一般化正規分布

一般化正規分布( GND ) または一般化ガウス分布( GGD ) は、実数直線上のパラメトリック 連続確率分布の 2 つのファミリーのうちの 1 つです。どちらのファミリーも、正規分布に形状パラメータを追加します。2 つのファミリーを区別するために、以下では「対称」および「非対称」と呼びますが、これは標準的な命名法ではありません。

対称一般化正規分布

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \mu \,}$ 位置(実数)スケール(正、実数)形状(正、実数) ${\displaystyle \alpha \,}$ ${\displaystyle \beta \,}$
サポート	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\beta }{2\alpha \Gamma (1/\beta )}}\;e^{-(|x-\mu |/\alpha )^{\beta }}}$ ${\displaystyle \Gamma}$ガンマ関数を表す
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\text{sign}}(x-\mu ){\frac {1}{2\Gamma (1/\beta )}}\gamma \left(1/\beta ,\left|{\frac {x-\mu }{\alpha }}\right|^{\beta }\right)}$ ここで、は形状パラメータ、はスケールパラメータ、は正規化されていない不完全下側ガンマ関数です。${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \gamma}$
クォンタイル	${\displaystyle {\text{sign}}(p-0.5)\left[\alpha ^{\beta }F^{-1}\left(2|p-0.5|;{\frac {1}{\beta }}\right)\right]^{1/\beta }+\mu }$ ここでガンマ分布の分位関数は[1]である。${\displaystyle F^{-1}\left(p;a\right)}$
平均	${\displaystyle \mu \,}$
中央値	${\displaystyle \mu \,}$
モード	${\displaystyle \mu \,}$
分散	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}\Gamma (3/\beta )}{\Gamma (1/\beta )}}}$
歪度	0
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {\Gamma (5/\beta )\Gamma (1/\beta )}{\Gamma (3/\beta )^{2}}}-3}$
エントロピ	${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}-\log \left[{\frac {\beta }{2\alpha \Gamma (1/\beta )}}\right]}$[2]

対称一般化正規分布は、指数べき分布または一般化誤差分布とも呼ばれ、対称分布のパラメトリック ファミリです。すべての正規分布とラプラス分布が含まれ、極限ケースとして、実数直線の制限された区間上のすべての連続一様分布が含まれます。

この分布族には、（平均、分散）のときの正規分布が含まれ、のときのラプラス分布が含まれます。 のとき、密度は上の均一な密度に点ごとに収束します。 ${\displaystyle \textstyle \beta =2}$${\displaystyle \textstyle \mu }$${\displaystyle \textstyle {\frac {\alpha ^{2}}{2}}}$${\displaystyle \textstyle \beta =1}$${\displaystyle \textstyle \beta \rightarrow \infty }$${\displaystyle \textstyle (\mu -\alpha ,\mu +\alpha )}$

このファミリーは、通常よりも重い ( の場合) または通常よりも軽い ( の場合)裾を許容します。これは、正規密度 ( ) から均一密度 ( ) にわたる対称な扁平密度の連続体、およびラプラス密度 ( )から正規密度 ( ) にわたる対称な急尖密度の連続体をパラメーター化する便利な方法です。形状パラメーターは、裾に加えて 尖り具合も制御します。${\displaystyle \beta <2}$${\displaystyle \beta >2}$${\displaystyle \textstyle \beta =2}$${\displaystyle \textstyle \beta =\infty }$${\displaystyle \textstyle \beta =1}$${\displaystyle \textstyle \beta =2}$${\displaystyle \beta}$

最大尤度法とモーメント法によるパラメータ推定が研究されている。^[3] 推定値は閉じた形式を持たず、数値的に求める必要がある。数値計算を必要としない推定量も提案されている。^[4]

一般化正規対数尤度関数は、が正の偶数整数の場合にのみ、無限個の連続導関数を持ちます（つまり、滑らかな関数のクラス C ^∞に属します）。それ以外の場合、関数は連続導関数を持ちます。結果として、の最大尤度推定値の一貫性と漸近正規性に関する標準的な結果は、 の場合にのみ適用されます。 ${\displaystyle \textstyle \beta }$${\displaystyle \textstyle \lfloor \beta \rfloor }$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \textstyle \beta \geq 2}$

近似最大尤度法を採用して一般化正規分布を近似することが可能である。^{[5] [6]}最初にサンプル第1モーメント に設定され、 の初期推定値から始めて、ニュートン・ラプソン反復法を使用して推定される。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle \textstyle \beta }$${\displaystyle \textstyle \beta =\textstyle \beta _{0}}$

${\displaystyle \beta _{0}={\frac {m_{1}}{\sqrt {m_{2}}}},}$

どこ

${\displaystyle m_{1}={1 \over N}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}|,}$

は絶対値の最初の統計モーメントであり、は2番目の統計モーメントである。反復は ${\displaystyle m_{2}}$

${\displaystyle \beta _{i+1}=\beta _{i}-{\frac {g(\beta _{i})}{g'(\beta _{i})}},}$

どこ

${\displaystyle g(\beta )=1+{\frac {\psi (1/\beta )}{\beta }}-{\frac {\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\log |x_{i}-\mu |}{\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}}+{\frac {\log({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta })}{\beta }},}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}g'(\beta )={}&-{\frac {\psi (1/\beta )}{\beta ^{2}}}-{\frac {\psi '(1/\beta )}{\beta ^{3}}}+{\frac {1}{\beta ^{2}}}-{\frac {\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }(\log |x_{i}-\mu |)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}}\\[6pt]&{}+{\frac {\left(\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\log |x_{i}-\mu |\right)^{2}}{\left(\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\right)^{2}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\log |x_{i}-\mu |}{\beta \sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}}\\[6pt]&{}-{\frac {\log \left({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\right)}{\beta ^{2}}},\end{aligned}}}$

ここで、 および は、ディガンマ関数とトリガンマ関数です。 ${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi '}$

の値が与えられている場合、次の最小値を見つけることで 推定することができます。${\displaystyle \textstyle \beta }$${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle \min_{\mu}=\sum_{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta} }}$

最終的に次のように評価されます ${\displaystyle \textstyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\left({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\right)^{1/\beta }.}$

については、中央値が のより適切な推定値です。 が推定されると、 は上記のように推定できます。^[7]${\displaystyle \beta \leq 1}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

対称一般化正規分布は、平均値の周りの値の集中と裾の挙動が特に興味深い場合のモデリングに使用されています。^{[8] [9]} 正規性からの他の偏差に焦点を当てる場合は、他の分布族を使用できます。分布の対称性が主な関心事である場合は、以下で説明する歪んだ正規族または一般化正規族の非対称バージョンを使用できます。裾の挙動が主な関心事である場合は、自由度が無限大に増加するにつれて正規分布に近似するスチューデントt族を使用できます。t分布は、この一般化正規分布とは異なり、原点で尖端を獲得することなく、通常の裾よりも重くなります。これは、逆制動放射線から生じるラングドン分布という名前でプラズマ物理学で使用されています。^[10]

を平均ゼロの一般化ガウス分布、形状、スケーリングパラメータとする。 のモーメントは、 kが−1より大きい場合、存在し、有限である。任意の非負整数kに対して、平板中心モーメントは^{[2]である。}${\displaystyle X_{\beta }}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle X_{\beta }}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{\beta }^{k}\right]={\begin{cases}0&{\text{if }}k{\text{ is odd,}}\\\alpha ^{k}\Gamma \left({\frac {k+1}{\beta }}\right){\Big /}\,\Gamma \left({\frac {1}{\beta }}\right)&{\text{if }}k{\text{ is even.}}\end{cases}}}$

安定カウント分布の観点から、はレヴィの安定パラメータとみなすことができます。この分布は、カーネルがラプラス分布またはガウス分布のいずれかであるカーネル密度の積分に分解できます。 ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\beta }}+1)}}e^{-z^{\beta }}={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-|z|/\nu }\right){\mathfrak {N}}_{\beta }(\nu )\,d\nu ,&1\geq \beta >0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}(z/s)^{2}}\right)V_{\beta }(s)\,ds,&2\geq \beta >0;\end{cases}}}$

ここでは安定したカウント分布、 は安定したボリューム分布 です。 ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\beta }(\nu )}$${\displaystyle V_{\beta }(s)}$

対称一般化正規分布の確率密度関数は、正定値関数 で ある。^{[11] [12]}${\displaystyle \beta \in (0,2]}$

対称一般化ガウス分布は、次の条件を満たす場合にのみ無限に割り切れる分布である。^[13]${\displaystyle \beta \in (0,1]\cup \{2\}}$

多変量一般化正規分布、すなわち同じパラメータとパラメータを持つ指数べき分布の積は、形式で表すことができ、独立した周辺分布を持つ唯一の確率密度である。^[14]多変量正規分布の特殊なケースの結果は、もともとマクスウェルに帰せられる。^[15]${\displaystyle n}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle p(\mathbf {x} )=g(\|\mathbf {x} \|_{\beta })}$

非対称一般化正規分布

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \xi \,}$ 位置（実数）スケール（正、実数）形状（実数） ${\displaystyle \alpha \,}$ ${\displaystyle \kappa \,}$
サポート	${\displaystyle x\in (-\infty ,\xi +\alpha /\kappa ){\text{ if }}\kappa >0}$ ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty ){\text{ if }}\kappa =0}$ ${\displaystyle x\in (\xi +\alpha /\kappa ,+\infty ){\text{ if }}\kappa <0}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\phi (y)}{\alpha -\kappa (x-\xi )}}}$、標準正規分布のPDFは ${\displaystyle y={\begin{cases}-{\frac {1}{\kappa }}\log \left[1-{\frac {\kappa (x-\xi )}{\alpha }}\right]&{\text{if }}\kappa \neq 0\\{\frac {x-\xi }{\alpha }}&{\text{if }}\kappa =0\end{cases}}}$ ${\displaystyle \phi }$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle \Phi (y)}$、ここで標準正規CDFは ${\displaystyle y={\begin{cases}-{\frac {1}{\kappa }}\log \left[1-{\frac {\kappa (x-\xi )}{\alpha }}\right]&{\text{if }}\kappa \neq 0\\{\frac {x-\xi }{\alpha }}&{\text{if }}\kappa =0\end{cases}}}$ ${\displaystyle \Phi }$
平均	${\displaystyle \xi -{\frac {\alpha }{\kappa }}\left(e^{\kappa ^{2}/2}-1\right)}$
中央値	${\displaystyle \xi \,}$
分散	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}}{\kappa ^{2}}}e^{\kappa ^{2}}\left(e^{\kappa ^{2}}-1\right)}$
歪度	${\displaystyle {\frac {3e^{\kappa ^{2}}-e^{3\kappa ^{2}}-2}{(e^{\kappa ^{2}}-1)^{3/2}}}{\text{ sign}}(\kappa )}$
過剰尖度	${\displaystyle e^{4\kappa ^{2}}+2e^{3\kappa ^{2}}+3e^{2\kappa ^{2}}-6}$

非対称一般化正規分布は、形状パラメータを使用して非対称性または歪度を導入できる連続確率分布の族です。^{[16] [17]} 形状パラメータがゼロの場合、正規分布になります。形状パラメータの値が正の場合は、右に拘束された左に歪んだ分布になり、形状パラメータの値が負の場合は、左に拘束された右に歪んだ分布になります。形状パラメータがゼロの場合にのみ、この分布の密度関数は実数線全体にわたって正になります。この場合、分布は正規分布であり、それ以外の場合は分布はシフトしており、逆の対数正規分布である可能性があります。

パラメータは、最尤推定法またはモーメント法によって推定できます。パラメータ推定値は閉じた形式ではないため、推定値を計算するには数値計算を使用する必要があります。サンプル空間 (密度がゼロでない実数の集合) はパラメータの真の値に依存するため、このファミリを使用する場合、パラメータ推定値のパフォーマンスに関するいくつかの標準的な結果は自動的には適用されません。

非対称の一般化正規分布は、正規分布する可能性のある値、または正規分布に対して右または左に偏っている可能性のある値をモデル化するために使用できます。歪んだ正規分布は、歪んだために正規性から逸脱した値をモデル化するために役立つもう 1 つの分布です。歪んだデータをモデル化するために使用される他の分布には、ガンマ分布、対数正規分布、およびワイブル分布がありますが、これらには正規分布が特別なケースとして含まれていません。

カルバック・ライブラー・ダイバージェンス（KLD）は、2つの確率密度関数間のダイバージェンスまたは類似性を計算するために使用される手法である。^[18]

と、 制約条件付きでパラメータとを持つ2つの一般化ガウス分布があるとします。^[19] この発散は次のように表されます。 ${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle \alpha _{1},\beta _{1},\mu _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2},\beta _{2},\mu _{2}}$${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}$

${\displaystyle KLD_{pdf}(P(x)||Q(x))=-{\frac {1}{\beta _{1}}}+{\frac {({\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}}})^{\beta _{2}}\Gamma ({\frac {1+\beta _{2}}{\beta _{1}}})}{\Gamma ({\frac {1}{\beta _{1}}})}}+\log \left({\frac {\alpha _{2}\Gamma (1+{\frac {1}{\beta _{2}}})}{\alpha _{1}\Gamma (1+{\frac {1}{\beta _{1}}})}}\right)}$

ここで説明する 2 つの一般化正規分布族は、歪んだ正規分布族と同様に、形状パラメータを追加することで正規分布を拡張するパラメトリック分布族です。確率と統計において正規分布が中心的な役割を果たすため、多くの分布は正規分布との関係で特徴付けることができます。たとえば、対数正規分布、折り畳み正規分布、逆正規分布は、正規分布する値の変換として定義されますが、一般化正規分布族や歪んだ正規分布族とは異な​​り、これらには正規分布が特別なケースとして含まれません。

実際、有限分散を持つすべての分布は、極限では正規分布と非常に関連しています。スチューデント t 分布、アーウィン ホール分布、ベイツ分布も正規分布を拡張し、極限では正規分布を含みます。したがって、たとえばスチューデント t と正規化された拡張アーウィン ホールの組み合わせよりも、タイプ 1 の「一般化された」正規分布を優先する強い理由はありません。これには、たとえば三角分布 (一般化されたガウス タイプ 1 ではモデル化できない) が含まれます。

尾部（長いものと短いもの）と中心の動作（平坦、三角形、ガウスなど）の両方を完全に独立してモデル化できる対称分布は、たとえばX  = IH/chi を 使用して導出できます 。

Tukey の g 分布と h 分布では、歪度と太い裾の両方を通じて、正規分布からの逸脱も許容されます<ref>The Tukey g-and-h Distribution Yuan Yan、Marc G. Genton Significance、第 16 巻、第 3 号、2019 年 6 月、12 ～ 13 ページ、https://doi.org/10.1111/j.1740-9713.2019.01273.x、https://academic.oup.com/jrssig/article/16/3/12/7037766?login=false<ref>。

• 複素正規分布
• 歪んだ正規分布