非心カイ二乗分布

非心カイ二乗

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle k>0\,}$自由度 ${\displaystyle \lambda >0\,}$非中心パラメータ
サポート	${\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle 1-Q_{\frac {k}{2}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\right)}$Marcum Q関数付き ${\displaystyle Q_{M}(a,b)}$
平均	${\displaystyle k+\lambda \,}$
分散	${\displaystyle 2(k+2\lambda )\,}$
歪度	${\displaystyle {\frac {2^{3/2}(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{3/2}}}}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {12(k+4\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}}$
MGF の	${\displaystyle {\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}}\right)}{(1-2t)^{k/2}}}{\text{ }}2t<1 の場合}$
CF	${\displaystyle {\frac {\exp \left({\frac {i\lambda t}{1-2it}}\right)}{(1-2it)^{k/2}}}}$

確率論と統計学において、非心カイ二乗分布（または非心カイ二乗分布、非心分布${\displaystyle \chi^{2}}$）は、カイ二乗分布の非心一般化である。これは、帰無分布が（おそらく漸近的に）カイ二乗分布である統計検定の検出力分析でよく使用され、そのような検定の重要な例としては尤度比検定がある。^[1]

をk個の独立した、平均と単位分散を持つ正規分布するランダム変数とする。ランダム変数 ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i},\ldots ,X_{k})}$ ${\displaystyle \mu_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}}$

は非心カイ二乗分布に従って分布します。この分布には 2 つのパラメータがあります。は自由度の数(つまり の数) を指定し、はランダム変数の平均と次の式で関連しています。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}^{2}.}$

${\displaystyle \lambda}$は非心パラメータと呼ばれることもあります。参考文献によっては、上記の合計の半分やその平方根など、他の方法で定義されることに注意してください。 ${\displaystyle \lambda}$

この分布は、多変量統計において、多変量正規分布の導関数として現れます。中心カイ二乗分布は分布を持つランダムベクトルの二乗ノルム（つまり、原点からその分布からランダムに選ばれた点までの距離の二乗）ですが、非心カイ二乗分布は分布を持つランダムベクトルの二乗ノルムです。ここでは長さkのゼロベクトルであり、はサイズkの単位行列です。 ${\displaystyle N(0_{k},I_{k})}$${\displaystyle \chi^{2}}$${\displaystyle N(\mu,I_{k})}$${\displaystyle 0_{k}}$${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\ldots ,\mu _{k})}$${\displaystyle I_{k}}$

確率密度関数（pdf）は次のように与えられる。

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{i}}{i!}}f_{Y_{k+2i}}(x),}$

ここで、自由度 に応じてカイ二乗分布します。${\displaystyle Y_{q}}$${\displaystyle q}$

この表現から、非心カイ二乗分布は、心カイ二乗分布のポアソン重み付き混合であることがわかります。ランダム変数J が平均 のポアソン分布を持ち、J  =  iが与えられた場合のZの条件付き分布が自由度k  + 2 iのカイ二乗であるとします。この場合、Zの無条件分布は自由度kの非心カイ二乗で、非心パラメータです。 ${\displaystyle \lambda /2}$${\displaystyle \lambda}$

あるいは、pdfは次のように記述することもできます。

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )={\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})}$

ここで、第一種 修正ベッセル関数は次のように表される。${\displaystyle I_{\nu }(y)}$

${\displaystyle I_{\nu }(y)=(y/2)^{\nu }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(y^{2}/4)^{ j}}{j!\ガンマ (\nu +j+1)}}.}$

ベッセル関数と超幾何関数の関係を用いると、pdfは次のようにも書ける: ^[2]

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )={{\rm {e}}^{-\lambda /2}}_{0}F_{1}(;k/2;\lambda x/4){\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}{\rm {e}}^{-x/2}x^{k/2-1}.}$

k  = 0（自由度ゼロ）の場合、分布はゼロで離散成分を持ちますが、これはTorgersen（1972）によって議論され、さらにSiegel（1979）によっても議論されています。

確率密度関数の導出は、次の手順を実行すると最も簡単に行えます。

1. は単位分散を持つため、それらの結合分布は、位置シフトを除いて球対称です。${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$
2. 球面対称性は、 の分布が長さの二乗を通じてのみ平均に依存することを意味します。したがって、一般性を失うことなく、および を取ることができます。${\displaystyle X=X_{1}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}}$${\displaystyle \lambda =\mu _{1}^{2}+\cdots +\mu _{k}^{2}}$${\displaystyle \mu_{1}={\sqrt {\lambda }}}$${\displaystyle \mu _{2}=\cdots =\mu _{k}=0}$
3. ここで、 （k = 1の場合）の密度を導出する 。ランダム変数の単純な変換により、${\displaystyle X=X_{1}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x,1,\lambda )&={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\left(\phi ({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+\phi ({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{-(x+\lambda )/2}\cosh({\sqrt {\lambda x}}),\end{aligned}}}$

ここで、標準正規密度です。${\displaystyle \phi (\cdot )}$

1. テイラー級数のcosh項を展開します。これにより、 k = 1の場合の密度のポアソン重み付き混合表現が得られます。この場合 、上記の級数のカイ2乗ランダム変数のインデックスは1 + 2 iです。
2. 最後に、一般的なケースについて。一般性を失うことなく、 が標準正規分布であると仮定し、したがって に依存しない、自由度 ( k  − 1)の中心カイ二乗分布を持ちます。 のポアソン重み付き混合表現と、カイ二乗ランダム変数の合計もカイ二乗であるという事実を使用すると、結果が完成します。 級数のインデックスは、必要に応じて (1 + 2 i ) + ( k  − 1) =  k  + 2 iです。${\displaystyle X_{2},\ldots ,X_{k}}$${\displaystyle X_{2}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}}$${\displaystyle X_{1}^{2}}$${\displaystyle X_{1}^{2}}$

モーメント生成関数は次のように与えられる。

${\displaystyle M(t;k,\lambda )={\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}}\right)}{(1-2t)^{k/2}}}.}$

最初の生々しい瞬間は次のとおりです。

${\displaystyle \mu '_{1}=k+\lambda }$

${\displaystyle \mu '_{2}=(k+\lambda )^{2}+2(k+2\lambda )}$

${\displaystyle \mu '_{3}=(k+\lambda )^{3}+6(k+\lambda )(k+2\lambda )+8(k+3\lambda )}$

${\displaystyle \mu '_{4}=(k+\lambda )^{4}+12(k+\lambda )^{2}(k+2\lambda )+4(11k^{2}+44k\lambda +36\lambda ^{2})+48(k+4\lambda ).}$

最初のいくつかの中心的な瞬間は次のとおりです。

${\displaystyle \mu _{2}=2(k+2\lambda )\,}$

${\displaystyle \mu _{3}=8(k+3\lambda )\,}$

${\displaystyle \mu _{4}=12(k+2\lambda )^{2}+48(k+4\lambda )\,}$

n番目の キュムラントは

${\displaystyle \kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda ).\,}$

したがって

${\displaystyle \mu '_{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda )+\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {(n-1)!2^{j-1}}{(n-j)!}}(k+j\lambda )\mu '_{n-j}.}$

中心カイ二乗分布と非中心カイ二乗分布の関係を再び用いると、累積分布関数（cdf）は次のように表される。

${\displaystyle P(x;k,\lambda )=e^{-\lambda /2}\;\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}Q(x;k+2j)}$

ここで、kの自由度を持つ中心カイ2乗分布の累積分布関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle Q(x;k)\,}$

${\displaystyle Q(x;k)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,}$

そして、 は下側の不完全ガンマ関数です。${\displaystyle \gamma (k,z)\,}$

Marcum Q関数 もcdfを表すために使用できます。^[3]${\displaystyle Q_{M}(a,b)}$

${\displaystyle P(x;k,\lambda )=1-Q_{\frac {k}{2}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\right)}$

自由度kが正の奇数のとき、相補累積分布関数の閉じた表現は^{[4]で与えられる。}

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x;2n+1,\lambda )&=1-Q_{n+1/2}({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}})\\&=1-\left[Q({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+Q({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})+e^{-(x+\lambda )/2}\sum _{m=1}^{n}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{m/2-1/4}I_{m-1/2}({\sqrt {\lambda x}})\right],\end{aligned}}}$

ここで、nは非負の整数、Qはガウス Q 関数、Iは半整数次数の第一種修正ベッセル関数です。半整数次数の第一種修正ベッセル関数自体は、双曲関数の有限和として表すことができます。

特にk = 1の場合、

${\displaystyle P(x;1,\lambda )=1-\left[Q({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+Q({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})\right].}$

また、k = 3の場合、

${\displaystyle P(x;3,\lambda )=1-\left[Q({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+Q({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})+{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh({\sqrt {\lambda x}})}{\sqrt {\lambda }}}e^{-(x+\lambda )/2}\right].}$

アブデル・アティ^[5]は（「最初の近似」として）非中心ウィルソン・ヒルファティ変換を導出している。

${\displaystyle \left({\frac {\chi '^{2}}{k+\lambda }}\right)^{\frac {1}{3}}}$はほぼ正規分布しており、すなわち、 ${\displaystyle \sim {\mathcal {N}}\left(1-{\frac {2}{9f}},{\frac {2}{9f}}\right),}$

${\displaystyle P(x;k,\lambda )\approx \Phi \left\{{\frac {\left({\frac {x}{k+\lambda }}\right)^{1/3}-\left(1-{\frac {2}{9f}}\right)}{\sqrt {\frac {2}{9f}}}}\right\},{\text{where }}\ f:={\frac {(k+\lambda )^{2}}{k+2\lambda }}=k+{\frac {\lambda ^{2}}{k+2\lambda }},}$

これは非常に正確で、非心性によく適応しています。また、（中心）カイ2乗の場合、は になります。 ${\displaystyle f=f(k,\lambda )}$${\displaystyle f=k}$${\displaystyle \lambda =0}$

サンカラン^[6]は累積分布関数のいくつかの閉形式の 近似について議論している。以前の論文^[7]では、彼は次の近似を導出し、述べている。

${\displaystyle P(x;k,\lambda )\approx \Phi \left\{{\frac {({\frac {x}{k+\lambda }})^{h}-(1+hp(h-1-0.5(2-h)mp))}{h{\sqrt {2p}}(1+0.5mp)}}\right\}}$

どこ

${\displaystyle \Phi \lbrace \cdot \rbrace \,}$標準正規分布の累積分布関数を表します。

${\displaystyle h=1-{\frac {2}{3}}{\frac {(k+\lambda )(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}\,;}$

${\displaystyle p={\frac {k+2\lambda }{(k+\lambda )^{2}}};}$

${\displaystyle m=(h-1)(1-3h)\,.}$

これと他の近似値については後の教科書で議論されている。^[8]

最近では、奇数の自由度を持つ非心カイ二乗分布のCDFを正確に計算できるため、偶数の自由度のCDFは、Marcum-Q関数の単調性と対数凹性を利用して次のように近似できる。

${\displaystyle P(x;2n,\lambda )\approx {\frac {1}{2}}\left[P(x;2n-1,\lambda )+P(x;2n+1,\lambda )\right].}$

上限としても機能する別の近似値は次のように与えられる。

${\displaystyle P(x;2n,\lambda )\approx 1-\left[(1-P(x;2n-1,\lambda ))(1-P(x;2n+1,\lambda ))\right]^{1/2}.}$

与えられた確率に対して、これらの式を簡単に逆転させて の対応する近似値を求め、近似分位数を計算できます。 ${\displaystyle x}$

• がカイ二乗分布に従う場合、も非心カイ二乗分布に従います。${\displaystyle V}$${\displaystyle V\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)}$
• 独立した非心カイ二乗変数の線形結合は、一般化カイ二乗分布です。${\displaystyle \xi =\sum _{i}\lambda _{i}Y_{i}+c,\quad Y_{i}\sim \chi '^{2}(m_{i},\delta _{i}^{2})}$
• およびが独立である場合、非心F分布変数は次のように展開される。${\displaystyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda )}$${\displaystyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(0)}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle {\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}\sim F'_{k_{1},k_{2}}(\lambda )}$
• もし、${\displaystyle J\sim \mathrm {Poisson} \left({{\frac {1}{2}}\lambda }\right)}$${\displaystyle \chi _{k+2J}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )}$
• の場合、パラメータ を持つライス分布をとります。${\displaystyle V\sim {\chi '}_{2}^{2}(\lambda )}$${\displaystyle {\sqrt {V}}}$${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$
• 正規近似: ^[9]ならば、分布ではまたはとなる。${\displaystyle V\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )}$${\displaystyle {\frac {V-(k+\lambda )}{\sqrt {2(k+2\lambda )}}}\to N(0,1)}$${\displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle \lambda \to \infty }$
• およびが独立である場合、となります。${\displaystyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda _{1})}$${\displaystyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(\lambda _{2})}$${\displaystyle V_{1},V_{2}}$${\displaystyle W=(V_{1}+V_{2})\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda _{1}+\lambda _{2})}$${\displaystyle k=k_{1}+k_{2}}$
• 一般に、 の有限集合に対して、これらの非心カイ二乗分布のランダム変数の合計は、の分布を持ちます。これは、次のようにモーメント生成関数を使用して確認できます。ランダム変数の独立性によって。残っているのは、非心カイ二乗分布の MGF を積に代入して新しい MGF を計算することですが、これは演習として残しておきます。あるいは、上記の背景セクションの解釈を介して、分散が 1 で平均が指定された独立した正規分布ランダム変数の平方和として見ることができます。${\displaystyle V_{i}\sim {\chi '}_{k_{i}}^{2}(\lambda _{i}),i\in \left\{1..N\right\}}$${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}V_{i}}$${\displaystyle Y\sim {\chi '}_{k_{y}}^{2}(\lambda _{y})}$${\displaystyle k_{y}=\sum _{i=1}^{N}k_{i},\lambda _{y}=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}}$${\displaystyle M_{Y}(t)=M_{\sum _{i=1}^{N}V_{i}}(t)=\prod _{i=1}^{N}M_{V_{i}}(t)}$${\displaystyle V_{i}}$
• 複素非心カイ二乗分布は、無線通信やレーダー システムに応用されています。^[要出典]を、非心円対称性、平均、単位分散を持つ独立したスカラー複素ランダム変数とします。この場合、実ランダム変数は、複素非心カイ二乗分布に従って分布します。これは、実質的には、自由度が 2 倍、非心パラメータが 2 倍のスケール (1/2) された非心です。${\displaystyle (z_{1},\ldots ,z_{k})}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle \operatorname {E} \left|z_{i}-\mu _{i}\right|^{2}=1}$${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{k}\left|z_{i}\right|^{2}}$${\displaystyle {\chi '}^{2}}$

${\displaystyle f_{S}(S)=\left({\frac {S}{\lambda }}\right)^{(k-1)/2}e^{-(S+\lambda )}I_{k-1}(2{\sqrt {S\lambda }})}$

どこ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\left|\mu _{i}\right|^{2}.}$

Sankaran (1963) は、形式 の変換について論じています 。彼は、 のキュムラントの項までの展開を分析し、 の次の選択が合理的な結果を生み出すことを示しています。 ${\displaystyle z=[(X-b)/(k+\lambda )]^{1/2}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle O((k+\lambda )^{-4})}$${\displaystyle b}$

• ${\displaystyle b=(k-1)/2}$の2番目のキュムラントは、${\displaystyle z}$${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle b=(k-1)/3}$の3番目のキュムラントは、${\displaystyle z}$${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle b=(k-1)/4}$の4番目のキュムラントは、${\displaystyle z}$${\displaystyle \lambda }$

また、より単純な変換は、平均と分散 を持つランダム変数を生成する分散安定化変換として使用できます。 ${\displaystyle z_{1}=(X-(k-1)/2)^{1/2}}$${\displaystyle (\lambda +(k-1)/2)^{1/2}}$${\displaystyle O((k+\lambda )^{-2})}$

これらの変換の有用性は、負の数の平方根を取る必要があることによって妨げられる可能性があります。

両側正規回帰 許容区間は、非心カイ二乗分布に基づいて得ることができる。^[10]これにより、ある信頼水準で、サンプル集団の指定された割合が含まれる統計区間を計算することができる。

• Abramowitz, M. および Stegun, IA (1972)、「数学関数ハンドブック」、ドーバー。
• Johnson, NL, Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995)、連続一変量分布、第 2 巻 (第 2 版)、Wiley。ISBN 0-471-58494-0 
• ミュアヘッド、R. ( 2005)多変量統計理論の側面（第2版）。ワイリー。ISBN 0-471-76985-1 
• Torgersen, EN (1972)、「線形モデルに関する補足ノート」、プレプリントシリーズ: 統計メモ、オスロ大学数学部、http://urn.nb.no/URN:NBN:no-58681
• シーゲル、AF（1979）、「自由度ゼロの非心カイ二乗分布と均一性のテスト」、バイオメトリカ、66、381-386
• Press, SJ (1966)、「非中心カイ二乗変量の線形結合」、数理統計年報、37 (2): 480–487、doi : 10.1214/aoms/1177699531、JSTOR  2238621