一定曲率

数学において、定曲率は微分幾何学の概念です。ここで、曲率とは空間（より正確には微分多様体）の断面曲率を指し、その局所的な幾何学を決定する単一の数値です。^{[ 1 ]}断面曲率は、すべての点およびその点におけるすべての2次元接平面で同じ値を持つ場合、定曲率であると言われます。たとえば、球は定正曲率の表面です。

ここでの分類は、普遍被覆空間に基づいています。同じ普遍被覆空間を持つ空間は複数存在する可能性があります。

定曲率リーマン多様体は、以下の3つのクラスに分類できる。

• 楕円幾何学– 一定の正の断面曲率
• ユークリッド幾何学― 一定の断面曲率が常にゼロになる
• 双曲幾何学― 一定の負の断面曲率。

定曲率のローレンツ多様体は、以下の3つのクラスに分類できる。

• ド・ジッター空間– 一定の正の断面曲率
• ミンコフスキー空間（任意の次元に一般化） – 断面曲率が常にゼロになる空間
• 反ド・ジッター空間― 一定の負の断面曲率。

2次元のド・ジッター空間と反ド・ジッター空間は同じである（曲率の符号は、どちらの方向を「空間的」とみなすかによって異なる）。

署名、寸法、曲率のそれぞれについて、同様の分類が存在する。

• 曲率が一定の空間はすべて局所的に対称である。つまり、その曲率テンソルは平行で ある。${\displaystyle \nabla \mathrm {R} =0}$⁠ .
• 次元のあらゆる空間${\displaystyle n}$一定曲率のものは局所的に最大対称である、つまり${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$局所等長変換。
• 逆に、これと似ているが、より強い主張がある。最大対称空間、つまり、${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$（グローバル）等長変換は、一定の曲率を持つ。
• （キリング・ホップの定理）断面曲率が一定のリーマン多様体の 普遍被覆は、以下のモデル空間の1つである。
  • 球体（正の断面曲率）
  • 平面（断面曲率ゼロ）
  • 双曲多様体（負の断面曲率）
• 測地線的に完全な定曲率空間を空間形式と呼ぶ。空間形式の研究は、一般化結晶学と密接に関連している（詳細は「空間形式」の記事を参照）。
• 2つの空間形式が同型であるのは、それらが同じ次元を持ち、それらの計量が同じ符号を持ち、それらの断面曲率が等しい場合に限る。

• モーリッツ・エップル（2003）「四元数から宇宙論へ：定曲率空間 約1873年～1925年」国際数学者会議への招待講演
• フレデリック・S・ウッズ（1901）。 「定曲率空間」。数学年報。3 （1/4）：71–112。doi：10.2307 /1967636。JSTOR 1967636。