+1}}{n^{2}-1}}-{\frac {x\,T_{n}}{n-1}}.$

$最後の式をさらに操作して、 T n$ の積分を第 1 種チェビシェフ多項式の関数としてのみ表すことができます。 ${\begin{aligned}\int T_{n}\,\mathrm {d} x&={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{n-1}}T_{1}T_{n}\\&={\frac {n}{n^{2}-1}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,(T_{n+1}+T_{n-1})\\&={\frac {1}{2(n+1)}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,T_{n-1}.\end{aligned}}$

さらに、次のものがあります: $\int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {(-1)^{n}+1}{1-n^{2}}}&{\text{ if }}~n\neq 1\\0&{\text{ if }}~n=1.\end{cases}}$

チェビシェフ多項式の積

第一種チェビシェフ多項式は、次の関係式を満たします。これは、コサインの積和公式から簡単に証明できます $。n$ $= 1$ の場合、これは既知の再帰式になりますが、配置が異なります $。n$ $= 2の場合は、すべての偶数またはすべての奇数インデックスのチェビシェフ多項式の再帰関係が形成されます (最小の$ $m$ の偶奇性によって異なります)。これは、これらの多項式の偶数または奇数を意味します。この積展開から、チェビシェフ多項式を評価するためのさらに 3 つの便利な式を結論付けることができます。 $T_{m}(x)\,T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}\!\left(T_{m+n}(x)+T_{|m-n|}(x)\right)\!,\qquad \forall m,n\geq 0,$ $2\cos \alpha \,\cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ).$ ${\begin{aligned}T_{2n}(x)&=2\,T_{n}^{2}(x)-T_{0}(x)&&=2T_{n}^{2}(x)-1,\\T_{2n+1}(x)&=2\,T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2\,T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-x,\\T_{2n-1}(x)&=2\,T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2\,T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-x.\end{aligned}}$

第二種多項式は、同様の関係式を満たします (慣例により定義 $U$ $-1$ $\equiv 0$ )。また、 $m$ $\geq$ $n$ に対して、次式も満たします $。n$ $= 2$ の場合、この再帰式は次のように簡約されます。これは、 $m が$ 2 で始まるか 3 で始まるかに応じて、第二種チェビシェフ多項式の偶数または奇数インデックスの偶数性または奇数性を確立します。 $T_{m}(x)\,U_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(U_{m+n}(x)+U_{n-m}(x)\right),&~{\text{ if }}~n\geq m-1,\\\\{\frac {1}{2}}\left(U_{m+n}(x)-U_{m-n-2}(x)\right),&~{\text{ if }}~n\leq m-2.\end{cases}}$ $U_{m}(x)\,U_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\,U_{m-n+2k}(x)=\sum _{\underset {\text{ step 2 }}{p=m-n}}^{m+n}U_{p}(x)~.$ $U_{m+2}(x)=U_{2}(x)\,U_{m}(x)-U_{m}(x)-U_{m-2}(x)=U_{m}(x)\,{\big (}U_{2}(x)-1{\big )}-U_{m-2}(x)~,$

合成と分割可能性の特性

$Tn$ と $Un の$ 三角関数の定義は $、$ 合成または入れ子の性質を意味します。^[15] $Tmn$ の場合 $、$ 合成の順序を逆にすることができ、多項式関数の族 $Tn$ $は$ 合成に関して可換半群になります。 ${\begin{aligned}T_{mn}(x)&=T_{m}(T_{n}(x)),\\U_{mn-1}(x)&=U_{m-1}(T_{n}(x))U_{n-1}(x).\end{aligned}}$

$m$ が奇数の場合には $T m (x) は$ $x$ で割り切れるので、 $m$ が奇数の場合には $T$ $mn$ $($ $x$ $)$ は $T$ $n$ $($ $x$ $)$ で割り切れることになります。さらに、 $U$ $mn$ $-1$ $($ $x$ $)は$ $U$ $n$ $-1$ $($ $x$ $)$ で割り切れ、 $m$ が偶数の場合には $T$ $n$ $($ $x$ $)$ $U$ $n$ $-1$ $($ $x$ $)$ で割り切れます。

直交性

$T n$ と $U n は$ 両方とも直交多項式の列を形成します。第 1 種多項式 $T n は$ 、区間 $[-1, 1]$ 上の重みに関して直交します。つまり、次の式が成り立ちます。 ${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},$ $\int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,T_{m}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~n\neq m,\\[5mu]\pi &~{\text{ if }}~n=m=0,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ if }}~n=m\neq 0.\end{cases}}$

$これは、 x = cos θ$ とし、定義恒等式 $T n (cos θ) = cos(nθ)$ を使用することで証明できます。

同様に、第2種多項式 $U nは$ 重みに関して直交しており、区間 $[-1, 1]$ では次のようになる。 ${\sqrt {1-x^{2}}}$ $\int _{-1}^{1}U_{n}(x)\,U_{m}(x)\,{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~n\neq m,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ if }}~n=m.\end{cases}}$

（測度 $\sqrt1 - x2dx は$ 、正規化定数の範囲内で、ウィグナー半円分布 $で$ $ある$ 。）

これらの直交性は、チェビシェフ多項式がチェビシェフ微分方程式を解くという事実から生じます。チェビシェフ微分方程式は、ストゥルム・リウヴィル微分方程式です。このような微分方程式の一般的な特徴は、解の明確な正規直交集合が存在することです。(チェビシェフ多項式を定義する別の方法は、それらの方程式の解として定義することです。) ${\begin{aligned}(1-x^{2})T_{n}''-xT_{n}'+n^{2}T_{n}&=0,\\[1ex](1-x^{2})U_{n}''-3xU_{n}'+n(n+2)U_{n}&=0,\end{aligned}}$

T $n は$ $離散$ 直交性条件も満たす。ここで $N は$ $max($ $i$ $,$ $j$ $)$ より大きい任意の整数、^[9]であり、 $x$ $k は$ $T$ $N$ $($ $x$ $)の$ $N$ チェビシェフノード（上記参照）である。 $\sum _{k=0}^{N-1}{T_{i}(x_{k})\,T_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\neq j,\\[5mu]N&~{\text{ if }}~i=j=0,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&~{\text{ if }}~i=j\neq 0,\end{cases}}$ $x_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {2k+1}{2N}}\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots ,N-1.$

第二種多項式と、同じチェビシェフノード $x$ $k$ $を持つ任意の整数N > i + j$ に対して、同様の和が存在します。重み関数がない場合: $\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})\left(1-x_{k}^{2}\right)}={\begin{cases}0&{\text{ if }}~i\neq j,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&{\text{ if }}~i=j,\end{cases}}$ $\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]N\cdot (1+\min\{i,j\})&~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}$

任意の整数 $N > i + jに対して、$ $U$ $N$ $($ $x$ $)$ の $N個の$ ゼロに基づいて、次の合計を得ることができます。また、重み関数なしでも次の式が得られます。 $y_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {k+1}{N+1}}\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots ,N-1,$ $\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})(1-y_{k}^{2})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]{\frac {N+1}{2}}&~{\text{ if }}i=j,\end{cases}}$ $\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]{\bigl (}\min\{i,j\}+1{\bigr )}{\bigl (}N-\max\{i,j\}{\bigr )}&~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}$

最小限 $\infty$ -ノルム

任意の $n \geq 1に対して、主係数が 1 である$ $n$ 次多項式(モニック多項式) のうち、区間 $[-1, 1]$ 上の絶対値の最大値が最小となるものは 1 つです。 $f(x)={\frac {1}{\,2^{n-1}\,}}\,T_{n}(x)$

この最大絶対値は次の通りです。 $そして$ | $f$ $($ $x$ $)$ $|$ $が$ この最大値に達するのは $、次$ のときです: ${\frac {1}{2^{n-1}}}$ $x=\cos {\frac {k\pi }{n}}\quad {\text{for }}0\leq k\leq n.$

証拠

$w n (x)が、区間$ $[-1, 1]$ 上の絶対値が $1 / 2$ $n$ $- 1$ 未満で、先頭係数が 1 である $n$ 次多項式であると仮定します。

定義する $f_{n}(x)={\frac {1}{\,2^{n-1}\,}}\,T_{n}(x)-w_{n}(x)$

なぜなら、 $T n$ の極限点では、 ${\begin{aligned}|w_{n}(x)|&<\left|{\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)\right|\\f_{n}(x)&>0\qquad {\text{ for }}~x=\cos {\frac {2k\pi }{n}}~&&{\text{ where }}0\leq 2k\leq n\\f_{n}(x)&<0\qquad {\text{ for }}~x=\cos {\frac {(2k+1)\pi }{n}}~&&{\text{ where }}0\leq 2k+1\leq n\end{aligned}}$

中間値定理から、 $f n (x)$ には少なくとも $n 個の根があります。しかし、$ $f n (x) は$ $n - 1$ 次多項式なので、これは不可能であり、代数の基本定理によれば、最大で $n - 1 個$ の根しかありません。

述べる

等振動定理により、次数 $\leq n$ のすべての多項式の中で、多項式 $f が$ $[-1, 1]$ 上で $‖ f ‖ \infty$ を最小化するのは、 $|$ $f$ $($ $x$ $i$ $)$ $| = ‖$ $f$ $‖$ $\infty$ $となるような、 -1 \leq$ $x$ $0$ $<$ $x$ $1$ $< \dots <$ $x$ $n$ $+ 1$ $\leq 1$ の点が $n$ $+$ 2 個ある場合のみです。

もちろん、区間 $[-1, 1]$ 上のヌル多項式はそれ自体で近似でき、 $\infty$ ノルムを最小化します。

ただし、上記では、 $n$ $\geq 1$ の最適な多項式を探しているため、 $| f | が$ 最大値に達するのは $n + 1$ 回だけです(したがって、前に述べた定理は使用できません)。

より一般的な多項式族の特別なケースとしてのチェビシェフ多項式

チェビシェフ多項式は超球面多項式またはゲーゲンバウアー多項式の特殊なケースであり、超球面多項式またはゲーゲンバウアー多項式自体はヤコビ多項式の特殊なケースです。 $C_{n}^{(\lambda )}(x)$ $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)$ ${\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {n}{2}}\lim _{q\to 0}{\frac {1}{q}}\,C_{n}^{(q)}(x)\qquad ~{\text{ if }}~n\geq 1,\\&={\frac {1}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {2^{2n}}{\binom {2n}{n}}}P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)~,\\[2ex]U_{n}(x)&=C_{n}^{(1)}(x)\\&={\frac {n+1}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {2^{2n+1}}{\binom {2n+2}{n+1}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)~.\end{aligned}}$

チェビシェフ多項式もディクソン多項式の特殊なケースです。特に、のとき、それらはおよびによって関連付けられます。 $D_{n}(2x\alpha ,\alpha ^{2})=2\alpha ^{n}T_{n}(x)\,$ $E_{n}(2x\alpha ,\alpha ^{2})=\alpha ^{n}U_{n}(x).\,$ $\alpha ={\tfrac {1}{2}}$ $D_{n}(x,{\tfrac {1}{4}})=2^{1-n}T_{n}(x)$ $E_{n}(x,{\tfrac {1}{4}})=2^{-n}U_{n}(x)$

その他のプロパティ

$y = T n (x)$ 、またはそれと同等のパラメトリック方程式 $y = T n (cos θ) = cos nθ$ 、 $x = cos θ$ で与えられる曲線は、周波数比が $nに等しい$ リサジュー曲線の特殊なケースです。

式に似ています。類似の式は次のようになります。 $T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ),$ $T_{2n+1}(\sin \theta )=(-1)^{n}\sin \left(\left(2n+1\right)\theta \right).$

$x \neq 0$ の場合: かつ: これは、定義により $x$ $=$ $e$ $iθ$ に対して成り立つという事実から導かれます。 $T_{n}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)={\frac {x^{n}+x^{-n}}{2}}$ $x^{n}=T_{n}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)+{\frac {x-x^{-1}}{2}}\ U_{n-1}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right),$

ルジャンドル多項式とチェビシェフ多項式の間には関係がある

$\sum _{k=0}^{n}P_{k}\left(x\right)T_{n-k}\left(x\right)=\left(n+1\right)P_{n}\left(x\right)$

$\sum _{k=0}^{n}P_{k}\left(x\right)P_{n-k}\left(x\right)=U_{n}\left(x\right)$

これらの恒等式は生成関数と離散畳み込みを使って証明できる。

例

第一種

第一種チェビシェフ多項式の最初のいくつかはOEIS :A028297である。 ${\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\T_{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\T_{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\T_{9}(x)&=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\\T_{10}(x)&=512x^{10}-1280x^{8}+1120x^{6}-400x^{4}+50x^{2}-1\end{aligned}}$

第二種

第二種チェビシェフ多項式の最初のいくつかはOEIS :A053117である。 ${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\U_{4}(x)&=16x^{4}-12x^{2}+1\\U_{5}(x)&=32x^{5}-32x^{3}+6x\\U_{6}(x)&=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\\U_{7}(x)&=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\\U_{8}(x)&=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\\U_{9}(x)&=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x\\U_{10}(x)&=1024x^{10}-2304x^{8}+1792x^{6}-560x^{4}+60x^{2}-1\end{aligned}}$

基本セットとして

滑らかでない関数（上） $y = - x 3 H (- x)$ （ $H$ はヘビサイドのステップ関数）、および（下）そのチェビシェフ展開の 5 番目の部分和。7 番目の和は、グラフの解像度では元の関数と区別がつきません。

適切なソボレフ空間では、チェビシェフ多項式の集合は正規直交基底を形成するので、同じ空間内の関数は、 $-1 \leq x \leq 1$ 上で、展開によって表すことができる。^[16] $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x).$

さらに、前述のように、チェビシェフ多項式は直交基底を形成し、これは（とりわけ）係数 $a n が$ 内積の適用によって簡単に決定できることを意味します。この和はチェビシェフ級数またはチェビシェフ展開と呼ばれます。

チェビシェフ級数は変数変換を通じてフーリエ余弦級数と関連しているため、フーリエ級数に適用される定理や恒等式などはすべてチェビシェフ級数にも対応するものがある。^[16]これらの属性には以下が含まれる。

チェビシェフ多項式は完全な直交系を形成します。
関数が区分的に滑らかで連続している場合、チェビシェフ級数は $f (x)に収束します。$ $f$ $($ $x$ $)$ とその導関数に有限個の不連続点がある限り、ほとんどの場合、滑らかさの要件は緩和できます。
不連続点では、級数は右の限界と左の限界の平均に収束します。

チェビシェフ多項式はフーリエ級数から受け継いだ定理や恒等式の豊富さから数値解析の重要なツールとなっている。例えば、スペクトル法で使用される最も一般的な汎用基底関数であり、^[16]連続関数の収束が一般に速いため三角級数よりも好まれることが多い（ギブスの現象は依然として問題である）。

例1

$log(1 + x)$ のチェビシェフ展開を考えてみましょう。次のように表すことができます。 $\log(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)~.$

係数 $a n$ は、内積を適用するか、離散直交条件によって求めることができます。内積の場合 : $\int _{-1}^{+1}\,{\frac {T_{m}(x)\,\log(1+x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\int _{-1}^{+1}{\frac {T_{m}(x)\,T_{n}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x,$ $a_{n}={\begin{cases}-\log 2&{\text{ for }}~n=0,\\{\frac {-2(-1)^{n}}{n}}&{\text{ for }}~n>0.\end{cases}}$

あるいは、近似する関数の内積を評価できない場合、離散直交性条件によって近似係数の有用な結果が得られることが多い。ここで、 $δ$ $ij$ はクロネッカーのデルタ関数、 $x$ $kは$ $T$ $N$ $($ $x$ $)の$ $N$ ガウス・チェビシェフ零点である。任意の $N$ に対して、これらの近似係数は、それらの点間の誤差が制御された状態で、 $x$ $k$ における関数の正確な近似値を提供する。正確な係数は $N$ $= \infty$ で得られるため、 $[-1,1]$ 内のすべての点で関数を正確に表すことができる。収束率は関数とその滑らかさによって決まる。 $a_{n}\approx {\frac {\,2-\delta _{0n}\,}{N}}\,\sum _{k=0}^{N-1}T_{n}(x_{k})\,\log(1+x_{k}),$ $x_{k}=\cos \left({\frac {\pi \left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)}{N}}\right).$

これにより、離散コサイン変換を通じて近似係数 $a n を$ 非常に効率的に計算できるようになります。 $a_{n}\approx {\frac {2-\delta _{0n}}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\cos \left({\frac {n\pi \left(\,k+{\tfrac {1}{2}}\right)}{N}}\right)\log(1+x_{k}).$

例2

別の例を挙げます。 ${\begin{aligned}\left(1-x^{2}\right)^{\alpha }&=-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+\alpha \right)}{\Gamma (\alpha +1)}}+2^{1-2\alpha }\,\sum _{n=0}\left(-1\right)^{n}\,{2\alpha \choose \alpha -n}\,T_{2n}(x)\\[1ex]&=2^{-2\alpha }\,\sum _{n=0}\left(-1\right)^{n}\,{2\alpha +1 \choose \alpha -n}\,U_{2n}(x).\end{aligned}}$

部分合計

の部分和は、さまざまな関数の近似や微分方程式の解法に非常に役立ちます(スペクトル法を参照)。係数 $a$ $n を$ 決定する一般的な 2 つの方法は、ガラーキン法のように内積を使用する方法と、補間に関連する共線法を使用する方法です。 $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)$

補間関数として、 $($ $N$ $- 1)$ 番目の部分和の $N$ 個の係数は通常、チェビシェフ・ガウス・ロバット^[17]点（またはロバットグリッド）上で得られ、これにより誤差が最小限に抑えられ、均一グリッドに関連するルンゲ現象を回避できます。この点の集合は、和の最高次多項式の極値と端点に対応し、次のように表されます。 $x_{k}=-\cos \left({\frac {k\pi }{N-1}}\right);\qquad k=0,1,\dots ,N-1.$

チェビシェフ形式の多項式

$N$ 次の任意の多項式は、第一種チェビシェフ多項式で表すことができます。^[9]このような多項式 $p (x)$ は次の形式になります。 $p(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x).$

チェビシェフ形式の多項式は、クレンショウアルゴリズムを使用して評価できます。

チェビシェフ多項式に関連する多項式の族

と表記され、チェビシェフ多項式と密接に関連した多項式が時々使用されます。これらは次のように定義されます。 ^[18] および次式を満たします。AF Horadam はこれらの多項式を Vieta–Lucas 多項式と呼び、と表記しました。彼はこれらの多項式を Vieta–Fibonacci 多項式と呼び、と表記しました。[19] 両方の多項式の一覧は、Viète の Opera Mathematica の第 IX 章、定理 VI および VII に記載されています。 [ 20 ]実引数^のVieta – Lucas^多項式と Vieta–Fibonacci 多項式は、後者の場合はの累乗と指数のシフトを除けば、虚引数のLucas 多項式と Fibonacci 多項式 $L$ $n$ および $F$ $n$ に等しいです。 $C_{n}(x)$ $S_{n}(x)$ $C_{n}(x)=2T_{n}\left({\frac {x}{2}}\right),\qquad S_{n}(x)=U_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)$ $C_{n}(x)=S_{n}(x)-S_{n-2}(x).$ $C_{n}(x)$ $v_{n}(x)$ $S_{n}(x)$ $V_{n}(x)$ $i$

第一種および第二種のシフトチェビシェフ多項式は、チェビシェフ多項式と次の関係がある。^[18] $T_{n}^{*}(x)=T_{n}(2x-1),\qquad U_{n}^{*}(x)=U_{n}(2x-1).$

チェビシェフ多項式の引数が $2 x - 1 \in [-1, 1]$ を満たすとき、シフトチェビシェフ多項式の引数は $x \in [0, 1]$ $を満たします。同様に、一般的な区間[a, b]$ に対してシフト多項式を定義することができます。

1990 年頃、「第 3 種」および「第 4 種」という用語は、チェビシェフ多項式に関連して使用されるようになりましたが、これらの用語で表される多項式は、それ以前には、翼型多項式という名前で開発されていました。JC Mason と GH Elliott によると、「第 3 種」および「第 4 種」という用語は、 Walter Gautschiが「直交多項式の分野の同僚と相談して」考案したものです。 ^[21]第 3 種のチェビシェフ多項式は次のように定義されます。 第 4 種のチェビシェフ多項式は次 のように定義されます。ここで、。 ^[21]^[22]翼型の文献では、およびがおよびと表記されます。多項式族、、、およびは、重みに関して直交します。およびは、次の条件を満たすヤコビ多項式に比例します。^[22] $V_{n}(x)={\frac {\cos \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}={\sqrt {\frac {2}{1+x}}}T_{2n+1}\left({\sqrt {\frac {x+1}{2}}}\right)$ $W_{n}(x)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}=U_{2n}\left({\sqrt {\frac {x+1}{2}}}\right),$ $\theta =\arccos x$ $V_{n}(x)$ $W_{n}(x)$ $t_{n}(x)$ $u_{n}(x)$ $T_{n}(x)$ $U_{n}(x)$ $V_{n}(x)$ $W_{n}(x)$ $\left(1-x^{2}\right)^{-1/2},\quad \left(1-x^{2}\right)^{1/2},\quad (1-x)^{-1/2}(1+x)^{1/2},\quad (1+x)^{-1/2}(1-x)^{1/2}$ $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)$ $(\alpha ,\beta )=\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right).$

4つの族はすべて、、、、またはの繰り返し条件を満たしますが、、、、、またはが等しいかどうかによって異なります。^[21] $p_{n}(x)=2xp_{n-1}(x)-p_{n-2}(x)$ $p_{0}(x)=1$ $p_{n}=T_{n}$ $U_{n}$ $V_{n}$ $W_{n}$ $p_{1}(x)$ $x$ $2x$ $2x-1$ $2x+1$

偶数次変形チェビシェフ多項式

一部のアプリケーションではチェビシェフ多項式に依存していますが、ゼロに根がないことに対応できない場合があり、このような種類のアプリケーションでは標準チェビシェフ多項式を使用できません。均等に終端された受動ネットワークを使用した偶数次チェビシェフフィルタ設計は、この一例です。^[23] ただし、偶数次チェビシェフ多項式は、望ましいチェビシェフ等リップル効果を維持しながら、最低の根をゼロに移動するように修正することができます。このように修正された多項式にはゼロに 2 つの根が含まれており、偶数次修正チェビシェフ多項式と呼ばれることがあります。偶数次修正チェビシェフ多項式は、標準チェビシェフ多項式と同じ方法でチェビシェフノードから作成できます。 $P_{N}=\prod _{i=1}^{N}(x-C_{i})$

どこ

$P_{N}$ はN次のチェビシェフ多項式である
$C_{i}$ i番目のチェビシェフノードである

偶数次修正チェビシェフ多項式の場合、偶数次修正チェビシェフノードを使用して偶数次修正チェビシェフ多項式が構築されます。 $Pe_{N}=\prod _{i=1}^{N}(x-Ce_{i})$

どこ

$Pe_{N}$ はN次の偶数次修正チェビシェフ多項式である。
$Ce_{i}$ はi番目の偶数次修正チェビシェフノードである。

たとえば、上の例の 4 次チェビシェフ多項式はであり、調べてみるとゼロ根は含まれていません。偶数次修正チェビシェフノードから多項式を作成すると、の 4 次偶数次修正チェビシェフ多項式が作成されます。調べてみると、これには 2 つのゼロ根が含まれており、ゼロ根を必要とするアプリケーションで使用できます。 $X^{4}-X^{2}+.125$ $X^{4}-.828427X^{2}$

参照

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出典

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外部リンク

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定義