確率分布
折り畳み 正規分布は、 正規分布 に関連する 確率分布 です。 平均 μ と 分散 σ 2 を持つ 正規分布のランダム変数 X を考えると、 ランダム変数 Y = | X | は折り畳み正規分布を持ちます。このようなケースは、ある変数の大きさだけが記録され、その符号が記録されていない場合に発生する可能性があります。この分布は、 x = 0の左側の確率質量が 絶対値を 取ることで折り返されるため、「折り畳み」と呼ばれます。 熱伝導 の物理学では、折り畳み正規分布は半空間上の 熱方程式 の基本解であり、原点を通る 超平面 上に完全な絶縁体があることに対応します 。
定義
密度 確率密度関数 （ PDF）は次のように与えられる。
ふ
はい
（ x ; μ 、
σ
2
） =
1
2 π
σ
2
e
−
（ x − μ
）
2
2
σ
2
+
1
2 π
σ
2
e
−
（ x + μ
）
2
2
σ
2
{\displaystyle f_{Y}(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{-{\frac {(x+\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}
x ≥ 0 の場合には0 となり 、それ以外の場合には 0 となる。別の定式化は次のように表される。
ふ
（ x ）
=
2
π
σ
2
e
−
（
x
2
+
μ
2
）
2
σ
2
コッシュ
（
μ x
σ
2
）
{\displaystyle f\left(x\right)={\sqrt {\frac {2}{\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {\left(x^{2}+\mu ^{2}\right)}{2\sigma ^{2}}}}\cosh {\left({\frac {\mu x}{\sigma ^{2}}}\right)}}
、 ここで、cosh は 双曲余弦関数 です。したがって、 累積分布関数 (CDF) は次のように表されます。
ふ
はい
（ x ; μ 、
σ
2
） =
1 2
[
エルフ
（
x + μ
2
σ
2
）
+
エルフ
（
x − μ
2
σ
2
）
]
{\displaystyle F_{Y}(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{2}}\left[{\mbox{erf}}\left({\frac {x+\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)+{\mbox{erf}}\left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right]}
x ≥ 0の場合 、erf() は 誤差関数です。この式は、 μ = 0のとき、 半正規分布 の CDF になります 。
折り畳まれた分布の平均は
μ
はい
= σ
2 π
経験
（
−
μ
2
2
σ
2
）
+ μ
エルフ
（
μ
2
σ
2
）
{\displaystyle \mu _{Y}=\sigma {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\,\exp \left({\frac {-\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)+\mu \,{\mbox{erf}}\left({\frac {\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)}
または
μ
はい
=
2 π
σ
e
−
μ
2
2
σ
2
+ μ
[
1 − 2 Φ
（
−
μ σ
）
]
{\displaystyle \mu _{Y}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sigma e^{-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+\mu \left[1-2\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}\right)\right]}
ここで 正規累積分布関数は次 のようになります 。
Φ
{\displaystyle \Phi}
Φ （ x ） =
1 2
[
1 + エルフ
（
x
2
）
]
。
{\displaystyle \Phi (x)\;=\;{\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right].}
分散は平均を使って簡単に表現できます。
σ
はい
2
=
μ
2
+
σ
2
−
μ
はい
2
。
{\displaystyle \sigma _{Y}^{2}=\mu ^{2}+\sigma ^{2}-\mu _{Y}^{2}.}
元の正規分布における X の平均 ( μ ) と分散 ( σ 2 )は、どちらも 折り畳まれた分布における
Yの位置とスケールのパラメータとして解釈できます。
プロパティ
モード 分布のモードは、 密度が最大になる の値です。この値を見つけるには、 について密度の 1 次導関数を取り 、それをゼロに設定します。残念ながら、閉じた形式はありません。ただし、導関数をより適切な方法で記述して、非線形方程式にすることができます。
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
d ふ （ x ）
d x
= 0 ⇒ −
（
x − μ
）
σ
2
e
−
1 2
（
x − μ
）
2
σ
2
−
（
x + μ
）
σ
2
e
−
1 2
（
x + μ
）
2
σ
2
= 0
{\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}=0\Rightarrow -{\frac {\left(x-\mu \right)}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}-{\frac {\left(x+\mu \right)}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}=0}
x
[
e
−
1 2
（
x − μ
）
2
σ
2
+
e
−
1 2
（
x + μ
）
2
σ
2
]
− μ
[
e
−
1 2
（
x − μ
）
2
σ
2
−
e
−
1 2
（
x + μ
）
2
σ
2
]
= 0
{\displaystyle x\left[e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}\right]-\mu \left[e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}-e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}\right]=0}
x
(
1
+
e
−
2
μ
x
σ
2
)
−
μ
(
1
−
e
−
2
μ
x
σ
2
)
=
0
{\displaystyle x\left(1+e^{-{\frac {2\mu x}{\sigma ^{2}}}}\right)-\mu \left(1-e^{-{\frac {2\mu x}{\sigma ^{2}}}}\right)=0}
(
μ
+
x
)
e
−
2
μ
x
σ
2
=
μ
−
x
{\displaystyle \left(\mu +x\right)e^{-{\frac {2\mu x}{\sigma ^{2}}}}=\mu -x}
x
=
−
σ
2
2
μ
log
μ
−
x
μ
+
x
{\displaystyle x=-{\frac {\sigma ^{2}}{2\mu }}\log {\frac {\mu -x}{\mu +x}}}
。
Tsagris ら (2014) は数値的調査から、 のとき 、 のときに最大値に達し 、 が より大きくなると 、最大値が に近づくことを明らかにしまし た。この場合、折り畳み正規分布は正規分布に収束するため、これは当然予想されることです。負の分散による問題を回避するには、パラメータの累乗を提案します。あるいは、制約を追加することもできます。たとえば、最適化プログラムが負の分散を目指す場合、対数尤度の値は NA または非常に小さい値になります。
μ
<
σ
{\displaystyle \mu <\sigma }
x
=
0
{\displaystyle x=0}
μ
{\displaystyle \mu }
3
σ
{\displaystyle 3\sigma }
μ
{\displaystyle \mu }
φ
x
(
t
)
=
e
−
σ
2
t
2
2
+
i
μ
t
Φ
(
μ
σ
+
i
σ
t
)
+
e
−
σ
2
t
2
2
−
i
μ
t
Φ
(
−
μ
σ
+
i
σ
t
)
{\displaystyle \varphi _{x}\left(t\right)=e^{{\frac {-\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+i\mu t}\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}+i\sigma t\right)+e^{-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-i\mu t}\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}+i\sigma t\right)}
。
M
x
(
t
)
=
φ
x
(
−
i
t
)
=
e
σ
2
t
2
2
+
μ
t
Φ
(
μ
σ
+
σ
t
)
+
e
σ
2
t
2
2
−
μ
t
Φ
(
−
μ
σ
+
σ
t
)
{\displaystyle M_{x}\left(t\right)=\varphi _{x}\left(-it\right)=e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+\mu t}\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)+e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-\mu t}\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)}
。
K
x
(
t
)
=
log
M
x
(
t
)
=
(
σ
2
t
2
2
+
μ
t
)
+
log
{
1
−
Φ
(
−
μ
σ
−
σ
t
)
+
e
σ
2
t
2
2
−
μ
t
[
1
−
Φ
(
μ
σ
−
σ
t
)
]
}
{\displaystyle K_{x}\left(t\right)=\log {M_{x}\left(t\right)}=\left({\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+\mu t\right)+\log {\left\lbrace 1-\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}-\sigma t\right)+e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-\mu t}\left[1-\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}-\sigma t\right)\right]\right\rbrace }}
。
E
(
e
−
t
x
)
=
e
σ
2
t
2
2
−
μ
t
[
1
−
Φ
(
−
μ
σ
+
σ
t
)
]
+
e
σ
2
t
2
2
+
μ
t
[
1
−
Φ
(
μ
σ
+
σ
t
)
]
{\displaystyle E\left(e^{-tx}\right)=e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-\mu t}\left[1-\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)\right]+e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+\mu t}\left[1-\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)\right]}
。
f
^
(
t
)
=
φ
x
(
−
2
π
t
)
=
e
−
4
π
2
σ
2
t
2
2
−
i
2
π
μ
t
[
1
−
Φ
(
−
μ
σ
−
i
2
π
σ
t
)
]
+
e
−
4
π
2
σ
2
t
2
2
+
i
2
π
μ
t
[
1
−
Φ
(
μ
σ
−
i
2
π
σ
t
)
]
{\displaystyle {\hat {f}}\left(t\right)=\varphi _{x}\left(-2\pi t\right)=e^{{\frac {-4\pi ^{2}\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-i2\pi \mu t}\left[1-\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}-i2\pi \sigma t\right)\right]+e^{-{\frac {4\pi ^{2}\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+i2\pi \mu t}\left[1-\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}-i2\pi \sigma t\right)\right]}
。
μ = 0 のとき、 Y の分布は 半正規分布 になります 。 ランダム変数 ( Y / σ ) 2 は、 自由度が 1 で非心度が( μ / σ ) 2 に等しい 非心カイ二乗分布 に従います 。 折り畳み正規分布は、自由度が無限大になるにつれて、 折り畳み非標準化 t 分布 の限界として見ることもできます。 Psarakis と Panaretos (2001) によって開発された二変量バージョンと、Chakraborty と Chatterjee (2013) によって開発された多変量バージョンがあります。 ライス分布は、 折り畳み 正規分布の多変量一般化です。 上のpdfを持つ 修正半正規分布 [1] は として与えられ 、ここで は フォックス・ライトのプサイ関数 を表します 。
(
0
,
∞
)
{\displaystyle (0,\infty )}
f
(
x
)
=
2
β
α
2
x
α
−
1
exp
(
−
β
x
2
+
γ
x
)
Ψ
(
α
2
,
γ
β
)
{\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}
Ψ
(
α
,
z
)
=
1
Ψ
1
(
(
α
,
1
2
)
(
1
,
0
)
;
z
)
{\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}
統計的推論
パラメータの推定 折り畳み正規分布のパラメータを推定する方法はいくつかあります。それらはすべて本質的には最大尤度推定手順ですが、場合によっては数値最大化が実行され、他の場合には方程式の根が検索されます。サンプル サイズ が利用可能な場合の折り畳み正規分布の対数尤度は、次のように記述できます。
x
i
{\displaystyle x_{i}}
n
{\displaystyle n}
l
=
−
n
2
log
2
π
σ
2
+
∑
i
=
1
n
log
[
e
−
(
x
i
−
μ
)
2
2
σ
2
+
e
−
(
x
i
+
μ
)
2
2
σ
2
]
{\displaystyle l=-{\frac {n}{2}}\log {2\pi \sigma ^{2}}+\sum _{i=1}^{n}\log {\left[e^{-{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {\left(x_{i}+\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right]}}
l
=
−
n
2
log
2
π
σ
2
+
∑
i
=
1
n
log
[
e
−
(
x
i
−
μ
)
2
2
σ
2
(
1
+
e
−
(
x
i
+
μ
)
2
2
σ
2
e
(
x
i
−
μ
)
2
2
σ
2
)
]
{\displaystyle l=-{\frac {n}{2}}\log {2\pi \sigma ^{2}}+\sum _{i=1}^{n}\log {\left[e^{-{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\left(1+e^{-{\frac {\left(x_{i}+\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}e^{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\right]}}
l
=
−
n
2
log
2
π
σ
2
−
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
μ
)
2
2
σ
2
+
∑
i
=
1
n
log
(
1
+
e
−
2
μ
x
i
σ
2
)
{\displaystyle l=-{\frac {n}{2}}\log {2\pi \sigma ^{2}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}+\sum _{i=1}^{n}\log {\left(1+e^{-{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}\right)}}
R (プログラミング言語)
では 、パッケージ Rfast を 使用すると、MLE を非常に高速に取得できます (コマンド foldnorm.mle)。あるいは、コマンド optim または nlm を使用して、この分布を近似します。2 つのパラメーター ( および ) が関係するため、最大化は簡単です。 は実数列に属しているため、 の正の値と負の値の両方が 許容されることに注意してください 。したがって、分布はそれに対して対称であるため、符号は重要ではありません。次のコードは R で記述されています。
μ
{\displaystyle \mu }
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
μ
{\displaystyle \mu }
μ
{\displaystyle \mu }
折り畳まれた <- 関数 ( y ) { ## y は正のデータを持つベクトルです n <- length ( y ) ## サンプルサイズ sy2 <- sum ( y ^ 2 ) sam <- function ( para , n , sy2 ) { me <- para [ 1 ] ; se <- exp ( para [ 2 ] ) f <- - n / 2 * log ( 2 / pi / se ) + n * me ^ 2 / 2 / se + sy2 / 2 / se - sum ( log ( cosh ( me * y / se ) ) f } mod <- optim ( c ( mean ( y ), sd ( y ) ), n = n , sy2 = sy2 , sam , control = list ( maxit = 2000 ) ) mod <- optim ( mod $ par , sam , n = n , sy2 = sy2 , control = list ( maxit = 20000 ) ) result <- c ( - mod $ value , mod $ par [ 1 ], exp ( mod $ par [ 2 ]) ) names ( 結果 ) <- c ( "log-likelihood" , "mu" , "sigma squared" ) 結果 } 対数尤度の偏微分は次のように表される。
∂
l
∂
μ
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
μ
)
σ
2
−
2
σ
2
∑
i
=
1
n
x
i
e
−
2
μ
x
i
σ
2
1
+
e
−
2
μ
x
i
σ
2
{\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial \mu }}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)}{\sigma ^{2}}}-{\frac {2}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}e^{\frac {-2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}{1+e^{\frac {-2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}}
∂
l
∂
μ
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
μ
)
σ
2
−
2
σ
2
∑
i
=
1
n
x
i
1
+
e
2
μ
x
i
σ
2
and
{\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial \mu }}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)}{\sigma ^{2}}}-{\frac {2}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}\ \ {\text{and}}}
∂
l
∂
σ
2
=
−
n
2
σ
2
+
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
μ
)
2
2
σ
4
+
2
μ
σ
4
∑
i
=
1
n
x
i
e
−
2
μ
x
i
σ
2
1
+
e
−
2
μ
x
i
σ
2
{\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial \sigma ^{2}}}=-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{4}}}+{\frac {2\mu }{\sigma ^{4}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}e^{-{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}{1+e^{-{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}}}
∂
l
∂
σ
2
=
−
n
2
σ
2
+
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
μ
)
2
2
σ
4
+
2
μ
σ
4
∑
i
=
1
n
x
i
1
+
e
2
μ
x
i
σ
2
{\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial \sigma ^{2}}}=-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{4}}}+{\frac {2\mu }{\sigma ^{4}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}}
。
対数尤度の第1偏微分をゼロに等しくすると、良い関係が得られる。
∑
i
=
1
n
x
i
1
+
e
2
μ
x
i
σ
2
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
μ
)
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)}{2}}}
。
上記の式には3つの解があり、1つはゼロで、もう2つは反対の符号であることに注意してください。上記の式を、対数尤度の偏微分に代入し 、それをゼロに等しくすると、分散の次の式が得られます
。
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
σ
2
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
μ
)
2
n
+
2
μ
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
μ
)
n
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
2
−
μ
2
)
n
=
∑
i
=
1
n
x
i
2
n
−
μ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{n}}+{\frac {2\mu \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)}{n}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}^{2}-\mu ^{2}\right)}{n}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{n}}-\mu ^{2}}
、
これは正規分布 と同じ式です 。ここでの主な違いは、 と が 統計的に独立ではないことです。上記の関係は、効率的な再帰的な方法で最大尤度推定値を得るために使用できます。 の初期値から始めて 、最後の式の正の根 ( ) を見つけます。次に、 の更新された値を取得します 。この手順は、対数尤度値の変化が無視できるまで繰り返されます。別の簡単で効率的な方法は、検索アルゴリズムを実行することです。最後の式をよりエレガントな方法で書きましょう。
μ
{\displaystyle \mu }
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
μ
{\displaystyle \mu }
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
2
∑
i
=
1
n
x
i
1
+
e
2
μ
x
i
σ
2
−
∑
i
=
1
n
x
i
(
1
+
e
2
μ
x
i
σ
2
)
1
+
e
2
μ
x
i
σ
2
+
n
μ
=
0
{\displaystyle 2\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}\left(1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}\right)}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}+n\mu =0}
∑
i
=
1
n
x
i
(
1
−
e
2
μ
x
i
σ
2
)
1
+
e
2
μ
x
i
σ
2
+
n
μ
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}\left(1-e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}\right)}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}+n\mu =0}
。
2 つのパラメータに関する対数尤度の最適化が、関数の根探索に変わったことは明らかです。これはもちろん、前の根探索と同じです。Tsagris ら (2014) は、 のこの方程式に 3 つの根があること、つまり、 この方程式を満たす の 可能な値が 3 つあることを発見しました。 および は 最大尤度推定値であり、0 は最小対数尤度に対応します。
μ
{\displaystyle \mu }
μ
{\displaystyle \mu }
−
μ
{\displaystyle -\mu }
+
μ
{\displaystyle +\mu }
参照 折り畳み累積分布 半正規分布 上のpdfを持つ 修正半正規分布 [1] は として与えられ 、ここで は フォックス・ライトのプサイ関数 を表します 。
(
0
,
∞
)
{\displaystyle (0,\infty )}
f
(
x
)
=
2
β
α
2
x
α
−
1
exp
(
−
β
x
2
+
γ
x
)
Ψ
(
α
2
,
γ
β
)
{\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}
Ψ
(
α
,
z
)
=
1
Ψ
1
(
(
α
,
1
2
)
(
1
,
0
)
;
z
)
{\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}
切断正規分布
参考文献
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Tsagris, M.; Beneki, C.; Hassani, H. (2014). 「折り畳み正規分布について」. 数学 . 2 (1): 12–28. arXiv : 1402.3559 . doi : 10.3390/math2010012 . Leone FC、Nottingham RB、 Nelson LS (1961)。「折り畳み正規分布」。Technometrics。3 ( 4 ) : 543–550。doi : 10.2307/1266560。hdl : 2027/ mdp.39015095248541。JSTOR 1266560 。 Johnson NL (1962). 「折り畳み正規分布: 最大尤度法による推定の精度」. Technometrics . 4 (2): 249–256. doi :10.2307/1266622. JSTOR 1266622. ネルソン LS (1980). 「折り畳み正規分布」 J Qual Technol . 12 (4): 236–238. doi :10.1080/00224065.1980.11980971. hdl : 2027/mdp.39015095248541 . Elandt RC (1961)。 「 折り畳み正規分布: モーメントからパラメータを推定する 2 つの方法」 。Technometrics。3 ( 4 ): 551–562。doi :10.2307/1266561。JSTOR 1266561。 Lin PC (2005). 「一般化折り返し正規分布の工程能力測定への応用」 Int J Adv Manuf Technol . 26 (7–8): 825–830. doi :10.1007/s00170-003-2043-x. S2CID 123589207. Psarakis, S.; Panaretos, J. (1990). 「折り畳みt分布」. 統計におけるコミュニケーション - 理論と方法 . 19 (7): 2717–2734. doi :10.1080/03610929008830342. S2CID 121332770. Psarakis, S.; Panaretos, J. (2001). 「折り畳み正規分布と折り畳みt分布のいくつかの二変量拡張について」 応用統計科学ジャーナル . 10 (2): 119–136. Chakraborty, AK; Chatterjee, M. (2013). 「多変量折り返し正規分布について」. Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series B. 75 ( 1): 1–15. JSTOR 42003783.
外部リンク
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[{\mbox{erf}}\left({\frac {x+\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)+{\mbox{erf}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad88ca4e426758e5b8472945b7562acc5db7d03b)
![{\displaystyle F_{Y}(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{2}}\left[{\mbox{erf}}\left({\frac {x+\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)+{\mbox{erf}}\left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf74023157cbecf10c9340dd9a0bfe09e3f4f1b)
![{\displaystyle \mu _{Y}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sigma e^{-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+\mu \left[1-2\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd5bfcd3dc54605d03817a06f63bebc3a87ca556)
![{\displaystyle \Phi (x)\;=\;{\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d4a69ed96ae507f5766a6d5b8a23da4eeec1109)
![{\displaystyle x\left[e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}\right]-\mu \left[e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}-e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f19ceec33ed5147ed745256c7244c5cb468364)
![{\displaystyle K_{x}\left(t\right)=\log {M_{x}\left(t\right)}=\left({\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+\mu t\right)+\log {\left\lbrace 1-\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}-\sigma t\right)+e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-\mu t}\left[1-\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}-\sigma t\right)\right]\right\rbrace }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18260983046f5c9d546d518542872acee9d90678)
![{\displaystyle E\left(e^{-tx}\right)=e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-\mu t}\left[1-\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)\right]+e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+\mu t}\left[1-\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf88b418505cfad95c727604e731d1801bfa53d)
![{\displaystyle {\hat {f}}\left(t\right)=\varphi _{x}\left(-2\pi t\right)=e^{{\frac {-4\pi ^{2}\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-i2\pi \mu t}\left[1-\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}-i2\pi \sigma t\right)\right]+e^{-{\frac {4\pi ^{2}\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+i2\pi \mu t}\left[1-\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}-i2\pi \sigma t\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301baa300d00800f827cc1fb35fd4d8924802c9b)
![{\displaystyle l=-{\frac {n}{2}}\log {2\pi \sigma ^{2}}+\sum _{i=1}^{n}\log {\left[e^{-{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {\left(x_{i}+\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38356615fcbbd3459fa6208500c4f7510f58abc3)
![{\displaystyle l=-{\frac {n}{2}}\log {2\pi \sigma ^{2}}+\sum _{i=1}^{n}\log {\left[e^{-{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\left(1+e^{-{\frac {\left(x_{i}+\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}e^{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73ea6fa7d9c0d187340912c1cb8aeb4f5ac8676)
