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凸解析において、非負関数f : R n → R +は、その定義域が凸集合であり、不等式
すべてのx , y ∈ dom fおよび0 < θ < 1に対して成り立つ。fが厳密に正であれば、これは関数の対数log ∘ fが凹であると言うことと同等である。つまり、
すべてのx、y ∈ dom fおよび0 < θ < 1に対して。
対数凹関数の例としては、凸集合の 0-1指示関数(より柔軟な定義が必要)やガウス関数などが挙げられます。
同様に、逆不等式を満たす 関数は対数凸関数である。
すべてのx、y ∈ dom fおよび0 < θ < 1に対して。
プロパティ
- 対数凹関数は準凹関数でもある。これは対数が単調であるという事実から導かれ、この関数の上位集合が凸であることを意味する。[1]
- 定義域で非負である凹関数はすべて対数凹関数です。ただし、逆は必ずしも成り立ちません。例として、ガウス関数 f ( x ) = exp(− x 2 /2)が挙げられます。これは、log f ( x ) = − x 2 /2がxの凹関数であるため、対数凹関数です。ただし、 | x | > 1の場合、2 次導関数が正であるため、 fは凹ではありません。
- 上記の 2 つの点から、凹面 、対数凹面、準凹面がわかります。
- 2回微分可能で凸定義域を持つ非負関数が対数凹関数となるのは、すべてのxに対してf ( x ) > 0を満たす場合のみである。
- , [1]
- つまり
- は
- 負の半定値。1変数関数の場合、この条件は次のように簡略化される。
対数凹性を保つ演算
- 積: 対数凹関数の積も対数凹関数です。実際、fとgが対数凹関数であれば、log fとlog gは定義により凹関数です。したがって、
- は凹面なので、f gも対数凹面です。
- 周辺分布:f ( x , y ) : R n + m → Rが対数凹ならば、
- は対数凹である(プレコパ・ラインドラー不等式を参照)。
- これは畳み込みが対数凹性を保存することを意味している。なぜなら、 fとgが対数凹であれば、 h ( x , y ) = f ( x - y ) g ( y )は対数凹であり、したがって
- 対数凹面です。
対数凹分布
対数凹分布は、適応的除去サンプリングなどの多くのアルゴリズムに必要です。対数凹密度を持つすべての分布は、指定された平均μと偏差リスク尺度Dを持つ最大エントロピー確率分布です。[2] 偶然にも、多くの一般的な確率分布は対数凹です。いくつか例を挙げます。[3]
- 正規分布と多変量正規分布、
- 指数分布、
- 任意の凸集合上の一様分布、
- ロジスティック分布、
- 極値分布、
- ラプラス分布、
- カイ分布、
- 双曲正割分布、
- ウィシャート分布、n ≥ p + 1の場合、[4]
- ディリクレ分布、すべてのパラメータが1以上の場合、[4]
- 形状パラメータが1以上の場合はガンマ分布、
- 自由度が2以上の場合はカイ二乗分布、
- 両方の形状パラメータが1以上の場合はベータ分布、
- 形状パラメータが 1 以上の場合にはワイブル分布になります。
すべてのパラメータ制約は、基本的なソースが同じであることに注意してください。関数が対数凹であるためには、非負の量の指数は非負でなければなりません。
次の分布は、すべてのパラメータに対して非対数凹分布です。
すべての対数凹分布の累積分布関数(CDF) も対数凹であることに注意してください。ただし、一部の非対数凹分布にも対数凹 CDF があります。
対数凹分布の特性には次のものがあります。
- 密度が対数凹の場合、累積分布関数(CDF) も対数凹になります。
- 多変量密度が対数凹である場合、変数の任意のサブセット上の周辺密度も対数凹になります。
- 2 つの独立した対数凹ランダム変数の合計は対数凹です。これは、2 つの対数凹関数の畳み込みが対数凹であるという事実から導かれます。
- 2 つの対数凹関数の積は対数凹です。つまり、2 つの確率密度を乗じて形成される結合密度 (たとえば、形状パラメータが常に ≥ 1 である正規ガンマ分布) は対数凹になります。この特性は、 BUGSやJAGSなどの汎用ギブス サンプリングプログラムで頻繁に使用されます。これにより、他の分布の積から導出されるさまざまな条件付き分布に対して適応拒否サンプリングを使用できます。
- 密度が対数凹であれば、その生存関数も対数凹となる。[3]
- 密度が対数凹である場合、それは単調なハザード率(MHR)を持ち、生存関数の対数の導関数が負のハザード率であるため正規分布であり、凹面性により単調である。
- これは凹関数の微分なので減少します。
参照
注記
- ^ ab Boyd, Stephen ; Vandenberghe, Lieven (2004). 「対数凹関数と対数凸関数」。凸最適化。ケンブリッジ大学出版局。pp. 104–108。ISBN 0-521-83378-7。
- ^ Grechuk, Bogdan; Molyboha, Anton; Zabarankin, Michael (2009 年 5 月). 「一般偏差尺度による最大エントロピー原理」(PDF) .オペレーションズ リサーチの数学. 34 (2): 445–467. doi :10.1287/moor.1090.0377.
- ^ ab Bagnoli , Mark; Bergstrom, Ted (2005)を参照。「対数凹確率とその応用」(PDF)。経済理論。26 (2): 445–469。doi : 10.1007 /s00199-004-0514-4。S2CID 1046688 。
- ^ ab Prékopa, András (1971). 「対数凹測度と確率的計画法への応用」(PDF) . Acta Scientiarum Mathematicarum . 32 (3–4): 301–316.
参考文献
- バーンドルフ・ニールセン、オーレ(1978年)。統計理論における情報と指数族。ワイリー確率・数理統計シリーズ。チチェスター:ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。1978年。ISBN 978-984-238-1 0-471-99545-2MR 0489333 。
- Dharmadhikari, Sudhakar; Joag-Dev, Kumar (1988)。単峰性、凸性、および応用。確率と数理統計。ボストン、マサチューセッツ州:Academic Press、Inc。pp. xiv+278。ISBN 0-12-214690-5. MR 0954608。
