楕円分布

確率論および統計学において、楕円分布とは、多変量正規分布を一般化した広範な確率分布族に属する任意の分布を指します。簡略化された2次元および3次元の場合、等密度プロットでは、結合分布はそれぞれ楕円および楕円体を形成します。

統計学において、正規分布は古典的な多変量解析で用いられ、楕円分布は、多変量t分布のように裾が重い、あるいは（正規分布と比較して）裾が軽い対称分布を研究するための一般化多変量解析で用いられます。正規分布の研究をきっかけに開発された統計的手法の中には、一般的な楕円分布（有限分散を持つ）に対して良好な性能を示すものがあり、特に球状分布（後述）に対して有効です。楕円分布は、ロバスト統計学において、提案された多変量統計的手法を評価するためにも用いられます。

楕円分布は確率論の特性関数によって定義される。${\displaystyle X}$ユークリッド空間上の特性関数が楕円分布を持つ場合${\displaystyle \phi }$次の関数方程式を満たす（すべての列ベクトルに対して）${\displaystyle t}$）

${\displaystyle \phi _{X-\mu }(t)=\psi (t'\Sigma t)}$

位置パラメータについて ${\displaystyle \mu }$非負定値行列${\displaystyle \Sigma }$そしていくつかのスカラー関数 ${\displaystyle \psi }$[ ^{1 ]}実数ランダムベクトルの楕円分布の定義は、^複素数体上のユークリッド空間のランダムベクトルに対応するように拡張され、時系列分析への応用が容易になった。^{[ 2 ]}楕円分布から擬似ランダムベクトルを生成するための計算手法が利用可能であり、例えばモンテカルロシミュレーションで使用できる。 ^{[ 3 ]}

楕円分布の中には、密度関数を用いて定義されるものもあります。密度関数fを持つ楕円分布は、次の形式をとります。

${\displaystyle f(x)=k\cdot g((x-\mu )'\Sigma ^{-1}(x-\mu ))}$

どこ${\displaystyle k}$は正規化定数です。${\displaystyle x}$は${\displaystyle n}$中央値ベクトルを持つ次元ランダムベクトル${\displaystyle \mu }$（これは、後者が存在する場合は平均ベクトルでもある） ${\displaystyle \Sigma }$は正定値行列であり、共分散行列が存在する場合はそれに比例する。^{[ 4 ]}

2 次元の場合、密度が存在する場合、各等密度軌跡 ( x ₁、x _{2 の}ペアの集合で、すべて特定の値を与える)${\displaystyle f(x)}$）は楕円または楕円の和集合です（そのため楕円分布と呼ばれます）。より一般的には、任意のnに対して、等密度軌跡は楕円体の和集合です。これらの楕円体または楕円はすべて共通の中心μを持ち、互いに拡大縮小されたコピー（相似）です。

多変量正規分布は、${\displaystyle g(z)=e^{-z/2}}$多変量正規分布は有界ではない（各要素は${\displaystyle x}$非ゼロの確率で任意に大きな正または負の値を取ることができるのは、${\displaystyle e^{-z/2}>0}$すべての非負の場合${\displaystyle z}$一般に、楕円分布は有界または非有界となる可能性がある。このような分布は、次の場合に有界となる。${\displaystyle g(z)=0}$すべての人々のために${\displaystyle z}$ある値よりも大きい。

コーシー分布（単変量の場合も含む）のように、平均値が定義されていない楕円分布が存在する。変数x が密度関数に二次的に現れるため、すべての楕円分布はに関して対称である。${\displaystyle \mu .}$

結合楕円型ランダムベクトルの2つの部分集合が無相関である場合、それらの平均が存在するならば、それらは互いに平均独立である（各部分ベクトルの平均は、他の部分ベクトルの値に条件付けられ、無条件平均と等しい）。^{[ 8 ]： p.748}

ランダムベクトルX が楕円分布に従う場合、行ランクが 1 である任意の行列DのDXも楕円分布に従う。したがって、 Xの成分の任意の線形結合は楕円分布に従う（ただし、必ずしも同じ楕円分布に従うとは限らない）。また、Xの任意の部分集合も楕円分布に従う。^{[ 8 ]： p.748}

楕円分布は統計学や経済学で用いられる。また、宇宙船の着陸地点の軌跡を計算する際にも使用される。

数理経済学では、楕円分布は数理ファイナンスにおけるポートフォリオを記述するために使用されてきた。^{[ 9 ] [ 10 ]}