q-ガウス分布

q-ガウス

確率密度関数
パラメータ	${\displaystyle q<3}$ 形状(実在) (実在) ${\displaystyle \beta >0}$
サポート	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$のために のために${\displaystyle 1\leq q<3}$ ${\displaystyle x\in \left[\pm {1 \over {\sqrt {\beta (1-q)}}}\right]}$${\displaystyle q<1}$
PDF	${\displaystyle {{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}({-\beta x^{2}})}$
ドイツ連邦共和国	テキストを参照
平均	${\displaystyle 0{\text{ }}q<2} の場合$それ以外の場合は未定義
中央値	${\displaystyle 0}$
モード	${\displaystyle 0}$
分散	${\displaystyle {1 \over {\beta (5-3q)}}{\text{ }}q<{5 \over 3}} の場合$ ${\displaystyle \infty {\text{ }}{5 \over 3}\leq q<2} の場合$ ${\displaystyle {\text{}}2\leq q<3 の場合、未定義}$
歪度	${\displaystyle 0{\text{ }}q<{3 \over 2}} の場合$
過剰尖度	${\displaystyle 6{q-1 \over 7-5q}{\text{ }}q<{7 \over 5}} の場合$

q-ガウス分布は、適切な制約の下でのツァリスエントロピーの最大化から生じる確率分布です。これはツァリス分布の一例です。ツァリスエントロピーが標準的なボルツマン-ギブスエントロピーまたはシャノンエントロピーの一般化であるのと同じように、q-ガウス分布はガウス分布の一般化です。 ^[1]正規分布はq →  1 として回復されます。

q-ガウス分布は、統計力学、地質学、解剖学、天文学、経済学、金融、機械学習の分野の問題に適用されている。^{[要出典] 1 <} q < 3の場合、ガウス分布と比較して裾が重いため、この分布が好まれることが多い。q-ガウス分布は、有界ランダム変数の PDF である。このため、生物学やその他の分野 [2] では、外部確率の影響をモデル化するには、ガウス分布よりも q-ガウス分布の方が^適している。古典的な中心極限定理 [3] の一般化されたq類似^体が2008年に提案され、 iid 変数の独立性制約がqパラメータで定義される範囲まで緩和され、 q → 1で独立性が回復される。 しかし、このような定理の証明はまだ不足している。^[4]${\displaystyle q<1}$

重い裾野領域では、分布はqと自由度 の間の直接マッピングを持つスチューデントのt分布と同等です。したがって、これらの分布のいずれかを使用する実務者は、同じ分布を 2 つの異なる方法でパラメーター化できます。システムが非拡張型である場合、または小さなサンプル サイズとの関連が欠如している場合、 qガウス形式が選択されることがあります。

標準的なq-ガウス分布は確率密度関数 ^{[3]を持つ。}

${\displaystyle f(x)={{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}(-\beta x^{2})}$

どこ

${\displaystyle e_{q}(x)=[1+(1-q)x]_{+}^{1 \over 1-q}}$

はq指数であり、正規化係数は次のように与えられる。 ${\displaystyle C_{q}}$

${\displaystyle C_{q}={{2{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({1 \over 1-q}\right)} \over {(3-q){\sqrt {1-q}}\Gamma \left({3-q \over 2(1-q)}\right)}}{\text{ }}-\infty <q<1} の場合$

${\displaystyle C_{q}={\sqrt {\pi }}{\text{ }}q=1\,}$

${\displaystyle C_{q}={{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)} \over {{\sqrt {q-1}}\Gamma \left({1 \over q-1}\right)}}{\text{ }}1<q<3 の場合。}$

qの場合、ガウス分布は有界ランダム変数の PDF であることに注意してください。 ${\displaystyle q<1}$

累積密度関数は^[5]${\displaystyle 1<q<3}$

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {q-1}}\,\Gamma \left({1 \over q-1}\right)x{\sqrt {\beta }}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{q-1}};{\tfrac {3}{2}};-(q-1)\beta x^{2}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)}},}$

ここで、は超幾何関数です。 超幾何関数は| z | < 1に対して定義されますが、x は無制限であるため、Pfaff 変換を使用できます。 ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

のために、 ${\displaystyle q<1}$$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x<-{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}},\\{\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {1-q}}\,\Gamma \left({5-3q \over 2(1-q)}\right)x{\sqrt {\beta }}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{q-1}};{\tfrac {3}{2}};-(q-1)\beta x^{2}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({2-q \over 1-q}\right)}}&-{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}}}'',x<{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}},\\1&x>{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}}.\end{cases}}}$$

正規分布が、第 1 モーメントと第 2 モーメントの固定値 (正規化条件に対​​応する固定ゼロ モーメント) に対する最大情報エントロピー分布であるのと同様に、 qガウス分布は、これら 3 つのモーメントの固定値に対する最大Tsallis エントロピー分布です。 ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})}$${\displaystyle \operatorname {E} (X^{0})=1}$

これは、エントロピーの興味深い代替形式によって正当化される可能性があるが、統計的には、小規模サンプルの統計を記述するために W. Gosset によって 1908 年に導入されたStudent のt分布のスケール再パラメータ化である。Gosset の元のプレゼンテーションでは、自由度パラメータν はサンプル サイズに関連する正の整数に制限されていたが、Gosset の密度関数はν のすべての実数値に対して有効であることが容易にわかる。^{[要出典]スケール再パラメータ化により、} νに関連する代替パラメータqとβ が導入される。

自由度νのスチューデントのt分布が与えられた場合、同等のqガウス分布は

${\displaystyle q={\frac {\nu +3}{\nu +1}}{\text{ }}\beta ={\frac {1}{3-q}}} の場合$

逆数

${\displaystyle \nu ={\frac {3-q}{q-1}},{\text{ but only if }}\beta ={\frac {1}{3-q}}.}$

のときはいつでも、関数は単にスチューデントのt分布のスケールされたバージョンになります。 ${\displaystyle \beta \neq {1 \over {3-q}}}$

この分布はスチューデントのt分布を負の自由度や非整数の自由度に一般化したものだと主張されることがある。しかし、スチューデントのt分布の理論はすべての実数の自由度に自明に拡張され、分布のサポートはν < 0の場合に無限ではなくコンパクトになる。 ^{[引用が必要]}

ゼロを中心とする多くの分布と同様に、qガウス分布は位置パラメータμを含むように簡単に拡張できます。密度は次のように定義されます。

${\displaystyle {{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}({-\beta (x-\mu )^{2}}).}$

ボックス・ミュラー変換は、q-ガウス分布からのランダムサンプリングを可能にするために一般化されている。^[6]標準的なボックス・ミュラー手法は、次の形式の方程式から独立した正規分布変数のペアを生成する。

${\displaystyle Z_{1}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\cos(2\pi U_{2})}$

${\displaystyle Z_{2}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\sin(2\pi U_{2})}$

一般化されたボックス・ミュラー法は、独立ではないqガウス偏差のペアを生成することができます。実際には、一様分布の変数のペアから生成される偏差は1つだけです。次の式は、指定されたパラメータqと${\displaystyle \beta ={1 \over {3-q}}}$

${\displaystyle Z={\sqrt {-2{\text{ ln}}_{q'}(U_{1})}}{\text{ cos}}(2\pi U_{2})}$

ここでq対数であり、${\displaystyle {\text{ ln}}_{q}}$${\displaystyle q'={{1+q} \over {3-q}}}$

これらの偏差は、任意のqガウス分布 からの偏差を生成するために変換することができる。

${\displaystyle Z'=\mu +{Z \over {\sqrt {\beta (3-q)}}}}$

散逸光格子中の冷たい原子の運動量分布はqガウス分布であることが示されている。^[7]

qガウス分布は、2 つの力の影響を受ける質量の一次元運動の位置の漸近確率密度関数としても得られます。2 つの力は、（無限のポテンシャル井戸を決定する）タイプの決定論的力と確率的ホワイト ノイズ力 で、ここではホワイト ノイズです。過減衰/小質量近似では、最近示されたように、 に対して上記の収束が失敗することに注意してください。 ^[8]${\textstyle F_{1}(x)=-2x/(1-x^{2})}$${\textstyle F_{2}(t)={\sqrt {2(1-q)}}\xi (t)}$${\displaystyle \xi (t)}$${\displaystyle q<0}$

ニューヨーク証券取引所、ナスダックなどの金融収益分布はqガウス分布として解釈されている。^{[9] [10]}

• コンスタンティノ・ツァリス
• ツァリス統計
• ツァリスエントロピー
• ツァリス分布
• q指数分布
• Q-ガウス過程

• Juniper, J. (2007) 「Tsallis分布と一般化エントロピー: 不確実性下での意思決定に関する今後の研究の展望」(PDF)。2011-07-06にオリジナル(PDF)からアーカイブ。2011-06-24に取得。、ニューカッスル大学完全雇用・平等センター、オーストラリア

• Tsallis 統計、非示量系および長距離相互作用の統計力学