裾の重い分布

分布関数Fを持つ確率変数Xの分布は、すべてのt > 0に対してXのモーメント母関数M _X ( t ) が無限大である場合、重い (右) 裾を持つと言われます。^{[ 3 ]}  

つまり

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)=\infty \quad {\mbox{すべての }}t>0 に対して}$^{[ 4 ]}

これは裾分布関数の観点からも記述される。

${\displaystyle {\overline {F}}(x)\equiv \Pr[X>x]\,}$

として

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }e^{tx}{\overline {F}}(x)=\infty \quad {\mbox{すべての }}t>0 に対して。}$

分布関数Fを持つ確率変数Xの分布は、すべてのt > 0に対して、長い右裾を持つと言われます^{[ 1 ] 。}  

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\Pr[X>x+t\mid X>x]=1,\,}$

または同等に

${\displaystyle {\overline {F}}(x+t)\sim {\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .\,}$

これは、右裾が長く裾野の広い分布量について直感的に解釈すると、その分布量が何らかの高い水準を超えた場合、他のより高い水準を超える確率は1に近づくということになる。

裾の長い分布はすべて裾が重い分布であるが、その逆は成り立たず、裾が重い分布であっても裾が長い分布ではないものを構築することは可能である。

このセクションでは、裾の重い分布における準指数分布の概念について説明します。裾の軽い準ガウス分布においては、準指数分布はこれとはほぼ正反対の定義となります。

準指数性は確率分布の畳み込みによって定義される。2つの独立で同一の分布を持つ確率変数の場合${\displaystyle X_{1},X_{2}}$共通の分布関数を持つ${\displaystyle F}$畳み込み${\displaystyle F}$それ自体で書かれた${\displaystyle F^{*2}}$畳み込み正方形と呼ばれるものは、ルベーグ・スティルチェス積分を用いて次のように定義される。

${\displaystyle \Pr[X_{1}+X_{2}\leq x]=F^{*2}(x)=\int _{0}^{x}F(xy)\,dF(y),}$

そしてn重畳み込み${\displaystyle F^{*n}}$は、次の規則によって帰納的に定義される。

${\displaystyle F^{*n}(x)=\int _{0}^{x}F(xy)\,dF^{*n-1}(y).}$

裾分布関数${\displaystyle {\overline {F}}}$は次のように定義される。$\displaystyle {\overline {F}}(x)=1-F(x)}$。

分布${\displaystyle F}$正の半直線上では、指数関数以下である^{[ 1 ] [ 5 ] [ 2 ]}

${\displaystyle {\overline {F^{*2}}}(x)\sim 2{\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .}$

これ^は、^任意の${\displaystyle n\geq 1}$、

${\displaystyle {\overline {F^{*n}}}(x)\sim n{\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .}$

この確率論的解釈^{[ 6 ]は、}${\displaystyle n}$独立な確率変数${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$一般的な分布${\displaystyle F}$、

${\displaystyle \Pr[X_{1}+\cdots +X_{n}>x]\sim \Pr[\max(X_{1},\ldots ,X_{n})>x]\quad {\text{as }}x\to \infty .}$

これはしばしば、単一の大きな飛躍の原理^{[ 7 ]}または大惨事の原理^{[ 8 ]として知られています。}

分布${\displaystyle F}$全体的に実数直線は、分布が ${\displaystyle FI([0,\infty ))}$です。^{[ 9 ]}ここで${\displaystyle I([0,\infty ))}$ は正の半直線の指示関数です。あるいは、確率変数${\displaystyle X}$実数直線上にサポートされているのは、以下の場合に限り、指数関数以下である。${\displaystyle X^{+}=\max(0,X)}$指数関数に劣る。

すべての準指数分布は裾が長いが、準指数分布ではない裾の長い分布の例も構築することができる。

と${\displaystyle (X_{n},n\geq 1)}$独立で同じ密度関数のランダムなシーケンス${\displaystyle F\in D(H(\xi ))}$ 一般化極値密度の最大吸引領域^{[ 14 ]}${\displaystyle H}$、 どこ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$。 もし${\displaystyle \lim _{n\to \infty }k(n)=\infty }$そして ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {k(n)}{n}}=0}$すると、ピカンズのテールインデックス推定値は^{[ 6 ] [ 14 ]となる。}

${\displaystyle \xi _{(k(n),n)}^{\text{Pickands}}={\frac {1}{\ln 2}}\ln \left({\frac {X_{(n-k(n)+1,n)}-X_{(n-2k(n)+1,n)}}{X_{(n-2k(n)+1,n)}-X_{(n-4k(n)+1,n)}}}\right),}$

どこ${\displaystyle X_{(n-k(n)+1,n)}=\max \left(X_{n-k(n)+1},\ldots ,X_{n}\right)}$この推定量は確率収束して${\displaystyle \xi }$。

させて${\displaystyle (X_{t},t\geq 1)}$分布関数を持つ独立同分布の確率変数の列である。${\displaystyle F\in D(H(\xi ))}$一般化極値分布の最大吸引領域${\displaystyle H}$、 どこ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$サンプルパスは${\displaystyle {X_{t}:1\leq t\leq n}}$どこ${\displaystyle n}$はサンプルサイズです。 ${\displaystyle \{k(n)\}}$は中間順序のシーケンスです。${\displaystyle k(n)\in \{1,\ldots ,n-1\},}$、${\displaystyle k(n)\to \infty }$そして ${\displaystyle k(n)/n\to 0}$すると、ヒルのテールインデックス推定量は^{[ 15 ]となる。}

${\displaystyle \xi _{(k(n),n)}^{\text{Hill}}=\left({\frac {1}{k(n)}}\sum _{i=n-k(n)+1}^{n}\ln(X_{(i,n)})-\ln(X_{(n-k(n)+1,n)})\right)^{-1},}$

どこ${\displaystyle X_{(i,n)}}$は${\displaystyle i}$の次統計量${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$この推定量は確率収束して${\displaystyle \xi }$、漸近的に正規分布に従う。${\displaystyle k(n)\to \infty }$高次の正則変動特性に基づいて制限される^{[ 16 ]} 。^{[ 17 ]}一貫性と漸近正規性は、依存的で異質なシーケンスの大きなクラスに拡張される^{[ 18 ] [ 19 ]。}${\displaystyle X_{t}}$観測された、または、誤った指定のモデルや誤差が依存するモデルを含む、多数のモデルおよび推定量からの計算された残差またはフィルタリングされたデータです。^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}ピックアンドとヒルのテールインデックス推定量はどちらも、順序統計量の対数を使用することに注意してください。^{[ 23 ]}

テールインデックスの比率推定量（RE推定量）は、GoldieとSmithによって導入されました。[ 24 ^]これは Hillの推定量と同様に構築されますが、非ランダムな「調整パラメータ」を使用します。

Hill型推定量とRE型推定量の比較については、Novak ^{[ 13 ]を参照されたい。}

• aest は、 Wayback Machineに 2020-11-25 にアーカイブされました。ヘビーテール指数を推定するためのCツール。 ^{[ 25 ]}