中央絶対偏差

統計学において、中央絶対偏差（MAD）は、定量的データの単変量サンプルの変動性を測る堅牢な指標である。また、サンプルから計算されたMADによって推定される母数パラメータを指すこともある。 ^[1]

単変量データセットX ₁、  X ₂、...、  X _nの場合、MADはデータの中央値からの絶対偏差の中央値として定義されます。 ${\displaystyle {\tilde {X}}=\operatorname {中央値} (X)}$

${\displaystyle \operatorname {MAD} =\operatorname {中央値} (|X_{i}-{\tilde {X}}|)}$

つまり、データの中央値からの残差（偏差）から始めて、MAD はそれらの絶対値の中央値になります。

データ (1, 1, 2, 2 , 4, 6, 9) について考えてみましょう。このデータの中央値は 2 です。2 の絶対偏差は (1, 1, 0, 0, 2, 4, 7) で、その中央値は 1 です (ソートされた絶対偏差は (0, 0, 1, 1 , 2, 4, 7) であるため)。したがって、このデータの中央絶対偏差は 1 です。

中央絶対偏差は、統計的分散の尺度です。さらに、MAD は堅牢な統計であり、データ セット内の外れ値に対して標準偏差よりも耐性があります。標準偏差では、平均からの距離が 2 乗されるため、大きな偏差には大きな重みが付けられ、外れ値が標準偏差に大きな影響を与える可能性があります。MAD では、少数の外れ値の偏差は無関係です。

MAD は、サンプル分散や標準偏差よりも堅牢な尺度の推定値であるため、コーシー分布などの平均や分散のない分布に適しています。

MADは、平均の偏差と同じように使用できます。MADを標準偏差の推定に一貫した推定値として使用するには、 ${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}=k\cdot \operatorname {MAD} ,}$

ここで、は分布に依存する定数のスケール係数である。 ^[2]${\displaystyle k}$

正規分布した データは${\displaystyle k}$

${\displaystyle k=1/\left(\Phi ^{-1}(3/4)\right)\approx 1/0.67449\approx 1.4826,}$

すなわち、標準正規分布の分位関数の逆数（累積分布関数の逆数とも呼ばれる）である。^{[3] [4]} ${\displaystyle \Phi^{-1}}$ ${\displaystyle Z=(X-\mu )/\sigma }$

引数3/4は、標準正規累積分布関数の50%（1/4と3/4の間）をカバーするようなものであり、すなわち ${\displaystyle \pm \operatorname {MAD} }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}=P(|X-\mu |\leq \operatorname {MAD} )=P\left(\left|{\frac {X-\mu }{\sigma }}\right|\leq {\frac {\operatorname {MAD} }{\sigma }}\right)=P\left(|Z|\leq {\frac {\operatorname {MAD} }{\sigma }}\right).}$

したがって、私たちは

${\displaystyle \Phi \left(\operatorname {MAD} /\sigma \right)-\Phi \left(-\operatorname {MAD} /\sigma \right)=1/2.}$

それに気づいて

${\displaystyle \Phi \left(-\operatorname {MAD} /\sigma \right)=1-\Phi \left(\operatorname {MAD} /\sigma \right),}$

となり、そこからスケール係数が得られます。 ${\displaystyle \operatorname {MAD} /\sigma =\Phi ^{-1}(3/4)=0.67449}$${\displaystyle k=1/\ファイ ^{-1}(3/4)=1.4826}$

この関係を確立する別の方法は、MAD が半正規分布の中央値に等しいことに注目することです。

${\displaystyle \operatorname {MAD} =\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(1/2)\approx 0.67449\sigma .}$

この形式は、たとえば、推定エラーで使用されます。

複素値（X +i Y ）の場合、正規分布データに対するMADと標準偏差の関係は変わりません。

多変量データで中央値が幾何中央値(GM)に一般化されるのと同様に、MAD はn次元でGM までの距離の中央値(MADGM)に一般化できます。これは、1 次元の絶対差をn次元のデータ ポイントから幾何中央値までのユークリッド距離に置き換えることによって行われます。^[5]これにより、1 次元の単変量 MAD と同じ結果が得られ、任意の数の次元に一般化されます。MADGM では幾何中央値を見つける必要があり、これは反復的なプロセスによって行われます。

母集団 MAD はサンプル MAD と同様に定義されますが、サンプルではなく完全な母集団に基づきます。平均がゼロの対称分布の場合、母集団 MAD は分布の 75パーセンタイルになります。

分散は無限または未定義になる場合がありますが、母集団 MAD は常に有限数です。たとえば、標準コーシー分布の分散は未定義ですが、MAD は 1 です。

MADの概念に関する最も古い言及は、1816年にカール・フリードリヒ・ガウスが数値観測の精度の決定に関する論文の中で言及された。^{[6] [7]}

• 偏差（統計）
• 四分位範囲
• 可能性のあるエラー
• 堅牢なスケール測定
• 相対平均絶対差
• 平均絶対偏差
• 最小絶対偏差

• Hoaglin, David C.; Frederick Mosteller; John W. Tukey (1983)。『ロバストかつ探索的なデータ分析の理解』John Wiley & Sons。pp. 404–414。ISBN 978-0-471-09777-8。
• ラッセル、ロバータ S.、バーナード W. テイラー III (2006)。オペレーションマネジメント。ジョン ワイリー アンド サンズ。pp. 497–498。ISBN 978-0-471-69209-6。
• Venables, WN; BD Ripley (1999). Modern Applied Statistics with S-PLUS . Springer. p. 128. ISBN 978-0-387-98825-2。