カッツ＝ベルンシュタインの定理

カッツ・ベルンシュタインの定理は、数理統計学における最も古く、最もよく知られた特徴付け定理の一つです。この定理は、2つの独立な確率変数の和と差が独立であることは、正規分布（ガウス分布）の特徴であると述べています。この定理は、ポーランド系アメリカ人の数学者マーク・カッツ^{[ 1 ]}とソ連の数学者セルゲイ・ベルンシュタイン^{[ 2 ]}によってそれぞれ独立に証明されました。

させて${\displaystyle \xi }$そして${\displaystyle \eta }$は独立な確率変数である。${\displaystyle \xi +\eta }$そして${\displaystyle \xi -\eta }$独立している場合、${\displaystyle \xi }$そして${\displaystyle \eta }$正規分布（ガウス分布）に従う。

カッツ・ベルンシュタインの定理の一般化はダルモワ・スキトビッチの定理であり、正規分布は2つの線形形式の独立性によって特徴付けられる。${\displaystyle n}$独立した確率変数。

カッツ・ベルンシュタインの定理を局所コンパクトアーベル群に一般化することに特化した最初の研究は、AL Rukhin ^{[ 3 ]}および H. Heyer と Ch. Rall ^{[ 4 ]}によるものである。これらの研究では、次の問題が研究された。${\displaystyle X}$を局所的にコンパクトなアーベル群とし、${\displaystyle \xi }$そして${\displaystyle \eta }$は、値をとる独立な確率変数である。${\displaystyle X}$分布付き${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$どのグループ向けですか？${\displaystyle X}$独立性${\displaystyle \xi +\eta }$そして${\displaystyle \xi -\eta }$暗示する${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$ガウス分布と冪等分布の畳み込みは、ガウス分布と冪等分布の畳み込みでしょうか ？いくつかの十分条件は^{[ 3 ]}と^{[ 4 ]}で確立されました。最終的な結果はGM Feldmanによって得られ、彼は次の定理を証明しました。

定理^{[ 5 ]}；^{[ 6 ]}も参照。${\displaystyle X}$を第２の可算局所コンパクトアーベル群とする。${\displaystyle \xi }$そして${\displaystyle \eta }$は、値をとる独立な確率変数である。${\displaystyle X}$分布付き${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$すると、${\displaystyle \xi +\eta }$そして${\displaystyle \xi -\eta }$意味するところは${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$ガウス分布と冪等分布の畳み込みであるのは、群の零点の連結成分が${\displaystyle X}$2次の要素は含まれていません。