ベリー・エッセンの定理

明確さを優先するために一般性を多少犠牲にした一つのバージョンは、以下のとおりである。

正の定数Cが存在し、X ₁、X ₂、 ... がE ( X 1 ₎ = 0、E( X 1 ₂ ⁾ = σ ² > 0、および E(| X ₁ | ³ ) = ρ < ∞ の iid 確率変数である場合、^{[注 1 ]}、そして、と定義すると、

${\displaystyle Y_{n}={X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n} \over n}}$

標本平均、F _nは累積分布関数

${\displaystyle {Y_{n}{\sqrt {n}} \over {\sigma }},}$

また、Φ を標準正規分布の累積分布関数とすると、すべてのxとnに対して、

$\displaystyle \left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq {C\rho \over \sigma ^{3}{\sqrt {n}}}.\ \ \ \ (1)}$

すなわち、平均がゼロで分散が正である独立同分布の確率変数の列が与えられた場合、さらに3次絶対モーメントが有限であれば、標準化標本平均と標準正規分布の累積分布関数は（グラフ上で垂直方向に）指定された量を超えて異ならない。すべてのnに対する近似誤差（したがって、十分に大きい不定nに対する収束の限界速度）はn ^−1/2のオーダーで制限されることに注意されたい。

定数Cの計算された上限値は、1942 年に Esseen が算出した元の値 7.59 から、長年にわたって著しく減少している。^{[ 1 ]}不等式から、推定値C  < 0.4748 が得られる。 

$\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq {0.33554(\rho +0.415\sigma ^{3}) \over \sigma ^{3}{\sqrt {n}}},}$

σ ³  ≤ ρかつ 0.33554 · 1.415 < 0.4748であるため。ただし、ρ ≥ 1.286 σ ³の場合、推定値は       

$\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq {0.3328(\rho +0.429\sigma ^{3}) \over \sigma ^{3}{\sqrt {n}}},}$

さらにタイトです。^{[ 2 ]}

エッセーン（1956）は、定数が下限も満たすことを証明した。

$${\displaystyle C\geq {\frac {{\sqrt {10}}+3}{6{\sqrt {2\pi }}}}\approx 0.40973\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}+0.01079.}$$

X ₁ , X _{2 , ..., を、} E ( X _i ) = 0、E( X _i ² ) = σ _i ² > 0、および E(| X _i | ³ ) = ρ _i < ∞ を満たす独立な確率変数とする。また、

$${\displaystyle S_{n}={X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n} \over {\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\cdots +\sigma _{n}^{2}}}}}$$

を正規化されたn番目の部分和とする。S nの累積分布関数をF _{n とし}、標準正規分布の累積分布関数を Φ とする。便宜上、

$\displaystyle {\vec {\sigma }}=(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}),\ {\vec {\rho }}=(\rho _{1},\ldots ,\rho _{n}).}$

1941年、アンドリュー・C・ベリーは、すべてのnに対して絶対定数C1が 存在し_、

$\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq C_{1}\cdot \psi _{1},\ \ \ \ (2)}$

どこ

${\displaystyle \psi _{1}=\psi _{1}{\big (}{\vec {\sigma }},{\vec {\rho }}{\big )}={\Big (}{\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}}{\Big )}^{-1/2}\cdot \max _{1\leq i\leq n}{\frac {\rho _{i}}{\sigma _{i}^{2}}}.}$

独立して、1942年にカール＝グスタフ・エッセーンは、すべてのnに対して絶対定数C ₀が存在し、

$\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq C_{0}\cdot \psi _{0},\ \ \ \ (3)}$

どこ

${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{0}{\big (}{\vec {\sigma }},{\vec {\rho }}{\big )}={\Big (}{\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}}{\Big )}^{-3/2}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}\rho _{i}.}$

_{ψ 0} ≤ψ ₁であることは容易に確認できる。この状況により、不等式 (3) は慣習的にベリー・エッセーン不等式と呼ばれ、量 ψ _{0は 3 次リアプノフ分数と呼ばれる。さらに、項}X ₁、 ...、X _{n が}同一の分布を持つ場合、

${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{1}={\frac {\rho _{1}}{\sigma _{1}^{3}{\sqrt {n}}}},}$

したがって、不等式(1)、(2)および(3)で示される境界は定数を除いて一致する。

C ₀に関しては、明らかに、エッセーン (1956)によって確立された下限は依然として有効である。

$${\displaystyle C_{0}\geq {\frac {{\sqrt {10}}+3}{6{\sqrt {2\pi }}}}=0.4097\ldots .}$$

下限が正確に達成されるのは、特定のベルヌーイ分布の場合のみです（具体的な式については、 Esseen（1956）を参照してください）。

C ₀の上限は、その後、エッセーンの当初の推定値 7.59 から 0.5600 に引き下げられた。^{[ 3 ]}

ベリー・エッセーン定理は、ランダムな数のランダム変数の和に対して存在します。以下は、注釈3の定数を代入したコロレフ（1989）の定理1です。^{[ 4 ]}これは、彼らが確立した結果のごく一部にすぎません。

させて${\displaystyle \{X_{i}\}}$独立同分布の確率変数であり、${\displaystyle E(X_{i})=\mu }$、${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}}$、${\displaystyle E|X_{i}-\mu |^{3}=\kappa ^{3}}$。 させて${\displaystyle N}$非負の整数値の確率変数であり、${\displaystyle \{X_{i}\}}$。 させて${\displaystyle S_{N}=X_{1}+\cdots +X_{N}}$、そして定義する

${\displaystyle \Delta =\sup _{x}\left|P\left({\frac {S_{N}-E(S_{N})}{\sqrt {\operatorname {Var} (S_{N})}}}\leq z\right)-\Phi (z)\right|.}$

それから

${\displaystyle \Delta \leq 3.8696{\frac {\kappa ^{3}}{{\sqrt {E(N)}}\sigma ^{3}}}+1.0395{\frac {E|N-E(N)|}{E(N)}}+0.2420{\frac {\mu ^{2}\operatorname {Var} (N)}{\sigma ^{2}E(N)}}.}$

多次元中心極限定理と同様に、ベリー・エッセーン定理にも多次元版が存在する。^{[ 5 ] [ 6 ]}

させて${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$自立する${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$平均値がゼロの確率ベクトル。${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$そして仮定する${\displaystyle \Sigma _{n}=\operatorname {Cov} [S_{n}]}$は可逆である。${\displaystyle Z_{n}\sim \operatorname {N} (0,{\Sigma _{n}})}$になる${\displaystyle d}$同じ平均と共分散行列を持つ次元ガウス分布${\displaystyle S_{n}}$すると、すべての凸集合に対して${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$、

${\displaystyle {\big |}\Pr[S_{n}\in U]-\Pr[Z_{n}\in U]\,{\big |}\leq Cd^{1/4}\gamma _{n},}$

どこ${\displaystyle C}$は普遍定数であり、${\displaystyle \gamma _{n}=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} {\big [}\|\Sigma _{n}^{-1/2}X_{i}\|_{2}^{3}{\big ]}}$（ L2ノルム^の3乗）。

依存${\displaystyle d^{1/4}}$最適であると推測されているが、そうではないかもしれない。^{[ 6 ]}