一貫性のある推定量

統計学において、一致推定量または漸近一致推定量とは、_{パラメータ}θ₀の推定値を計算する規則である推定_量のことで、使用するデータ点の数を無限に増やしても、得られる推定値の系列が確率的にθ₀に収束するという性質を持つものです。これは、推定値の分布が推定対象のパラメータの真の値にますます集中し、推定量がθ₀に任意に近づく確率が₁に収束することを意味します。

実際には、利用可能なサンプルサイズnの関数として推定量を構築し、その後、データを収集し続け、サンプルを無限に拡大できることを想定する。このようにして、 nでインデックス付けされた推定値の列が得られ、一貫性はサンプルサイズが「無限に大きくなる」ときに発生する性質である。推定値の列が確率的に真の値θ ₀に収束することが数学的に示せる場合、それは一貫性のある推定量と呼ばれ、そうでない場合は、推定量は一貫性がないと言われる。

ここで定義される一貫性は、弱い一貫性と呼ばれることもあります。確率収束をほぼ確実な収束に置き換えると、推定量は強い一貫性を持つと言われます。一貫性はバイアスと関連しています。バイアスと一貫性の違いについては、関連資料を参照してください。

形式的には、パラメータθの推定量T _{n は、}確率的にパラメータの真の値に収束する場合、弱一致性を持つと言われます。 ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\operatorname {plim} }}\;T_{n}=\theta .}$

すなわち、すべてのε > 0に対して

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr {\big (}|T_{n}-\theta |>\varepsilon {\big )}=0.}$

パラメータθの推定量T _nは、パラメータの真の値にほぼ確実に収束する場合、強一致性を持つと言われる。

${\displaystyle \Pr {\big (}\lim _{n\to \infty }T_{n}=\theta {\big )}=1.}$

より厳密な定義では、 θが実際には未知であるという事実を考慮に入れ、したがって、確率収束はこのパラメータのすべての可能な値に対して発生しなければならない。{ p _θ : θ ∈ Θ } を分布の族 (パラメトリック モデル) とし、X ^θ = { X ₁ , X ₂ , …  : X _i ~ p _θ } を分布p _θからの無限サンプルとする。{ T _n ( X ^θ ) } を何らかのパラメータg ( θ )の推定値の列とする。通常、T _{n は}サンプルの最初のn 個の観測値に基づく。この列 { T _{n } は、} ^{[ 2 ]}の場合、(弱)一致性があると言われる。

${\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\operatorname {plim} }}\;T_{n}(X^{\theta })=g(\theta ),\ \ {\text{for all}}\ \theta \in \Theta .}$

この定義では、単にθではなくg ( θ ) を使用しています。これは、多くの場合、特定の関数または基礎となるパラメータのサブベクトルを推定することに関心があるためです。次の例では、モデルの位置パラメータを推定しますが、スケールは推定しません。

漸近的一貫性の概念は、確率収束の概念と非常に近く、ほぼ同義である。そのため、確率収束を確立する定理、補題、または性質はすべて、一貫性を証明するために使用できる。そのようなツールは数多く存在する。

• 定義から直接一貫性を示すために、不等式^{[ 3 ]を使用することができます。}

${\displaystyle \Pr \!{\big [}h(T_{n}-\theta )\geq \varepsilon {\big ]}\leq {\frac {\operatorname {E} {\big [}h(T_{n}-\theta ){\big ]}}{h(\varepsilon )}},}$

関数hの最も一般的な選択肢は、絶対値 (この場合はマルコフの不等式として知られています) または二次関数 (それぞれチェビシェフの不等式として知られています) のいずれかです。

• もう1つの有用な結果は連続写像定理です。T n が θ に対して一貫性があり、g (·) が点 θ で連続な実数値関数である場合、_g ( T n )はg ( θ )に対して_一貫性があります。^{[ 4 ]}

${\displaystyle T_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ \theta \ \quad \Rightarrow \quad g(T_{n})\ {\xrightarrow {p}}\ g(\theta )}$

• スルツキーの定理は、_複数の異なる推定量、または非ランダムな収束列を持つ推定量を組み合わせるために使用できます。T n  → ^d α、およびS _n  → ^p βの場合、^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&T_{n}+S_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ \alpha +\beta ,\\&T_{n}S_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ \alpha \beta ,\\&T_{n}/S_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ \alpha /\beta ,{\text{ provided that }}\beta \neq 0\end{aligned}}}$

• 推定量T _nが明示的な式で与えられる場合、その式はおそらく確率変数の和を使用し、その場合、大数の法則を使用できます。確率変数の列 { X _n } に対して、適切な条件下で、

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}g(X_{i})\ {\xrightarrow {p}}\ \operatorname {E} [\,g(X)\,]}$

• 推定量T _{n が}暗黙的に定義されている場合、例えば特定の目的関数を最大化する値として定義されている場合（極値推定量を参照）、確率的等連続性を含むより複雑な議論を用いる必要がある。^{[ 6 ]}

• 効率的な推定器
• フィッシャーの一貫性― 推定量の一貫性に関する、代替的な概念だが、あまり用いられない概念
• 回帰希釈
• 統計的仮説検定
• 操作変数推定

• 雨宮健（1985）『高度計量経済学』ハーバード大学出版局。ISBN 0-674-00560-0。
• レーマン、EL；カセラ、G.（1998）。点推定理論（第2 版）。スプリンガー。ISBN 0-387-98502-6。
• Newey, WK; McFadden, D. (1994). 「第36章：大標本推定と仮説検定」。Robert F. Engle; Daniel L. McFadden (編) 『計量経済学ハンドブック』第4巻。Elsevier  Science。ISBN 0-444-88766-0. S2CID 29436457 . 
• Nikulin, MS (2001) [1994]、「一貫性のある推定量」、数学百科事典、EMS Press
• Sober, E. (1988)、「尤度と収束」、科学哲学、55 (2): 228–237、doi : 10.1086/289429。

• マーク・トーマによるYouTubeの計量経済学講義（トピック：不偏性 vs. 一貫性）