Complex normal distribution

In probability theory, the family of complex normal distributions, denoted ${\mathcal {CN}}$ or $\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}}$ , characterizes complex random variables whose real and imaginary parts are jointly normal.^[1] The complex normal family has three parameters: location parameter μ, covariance matrix $\Gamma$ , and the relation matrix $C$ . The standard complex normal is the univariate distribution with $\mu =0$ , $\Gamma =1$ , and $C=0$ .

An important subclass of complex normal family is called the circularly-symmetric (central) complex normal and corresponds to the case of zero relation matrix and zero mean: $\mu =0$ and $C=0$ .^[2] This case is used extensively in signal processing, where it is sometimes referred to as just complex normal in the literature.

Definitions

Complex standard normal random variable

The standard complex normal random variable or standard complex Gaussian random variable is a complex random variable $Z$ whose real and imaginary parts are independent normally distributed random variables with mean zero and variance $1/2$ .^[3]^{:p. 494}^[4]^{:pp. 501} Formally,

where $\perp \!\!\!\perp$ denotes independence and $Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)$ denotes that $Z$ is a standard complex normal random variable.

Complex normal random variable

Suppose $X$ and $Y$ are real random variables such that $(X,Y)^{\mathrm {T} }$ is a 2-dimensional normal random vector. Then the complex random variable $Z=X+iY$ is called complex normal random variable or complex Gaussian random variable.^[3]^{:p. 500}

Complex standard normal random vector

A n-dimensional complex random vector $\mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }$ is a complex standard normal random vector or complex standard Gaussian random vector if its components are independent and all of them are standard complex normal random variables as defined above.^[3]^{:p. 502}^[4]^{:pp. 501} That $\mathbf {Z}$ is a standard complex normal random vector is denoted $\mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})$ .

Complex normal random vector

If $\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }}$ and $\mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }$ are random vectors in $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ such that $[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$ is a normal random vector with $2n$ コンポーネント。次に、複素ランダムベクトルは

\mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,

は複素正規ランダムベクトルまたは複素ガウスランダムベクトルです。

平均、共分散、および関係

複雑なガウス分布は、3つのパラメータで記述できます。^{[ 5 ]}

\mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],

どこ $\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }}$ 行列の転置を表す $\mathbf {Z}$ 、そして $\mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }$ 共役転置を表す。^{[ 3 ]}^{： p.504}^{[ 4 ]}^{： pp.500}

ここで位置パラメータ $\mu$ はn次元複素ベクトルであり、共分散行列は $\Gamma$ はエルミート行列かつ非負定値行列であり、関係行列または擬似共分散行列は $C$ 対称である。複素正規ランダムベクトル $\mathbf {Z}$ は次のように表すことができます。 $\mathbf {Z} \ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\ \Gamma ,\ C).$ さらに、行列 $\Gamma$ そして $C$ 行列が

P={\overline {\Gamma }}-{C}^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}C

また、非負定値である。 ${\overline {\Gamma }}$ は、の複素共役を表します。 $\Gamma$ [ ⁵^]

共分散行列間の関係

任意の複雑なランダムベクトルと同様に、行列は $\Gamma$ そして $C$ 共分散行列と関連付けることができる $\mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )$ そして $\mathbf {Y} =\Im (\mathbf {Z} )$ 式を介して

{\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}

そして逆に

{\begin{aligned}&\Gamma =V_{XX}+V_{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{aligned}}

密度関数

複素正規分布の確率密度関数は次のように計算できます。

{\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{bmatrix}}^{\mathrm {H} }{\begin{bmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{bmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{bmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{bmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}

どこ $R=C^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}$ そして $P={\overline {\Gamma }}-RC$ 。

特性関数

複素正規分布の特性関数は^{[ 5 ]で与えられる。}

\varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},

議論が $w$ これはn次元の複素ベクトルです。

不動産

もし $\mathbf {Z}$ は複素正規nベクトルであり、 ${\boldsymbol {A}}$ m ×n行列、 $b$ 定数mベクトル、次に線形変換 ${\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b$ 複素正規分布も適用されます。

Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })

もし $\mathbf {Z}$ は複素正規nベクトルである。

2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)

中心極限定理。 $Z_{1},\ldots ,Z_{T}$ は独立かつ同一の分布を持つ複素確率変数であり、

{\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),

どこ

\Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]

そして

C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]

。

複素正規確率変数の絶対値はホイト分布に従う。^{[ 6 ]}

円対称の中央ケース

意味

複雑なランダムベクトル $\mathbf {Z}$ は、すべての決定論的 $\varphi \in [-\pi ,\pi )$ の分布 $e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z}$ 分布に等しい $\mathbf {Z}$ [ ⁴^]^{： 500}^～^501ページ

円対称な中心正規複素ランダムベクトルは、共分散行列によって完全に指定されるため、特に興味深い。 $\Gamma$ 。

円対称（中心）複素正規分布は、平均がゼロで関係行列がゼロの場合に対応します。 $\mu =0$ そして $C=0$ [ ³^]^:^{p. 507}^[⁷^]これは通常^、

\mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma )

実部と虚部の分配

もし $\mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y}$ が円対称（中心）複素法線である場合、ベクトルは $[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$ 共分散構造を持つ多変量正規分布

{\begin{pmatrix}\mathbf {X} \\\mathbf {Y} \end{pmatrix}}\ \sim \ {\mathcal {N}}{\Big (}{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},\ {\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\Gamma &-\operatorname {Im} \,\Gamma \\\operatorname {Im} \,\Gamma &\operatorname {Re} \,\Gamma \end{bmatrix}}{\Big )}

どこ $\Gamma =\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }]$ 。

確率密度関数

非特異共分散行列の場合 $\Gamma$ 、その分布は次のように単純化することもできます^{[ 3 ]}^{： p.508}

f_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )={\tfrac {1}{\pi ^{n}\det(\Gamma )}}\,e^{-(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )}

。

したがって、平均がゼロでない場合 $\mu$ 共分散行列 $\Gamma$ が不明な場合、単一の観測ベクトルに適した対数尤度関数 $z$ だろう

\ln(L(\mu ,\Gamma ))=-\ln(\det(\Gamma ))-{\overline {(z-\mu )}}'\Gamma ^{-1}(z-\mu )-n\ln(\pi ).

標準複素正規分布（式1で定義）は、以下のスカラー確率変数の分布に対応する。 $\mu =0$ 、 $C=0$ そして $\Gamma =1$ したがって、標準複素正規分布の密度は

f_{Z}(z)={\tfrac {1}{\pi }}e^{-{\overline {z}}z}={\tfrac {1}{\pi }}e^{-|z|^{2}}.

不動産

上記の表現は、なぜこのケースなのかを示しています $C=0$ 、 $\mu =0$ これは「円対称」と呼ばれます。密度関数は、 $z$ しかし、その議論には基づいていない。したがって、大きさは $|z|$ 標準複素正規確率変数のレイリー分布と二乗の大きさは $|z|^{2}$ は指数分布に従うが、引数は一様分布に従う。 $[-\pi ,\pi ]$ 。

もし $\left\{\mathbf {Z} _{1},\ldots ,\mathbf {Z} _{k}\right\}$ は独立同分布のn次元円形複素正規乱数ベクトルであり、 $\mu =0$ するとランダムな二乗ノルム

Q=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} _{j}=\sum _{j=1}^{k}\|\mathbf {Z} _{j}\|^{2}

一般化カイ二乗分布とランダム行列を持つ

W=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }

複雑なウィシャート分布を持ち、 $k$ 自由度。この分布は密度関数で記述できます。

f(w)={\frac {\det(\Gamma ^{-1})^{k}\det(w)^{k-n}}{\pi ^{n(n-1)/2}\prod _{j=1}^{k}(k-j)!}}\ e^{-\operatorname {tr} (\Gamma ^{-1}w)}

どこ $k\geq n$ 、そして $w$ は $n\times n$ 非負定値行列。

参考文献

↑ Goodman, NR (1963). "Statistical analysis based on a certain multivariate complex Gaussian distribution (an introduction)" . The Annals of Mathematical Statistics . 34 (1): 152– 177. doi : 10.1214/aoms/1177704250 . JSTOR 2991290 .
↑書籍の章、Gallager.R、9ページ。
1 2 3 4 5 6 Lapidoth, A. (2009).デジタルコミュニケーションの基礎. Cambridge University Press. ISBN 9780521193955。
1 2 3 4 Tse, David (2005).ワイヤレス通信の基礎. Cambridge University Press. ISBN 9781139444668。
1 2 3 Picinbono, Bernard (1996). "2次複素ランダムベクトルと正規分布" . IEEE Transactions on Signal Processing . 44 (10): 2637– 2640. Bibcode : 1996ITSP...44.2637P . doi : 10.1109/78.539051 .
↑ Daniel Wollschlaeger. "The Hoyt Distribution (Documentation for R package 'shotGroups' version 0.6.2)" .
↑書籍の章、Gallager.R

[1] Goodman, NR (1963). "Statistical analysis based on a certain multivariate complex Gaussian distribution (an introduction)" . The Annals of Mathematical Statistics . 34 (1): 152– 177. doi : 10.1214/aoms/1177704250 . JSTOR 2991290 .

[2] 書籍の章、Gallager.R、9ページ。

[Lapidoth-3] 1 2 3 4 5 6 Lapidoth, A. (2009).デジタルコミュニケーションの基礎. Cambridge University Press. ISBN 9780521193955。

[TseViswanath-4] 1 2 3 4 Tse, David (2005).ワイヤレス通信の基礎. Cambridge University Press. ISBN 9781139444668。

[picinbono-5] 1 2 3 Picinbono, Bernard (1996). "2次複素ランダムベクトルと正規分布" . IEEE Transactions on Signal Processing . 44 (10): 2637– 2640. Bibcode : 1996ITSP...44.2637P . doi : 10.1109/78.539051 .

[6] Daniel Wollschlaeger. "The Hoyt Distribution (Documentation for R package 'shotGroups' version 0.6.2)" .

[7] 書籍の章、Gallager.R

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