位置と運動量空間

物理学と幾何学には、密接に関連した 2 つのベクトル空間があり、通常は3 次元ですが、一般には任意の有限次元です。 位置空間(実空間または座標空間とも呼ばれる) は、ユークリッド空間内のすべての位置ベクトル rの集合であり、長さの次元を持ちます。位置ベクトルは空間内の点を定義します。(点粒子の位置ベクトルが時間とともに変化すると、粒子の軌跡であるパスを描きます。)運動量空間は、物理システムが持つことができるすべての運動量ベクトルpの集合です。粒子の運動ベクトルは、単位が [質量][長さ][時間] ⁻¹であるその運動に対応します。

数学的には、位置と運動量の双対性はポンチャギン双対性の一例です。特に、関数が位置空間で与えられている場合、f ( r )、そのフーリエ変換により運動量空間の関数φ ( p ) が得られます。逆に、運動量空間関数の逆フーリエ変換は位置空間関数です。

これらの量や考え方は古典物理学や量子物理学のすべてを超越しており、物理システムは構成粒子の位置かその運動量のいずれかを使用して記述することができ、どちらの定式化も、検討中のシステムについて同等に同じ情報を提供します。別の量は、波のコンテキストで定義すると便利です。波動ベクトル k (または単に「kベクトル」) は長さの逆数の次元を持ち、時間の逆数の次元を持つ角周波数 ωの類似物になります。すべての波動ベクトルの集合はk 空間です。通常、r はkよりも直感的で単純ですが、固体物理学などではその逆も当てはまります。

量子力学は、位置と運動量の二重性に関する 2 つの基本的な例を提供している。1 つは、位置と運動量を同時に任意の精度で知ることはできないとするハイゼンベルクの不確定性原理 Δ x Δ p ≥ ħ /2 であり、もう 1 つは、自由粒子の運動量と波数ベクトルが互いに比例することを示すド・ブロイ関係p = ħ kである。[ 1 ] [ 2 ]この^文脈では、明確な場合は、「運動量」と「波数ベクトル」という用語は同じ意味で使用されている。ただし、ド・ブロイ関係は結晶では当てはまらない。^[3]

ラグランジュ力学では、ラグランジュL ( q , d q / dt , t ) は配置空間にあり、q = ( q ₁ , q ₂ ,..., q _n ) は一般化座標のn組です。オイラー・ラグランジュの運動方程式は、 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,,\quad {\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {dq_{i}}{dt}}\,.}$$

（1つのオーバードットは1つの時間微分を表す）。各一般化座標に対する正準運動量の定義を導入すると、 オイラー・ラグランジュ方程式は次のようになる。 $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,,}$$$${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,.}$$

ラグランジアンは運動量空間でも表現できる。 ^[4] L ′( p , d p / dt , t )、ここでp = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _n ) は一般化運動量のn組である。一般化座標空間ラグランジアンの 全微分における変数を変更するためにルジャンドル変換が実行される。 ここで、一般化運動量の定義とオイラー・ラグランジュ方程式はLの偏微分に置き換えられている。微分積分則^{[注 1]}により、一般化座標と速度の微分を一般化運動量の微分とその時間微分と交換することができ、 置換後には次のように簡略化され、整理される。 $${\displaystyle dL=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt=\sum _{i=1}^{n}({\dot {p}}_{i}dq_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,,}$$$${\displaystyle {\dot {p}}_{i}dq_{i}=d(q_{i}{\dot {p}}_{i})-q_{i}d{\dot {p}}_{i}}$$ $${\displaystyle p_{i}d{\dot {q}}_{i}=d({\dot {q}}_{i}p_{i})-{\dot {q}}_{i}dp_{i}}$$$${\displaystyle d\left[L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\right]=-\sum _{i=1}^{n}({\dot {q}}_{i}dp_{i}+q_{i}d{\dot {p}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.}$$

さて、運動量空間ラグランジアンL ′ の全微分は、 ラグランジアン、運動量、およびそれらの時間微分を比較することにより、運動量空間ラグランジアンL ′とL ′から導かれる一般化座標はそれぞれ次のようになる。 $${\displaystyle dL'=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}dp_{i}+{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}d{\dot {p}}_{i}\right)+{\frac {\partial L'}{\partial t}}dt}$$$${\displaystyle L'=L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\,,\quad -{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,,\quad -q_{i}={\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}\,.}$$

最後の2つの方程式を組み合わせると、運動量空間のオイラー・ラグランジュ方程式が得られる。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,.}$$

ルジャンドル変換の利点は、新しい関数と古い関数およびその変数の関係がプロセス中に得られることです。方程式の座標形式と運動量形式はどちらも同等であり、システムのダイナミクスに関する同じ情報を含んでいます。この形式は、運動量または角運動量がラグランジアンに入るときに、より役立つ場合があります。

ハミルトン力学では、座標か運動量のどちらか一方だけを使用するラグランジアン力学とは異なり、ハミルトンの運動方程式は座標と運動量を同等に扱います。ハミルトンH ( q , p , t )を持つシステムの場合、方程式は次のようになります。 $${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.}$$

量子力学では、粒子は量子状態によって記述される。この量子状態は基底状態の重ね合わせとして表すことができる。原理的には、基底状態が状態空間に広がる限り、基底状態の集合は自由に選択できる。位置演算子の（一般化）固有関数を基底関数の集合として選択すると、状態は位置空間における波動関数ψ ( r )として表現される。位置rに関するよく知られたシュレーディンガー方程式は、位置表現における量子力学の例である。^[5]

異なる演算子の固有関数を基底関数の集合として選択することで、同じ状態のさまざまな表現に到達できます。運動量演算子の固有関数を基底関数の集合として選択すると、結果として得られる波動関数は運動量空間の波動関数と呼ばれます。^[5]${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$

量子力学の特徴は、位相空間が離散変数、回転子、連続変数の3つのタイプに分けられることです。以下の表は、3種類の位相空間に関係するいくつかの関係をまとめたものです。^[6]

波動関数の運動量表現とド・ブロイ関係は、フーリエ反転定理および周波数領域の概念と密接に関連している。自由粒子は運動量に比例する空間周波数 を持つため、粒子を周波数成分の合計として記述することは、運動量空間における「十分に良い」波動関数のフーリエ変換として記述することと同等である。^[2]${\displaystyle k=|\mathbf {k} |=2\pi /\lambda }$${\displaystyle p=|\mathbf {p} |=\hbar k}$

位置空間ψ ( r )に3 次元の波動関数があるとすると、この関数は直交基底関数ψ _j ( r ) の加重和として記述できます。または、連続の場合は積分として記述できます。関数の集合、たとえば運動量演算子の固有関数の集合を指定すると、関数は ψ ( r )を再 構築するために必要なすべての情報を保持し、したがって状態 の代替記述となること は明らかです。 $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{j}\phi _{j}\psi _{j}(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} }$$${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$${\displaystyle \psi }$

座標表現では、運動量演算子は適切な定義域を持つ^[7] （分母表記については行列計算を参照）で与えられる。固有関数はであり 、固有値はħ k である。したがって 、運動量表現はフーリエ変換による位置表現と関連していることがわかる。^[8]$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}}$$$${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} }$$

逆に、運動量空間における3次元波動関数は、直交基底関数の加重和 、 または積分として表すことができる。 ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$${\displaystyle \phi _{j}(\mathbf {k} )}$$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\sum _{j}\psi _{j}\phi _{j}(\mathbf {k} ),}$$$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .}$$

運動量表現では、位置演算子は 、固有関数 と固有値rとともに^[9] で与えられます。したがって、この演算子の固有関数に関して同様の分解を行うことができ、これは逆フーリエ変換であることがわかります。^[8]$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}=i{\frac {\partial }{\partial \mathbf {k} }}}$$$${\displaystyle \phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\right)^{3}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$ $${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .}$$

位置演算子と運動量演算子はユニタリ同値であり、ユニタリ演算子はフーリエ変換、つまり振動子ハミルトニアンによって生成される位相空間の 1/4 サイクル回転によって明示的に与えられます。したがって、それらは同じスペクトルを持ちます。物理的な言葉で言えば、運動量空間の波動関数に作用するp は、位置空間の波動関数に作用するrと同じです(フーリエ変換の イメージの下で)。

結晶内の電子（または他の粒子）の場合、 kの値はほとんどの場合、通常の運動量ではなく結晶運動量に関連します。したがって、 kとp は単純に比例するのではなく、異なる役割を果たします。例については、k·p 摂動法を参照してください。結晶運動量は、波が 1 つの単位セルから次の単位セルまでどのように変化するかを説明する波のエンベロープのようなものですが、波が各単位セル内でどのように変化するかについては何も情報を提供しません 。

k が真の運動量ではなく結晶の運動量に関係する場合、 k空間の概念は依然として意味があり、非常に有用ですが、上で説明した非結晶k空間とはいくつかの点で異なります。たとえば、結晶のk空間には、逆格子と呼ばれる点の無限の集合があり、これはk = 0に「相当」します (これはエイリアシングに類似しています)。同様に、「第 1 ブリルアン ゾーン」はk空間の有限の体積であり、あらゆる可能なkはこの領域内の 1 つの点に「相当」します。

• 位相空間
• 逆格子空間
• 構成スペース
• 分数フーリエ変換

• Ballentine, Leslie E (1998).量子力学. WORLD SCIENTIFIC. doi :10.1142/3142. ISBN 978-981-02-2707-4。
• アイスバーグ、R.; レスニック、R. (1985)。原子、分子、固体、核、粒子の量子物理学(第 2 版)。ジョン ワイリー アンド サンズ。ISBN 978-0-471-87373-0。
• Hall, BC (2013).数学者のための量子理論. 数学の大学院テキスト. 第267巻. Springer.書誌コード:2013qtm..book.....H. ISBN 978-1461471158。