スチューデントのt検定

スチューデントのt検定は、2 つのグループの応答の差が統計的に有意かどうかを検定するために使用される統計検定です。これは、帰無仮説の下で検定統計量がスチューデントのt分布に従う統計仮説検定です。検定統計量のスケーリング項の値がわかっている場合に検定統計量が正規分布に従うときに最も一般的に適用されます(通常、スケーリング項は不明であるため、不要なパラメーター)。スケーリング項がデータに基づいて推定される場合、検定統計量は (特定の条件下では) スチューデントのt分布に従います。t検定の最も一般的な用途は、2 つの母集団の平均が有意に異なるかどうかを検定することです。多くの場合、データセットのサイズが大きくなるにつれて、後者は前者に収束するため、 Z 検定はt検定と非常によく似た結果をもたらします。

「 t統計量」という用語は、「仮説検定統計量」の略です。^[1]統計学では、t分布は1876 年にHelmert ^{[2] [3] [4]}とLürothによって事後分布として初めて導き出されました。[5] [6] [7] t 分布は、カール・ピアソンの 1895 年の論文で、ピアソン IV 型分布としてより一般的な形でも登場しました。[8] しかし、スチューデントの t 分布としても知られる t分布^の名前は、ウィリアム・シーリー・ゴセット ^に由来しています。ゴセットの雇用主は、科学論文を出版する際にスタッフがペンネームを使用することを好んだため、彼は「Student」というペンネームを使用して、 1908 年に科学雑誌Biometrikaでこの分布を英語で初めて発表しました。^{[9] [10] [11]ゴセットは}アイルランドのダブリンにあるギネス醸造所で働いており、小サンプルの問題、例えば小サンプルサイズの大麦の化学的性質に興味を持っていました。そのため、Studentという用語の語源の2番目のバージョンは、ギネスが競合他社に原材料の品質を決定するためにt検定を使用していることを知られたくなかったというものです。「Student」という用語はウィリアム・ゴセットにちなんで書かれましたが、実際にはロナルド・フィッシャーの研究を通じて、分布は「スチューデントの分布」^[12]や「スチューデントのt検定」としてよく知られるようになりました。

ゴセットはスタウトの品質をモニタリングする経済的な方法としてt検定を考案した。t検定の研究はバイオメトリカ誌に投稿され、1908年に出版された。^[9]

ギネスには、技術職員に研究休暇（いわゆる「研究休暇」）を認める方針があり、ゴセットは1906年から1907年の最初の2学期に、ロンドン大学ユニバーシティ・カレッジのカール・ピアソン教授の生体測定学研究所でこの休暇を利用した。^[13]ゴセットの正体は、当時、同僚の統計学者や編集長のカール・ピアソンに知られていた。^[14]

1標本のスチューデントt検定は、母集団の平均が帰無仮説で指定された値を持つかどうかを検定する位置検定である。母集団の平均が指定された値μ ₀に等しいという帰無仮説を検定する際には、統計量を使用する。

${\displaystyle t={\frac {{\bar {x}}-\mu _{0}}{s/{\sqrt {n}}}},}$

ここで、は標本平均、sは標本標準偏差、nは標本サイズです。この検定で使用される自由度はn  − 1です。親母集団が正規分布している必要はありませんが、標本平均の母集団の分布は正規分布であると想定されます。 ${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle {\bar {x}}}$

中心極限定理により、観測値が独立しており、2 次モーメントが存在する場合、 はほぼ正規分布になります。 ${\displaystyle t}$${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

2つの母集団の平均が等しいという帰無仮説の2サンプル位置検定。このような検定はすべて通常スチューデントのt検定と呼ばれますが、厳密に言えば、この名前は2つの母集団の分散も等しいと仮定した場合にのみ使用する必要があります。この仮定を取り除いた場合の検定形式は、ウェルチのt検定と呼ばれることがあります。これらの検定は、比較する2つのサンプルの基礎となる統計単位が重複していない場合に通常適用されるため、非対応サンプルt検定または独立サンプルt検定と呼ばれることがよくあります。 ^[15]

平均値の差を調べる2標本のt検定には、独立した標本（非対応標本）または対応のある標本が用いられる。対応のあるt検定はブロッキングの一種で、比較対象となる2つのグループの所属とは無関係な「ノイズ因子」（交絡因子を参照）に関して対応のある単位が類似している場合、非対応検定よりも検出力（偽陰性とも呼ばれるタイプIIの誤りを回避する確率）が大きくなる。 ^[16]別の文脈では、対応のあるt検定は、観察研究における交絡因子の影響を減らすために使用できる。

独立サンプルt検定は、独立かつ同一に分布するサンプルの 2 つの別個のセットを取得し、2 つの母集団のそれぞれから 1 つの変数を比較するときに使用します。たとえば、医療処置の効果を評価するために、100 人の被験者を研究に登録し、50 人の被験者を処置グループに、50 人の被験者を対照グループにランダムに割り当てるとします。この場合、2 つの独立サンプルがあり、t検定の非対応形式を使用します。

対応のあるサンプルの t検定は、通常、類似の単位の対応するペアのサンプル、または 2 回テストされた単位の 1 つのグループ (「反復測定」t検定) で構成されます。

反復測定t検定の典型的な例としては、被験者が高血圧などの治療前に検査され、同じ被験者が血圧降下剤による治療後に再度検査される場合が挙げられます。治療前と治療後の同じ患者の数値を比較することで、各患者を実質的に自身のコントロールとして使用していることになります。こうすることで、帰無仮説 (ここでは治療による違いはない) を正しく棄却する可能性がはるかに高くなり、ランダムな患者間変動が排除されたため、統計的検出力が向上します。ただし、統計的検出力の向上には代償が伴います。より多くのテストが必要になり、各被験者を 2 回テストする必要があります。サンプルの半分がもう半分に依存するため、スチューデントのt検定の対応のあるバージョンでは、⁠ん/2⁠ − 1の自由度（ nは観測値の総数）。ペアは個別のテストユニットとなり、同じ数の自由度を達成するにはサンプルを 2 倍にする必要があります。通常、自由度はn − 1です（ nは観測値の総数）。 ^[17]

「マッチドペアサンプル」に基づくペアサンプルt検定は、対象変数とともに測定された追加の変数を使用して、ペアサンプルを形成するために使用されるペアのないサンプルから得られます。 ^[18]マッチングは、2つのサンプルのそれぞれから1つの観測値で構成される値のペアを識別することによって実行されます。このペアは、他の測定変数の点で類似しています。このアプローチは、交絡因子の影響を軽減または排除するために、観察研究で使用されることがあります。

対応のあるサンプルのt検定は、多くの場合、「従属サンプルのt検定」 と呼ばれます。

^{[疑わしい–議論する]}

ほとんどの検定統計量はt = Z / sという形式をとります。ここで、Zとs はデータの関数です。

Z は対立仮説に敏感である可能性があります (つまり、対立仮説が正しい場合、その大きさは大きくなる傾向があります)。一方、 s はtの分布を決定 できるスケーリング パラメーターです

例えば、1標本t検定 では

${\displaystyle t={\frac {Z}{s}}={\frac {{\bar {X}}-\mu }{{\hat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}},}$

ここで、はサイズnの標本X ₁、X ₂、…、X _nからの標本平均、sは平均の標準誤差、は母集団の標準偏差の推定値、 μは母平均です。 ${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}}$

上記の最も単純な形式の t検定の基礎となる仮定は次のとおりです。

• Xは平均μと分散σ2 ^/ nの正規分布に従います。
• s ² ( n  − 1)/ σ ^{2 は}自由度n  − 1のχ ²分布に従います。この仮定は、 s ^{2 を}推定するために使用される観測値が正規分布（および各グループのiid）
• Zとs は独立しています。

2 つの独立したサンプルの平均を比較する t検定では、次の仮定を満たす必要があります。

• 比較される2つの母集団の平均は正規分布に従う必要がある。弱い仮定の下では、各グループの観測値の分布が非正規であっても、大規模なサンプルでは中心極限定理に従う。^[19]
• スチューデントのt検定のオリジナルの定義を使用する場合、比較される2つの母集団は同じ分散を持つ必要があります（F検定、レヴィーンの検定、バートレットの検定、またはブラウン・フォーサイス検定を使用して検定可能、またはQ-Qプロットを使用してグラフで評価可能）。比較される2つのグループのサンプルサイズが等しい場合、スチューデントのオリジナルのt検定は不等分散の存在に対して非常に堅牢です。^[20] ウェルチのt検定は、サンプルサイズが類似しているかどうかに関係なく、分散の等しさには鈍感です。
• 検定を実行するために使用するデータは、比較する2つの母集団から独立してサンプリングするか、完全にペアになっている必要があります。これは通常、データから検定することはできませんが、データが従属していることがわかっている場合（たとえば、検定設計によってペアになっている場合）、従属検定を適用する必要があります。部分的にペアになっているデータの場合、検定統計量がt分布に従わない可能性があるため、従来の独立t検定では無効な結果が得られる可能性があります。一方、従属t検定はペアになっていないデータを破棄するため、最適ではありません。^[21]

ほとんどの2標本t検定は、仮定からの大きな逸脱を除いてすべてに対して堅牢である。^[22]

正確性のために、t検定とZ検定では標本平均の正規性が必要であり、t検定ではさらに標本分散が尺度付きχ ²分布に従うことと、標本平均と標本分散が統計的に独立していることが必要である。これらの条件が満たされている場合、個々のデータ値の正規性は要求されない。中心極限定理により、データが正規分布していなくても、中程度の大きさの標本の標本平均は正規分布によって十分に近似されることが多い。しかし、標本平均が正規性に収束するために必要な標本サイズは、元のデータの分布の歪度に依​​存する。標本は歪度に応じて30から100以上の値まで変化する。^{[23] [24]} F

非正規データの場合、サンプル分散の分布はχ ²分布から大幅に逸脱する可能性があります。

しかし、サンプル サイズが大きい場合、スラツキーの定理によれば、サンプル分散の分布は検定統計量の分布にほとんど影響を与えません。つまり、サンプル サイズが大きくなるにつれて、次のようになります。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\sqrt {n}}({\bar {X}}-\mu )\xrightarrow {d} N(0,\sigma ^{2})}$中心極限定理によれば、

${\displaystyle s^{2}\xrightarrow {p} \sigma ^{2}}$大数の法則によれば、

${\displaystyle \therefore {\frac {{\sqrt {n}}({\bar {X}}-\mu )}{s}}\xrightarrow {d} N(0,1)}$。

さまざまなt検定を実行するために使用できる明示的な式を以下に示します。それぞれの場合で、帰無仮説の下でt分布に正確に従うか、またはそれに近似する検定統計量の式が示されています。また、それぞれの場合に適切な自由度が示されています。これらの統計量はそれぞれ、片側検定または両側検定を実行するために使用できます。

t値と自由度が決定したら、スチューデントのt分布の値の表を使用してp値を見つけることができます。計算されたp値が統計的有意性のために選択されたしきい値(通常は 0.10、0.05、または 0.01 レベル) を下回る場合、帰無仮説は棄却され、対立仮説が採用されます。

モデルを当てはめていると仮定する

${\displaystyle Y=\alpha +\beta x+\varepsilon ,}$

ここで、xは既知、αとβは未知、εは平均 0 で分散σ ²が未知の正規分布のランダム変数、Y は関心のある結果です。傾きβ が特定の値β ₀に等しいという帰無仮説を検定します(多くの場合、0 と見なされ、その場合、帰無仮説はxとyが無相関であるというものです)。

させて

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\alpha }},{\hat {\beta }}&={\text{最小二乗推定値}},\\SE_{\hat {\alpha }},SE_{\hat {\beta }}&={\text{最小二乗推定値の標準誤差}}.\end{aligned}}}$

それから

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {{\hat {\beta }}-\beta _{0}}{SE_{\hat {\beta }}}}\sim {\mathcal {T}}_{n-2}}$

帰無仮説が真であれば、自由度n − 2のt分布に従う。傾き係数の標準誤差：

${\displaystyle SE_{\hat {\beta }}={\frac {\sqrt {\displaystyle {\frac {1}{n-2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}}{\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}$

残差を使って表すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\varepsilon }}_{i}&=y_{i}-{\hat {y}}_{i}=y_{i}-({\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }}x_{i})={\text{residuals}}={\text{estimated errors}},\\{\text{SSR}}&=\sum _{i=1}^{n}{{\hat {\varepsilon }}_{i}}^{2}={\text{sum of squares of residuals}}.\end{aligned}}}$

するとt_スコアは次のように与えられる 。

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {({\hat {\beta }}-\beta _{0}){\sqrt {n-2}}}{\sqrt {\frac {SSR}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}.}$

t_スコアを決定する別の方法は

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {r{\sqrt {n-2}}}{\sqrt {1-r^{2}}}},}$

ここでrはピアソン相関係数です。

tスコア_、切片はt_{スコア、傾き}から決定できます。

${\displaystyle t_{\text{score,intercept}}={\frac {\alpha }{\beta }}{\frac {t_{\text{score,slope}}}{\sqrt {s_{\text{x}}^{2}+{\bar {x}}^{2}}}},}$

ここで、s _x ²はサンプル分散です。

2つのグループ（1、2）がある場合、このテストは次の場合にのみ適用できます。

• 2つのサンプルサイズは同じです。
• 2 つの分布は同じ分散を持つと仮定できます。

これらの仮定に違反するケースについては以下で説明します。

平均値が異なるかどうかをテストするためのt統計量は次のように計算できます。

${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{s_{p}{\sqrt {\frac {2}{n}}}}},}$

どこ

${\displaystyle s_{p}={\sqrt {\frac {s_{X_{1}}^{2}+s_{X_{2}}^{2}}{2}}}.}$

ここでs _pはn = n ₁ = n ₂のプールされた標準偏差であり、s ²
_{× 1}そして​ ²
_{× 2}は母分散の不偏推定値です。tの分母は2 つの平均値の差の 標準誤差です。

有意性検定の場合、この検定の自由度は2 n − 2です。ここで、nはサンプルサイズです。

この検定は、2 つの分布が同じ分散を持つと仮定できる場合にのみ使用されます (この仮定に違反する場合は、以下を参照してください)。前の式は、以下の式の特殊なケースであり、両方のサンプルのサイズが等しい場合に同じ式が再現されます: n = n ₁ = n ₂。

平均値が異なるかどうかをテストするためのt統計量は次のように計算できます。

${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{s_{p}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}}}}},}$

どこ

${\displaystyle s_{p}={\sqrt {\frac {(n_{1}-1)s_{X_{1}}^{2}+(n_{2}-1)s_{X_{2}}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}}$

は、2 つのサンプルのプールされた標準偏差です。これは、母平均が同じかどうかに関係なく、その平方が共通分散の不偏推定値となるように定義されます。これらの式では、 n _i  − 1 は各グループの自由度の数であり、合計サンプル サイズから 2 を引いた値 (つまり、n ₁  +  n ₂  − 2 ) が、有意性検定で使用される合計自由度の数です。

この検定はウェルチのt検定とも呼ばれ、2つの母集団の分散が等しいと仮定されない場合にのみ使用され（2つのサンプルサイズは等しい場合もそうでない場合もある）、したがって別々に推定する必要がある。母集団の平均が異なるかどうかを検定するt統計量は次のように計算される 。

${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}}{s_{\bar {\Delta }}}},}$

どこ

${\displaystyle s_{\bar {\Delta }}={\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}.}$

ここで、s _i ^{2 は、} 2つのサンプルのそれぞれの分散の不偏推定量であり、 n _iはグループiの参加者数（i = 1または2）です。この場合、プールされた分散ではありません。有意性検定で使用するために、検定統計量の分布は、自由度が次のように計算される 通常のスチューデントのt分布として近似されます。${\displaystyle (s_{\bar {\Delta }})^{2}}$

${\displaystyle {\text{d.f.}}={\frac {\left({\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}\right)^{2}}{{\frac {(s_{1}^{2}/n_{1})^{2}}{n_{1}-1}}+{\frac {(s_{2}^{2}/n_{2})^{2}}{n_{2}-1}}}}.}$

これはウェルチ・サッタースウェイト方程式として知られています。検定統計量の真の分布は実際には2つの未知の母分散に（わずかに）依存します（ベーレンス・フィッシャー問題を参照）。

^[25]検定は有名なベーレンス・フィッシャー問題、すなわち、2つの独立した標本に基づいて、2つの母集団の分散が等しいと仮定されない場合に、2つの正規分布する母集団の平均の差を比較する問題を扱っています。

この検定は、 2 つの母集団の不等なサンプル サイズと不等な分散を許容する正確な検定として開発されています。正確性は、非常に小さく不均衡なサンプル サイズ(例) の場合でも保持されます。 ${\displaystyle n_{1}=5,n_{2}=50}$

平均値が異なるかどうかをテストするための統計は、次のように計算できます。

およびをそれぞれおよびからのiidサンプルベクトル( )とします。 ${\displaystyle X=[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{m}]^{T}}$${\displaystyle Y=[Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n}]^{T}}$${\displaystyle m\geq n}$${\displaystyle N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})}$${\displaystyle N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$

を最初の行の要素がすべて である直交行列とします。同様に、を直交行列の最初の n 行（最初の行の要素がすべて である）とします。 ${\displaystyle (P^{T})_{n\times n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle 1/{\sqrt {n}}}$${\displaystyle (Q^{T})_{n\times m}}$${\displaystyle m\times m}$${\displaystyle 1/{\sqrt {m}}}$

はn 次元の正規乱数ベクトルです。 ${\displaystyle Z:=(Q^{T})_{n\times m}X/{\sqrt {m}}-(P^{T})_{n\times n}Y/{\sqrt {n}}}$

${\displaystyle Z\sim N((\mu _{1}-\mu _{2},0,...,0)^{T},(\sigma _{1}^{2}/m+\sigma _{2}^{2}/n)I_{n}).}$

上記の分布から、

${\displaystyle Z_{1}={\bar {X}}-{\bar {Y}}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}X_{i}-{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}Y_{j},}$

${\displaystyle Z_{1}-(\mu _{1}-\mu _{2})\sim N(0,\sigma _{1}^{2}/m+\sigma _{2}^{2}/n),}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}}{n-1}}\sim {\frac {\chi _{n-1}^{2}}{n-1}}\times \left({\frac {\sigma _{1}^{2}}{m}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n}}\right)}$

${\displaystyle Z_{1}-(\mu _{1}-\mu _{2})\perp \sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}.}$

${\displaystyle T_{e}:={\frac {Z_{1}-(\mu _{1}-\mu _{2})}{\sqrt {(\sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2})/(n-1)}}}\sim t_{n-1}.}$

この検定は、サンプルが従属している場合、つまり、2 回検定されたサンプルが 1 つだけの場合 (反復測定)、または 2 つのサンプルが一致または「ペア」になっている場合に使用されます。これは、ペア差検定の例です。t統計量は次のように計算されます。

${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}_{D}-\mu _{0}}{s_{D}/{\sqrt {n}}}},}$

ここで、 と は、すべてのペア間の差の平均と標準偏差です。ペアは、たとえば、1 人の事前テストと事後テストのスコア、または意味のあるグループにマッチした人々のペア間（たとえば、同じ家族または年齢層から抽出：表を参照）です。差の平均が有意に異なるかどうかをテストする場合、定数μ ₀は 0 です。使用される自由度はn − 1で、n はペアの数を表します。 ${\displaystyle {\bar {X}}_{D}}$${\displaystyle s_{D}}$

実例

A _{1 は}、6 つの測定値からランダムに抽出したサンプルのセットを表します 。

${\displaystyle A_{1}=\{30.02,\ 29.99,\ 30.11,\ 29.97,\ 30.01,\ 29.99\}}$

同様に得られた2番目の集合を A ₂とします。

${\displaystyle A_{2}=\{29.89,\ 29.93,\ 29.72,\ 29.98,\ 30.02,\ 29.98\}}$

たとえば、2 つの異なる機械で製造されたネジの重量などがこれに該当します。

2 つのサンプルが抽出された母集団の 平均が等しいという帰無仮説の検定を実行します。

2つの標本平均値の差はそれぞれX _iで表され、上で説明した2標本検定のアプローチすべてにおいて分子に現れる。

${\displaystyle {\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}=0.095.}$

2 つのサンプルのサンプル標準偏差は、それぞれ約 0.05 と 0.11 です。このようにサンプルが小さい場合、2 つの母集団分散間の等価性検定はあまり強力ではありません。サンプル サイズが等しいため、この例では 2 サンプルt検定の 2 つの形式は同様に実行されます。

不均等な分散

不等分散のアプローチ（上記）に従うと、結果は次のようになる。

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\approx 0.04849}$

そして自由度

${\displaystyle {\text{d.f.}}\approx 7.031.}$

検定統計量はおよそ 1.959 で、両側検定のp値は 0.09077 になります。

等分散

等分散アプローチ（上記）に従うと、結果は次のようになる。

${\displaystyle s_{p}\approx 0.08399}$

そして自由度

${\displaystyle {\text{d.f.}}=10.}$

検定統計量はおよそ 1.959 に等しく、両側p値は 0.07857 になります。

関連する統計的検定

代替案t- 場所の問題をテストする

t検定は、未知だが等しい分散を持つ2つのiid正規分布の平均が等しいかどうかの正確な検定を提供します。（ウェルチのt検定は、データが正規分布しているが分散が異なる可能性がある場合のほぼ正確な検定です。）中程度のサイズのサンプルと片側検定の場合、t検定は正規性仮定の中程度の違反に対して比較的堅牢です。^[26]十分に大きなサンプルでは、​​t検定はz検定に漸近し、正規性からの大きな偏差に対しても堅牢になります。^[19]

データが実質的に非正規で、サンプル サイズが小さい場合、t検定では誤った結果が出る可能性があります。非正規分布の特定のファミリーに関連する理論については、 「ガウス スケール混合分布の位置検定」を参照してください。

正規性の仮定が成り立たない場合、t検定のノンパラメトリックな代替検定の方が統計的検出力が高くなる可能性があります。しかし、データが非正規でグループ間で分散が異なる場合、t検定は一部のノンパラメトリックな代替検定よりもタイプ1の誤り制御に優れている可能性があります。 ^{[27]さらに、以下で説明する}Mann-WhitneyのU検定などのノンパラメトリックな方法では、通常、平均値の差を検定しないため、平均値の差が主な科学的関心事である場合は慎重に使用する必要があります。^[19]たとえば、Mann-WhitneyのU検定では、両グループが同じ分布を持つ場合、タイプ1の誤りを望ましいレベルαに保ちます。また、グループBがグループAと同じ分布を持つが定数分シフトした後であるという代替検定（その場合、2つのグループの平均には確かに差がある）を検出する力もあります。ただし、グループ A とグループ B の分布は異なるが平均値は同じというケースも考えられます (たとえば、2 つの分布のうち、1 つは正の歪度を持ち、もう 1 つは負の歪度を持ちますが、平均値が同じになるようにシフトされています)。このような場合、MW は帰無仮説を棄却する際にアルファ レベル以上の検出力を持つ可能性がありますが、平均値の差の解釈をそのような結果に帰することは誤りです。

外れ値がある場合、t検定は堅牢ではありません。たとえば、2つの独立したサンプルについて、データ分布が非対称（つまり、分布が歪んでいる）であるか、分布に大きな裾がある場合、ウィルコクソン順位和検定（マン・ホイットニーのU検定とも呼ばれる）はt検定よりも3～4倍高い検出力を持つことがあります。^{[26] [28] [29]}対応のあるサンプルのt検定のノンパラメトリック版は、対応のあるサンプルのウィルコクソン符号順位検定です。t検定とノンパラメトリックな代替手段の選択については、Lumleyら（2002）を参照してください。^[19]

一元配置分散分析(ANOVA) は、データが 2 つ以上のグループに属する場合に 2 サンプルt検定を一般化します。

対になった観察と独立した観察の両方を含むデザイン

2標本設計において、対になった観測値と独立した観測値の両方が存在する場合、データが完全にランダムに欠損している（MCAR）と仮定すると、対になった観測値または独立した観測値は破棄され、上記の標準検定に進むことができます。あるいは、利用可能なすべてのデータを利用し、正規性とMCARを仮定すると、一般化部分重複サンプルt検定を使用することもできます。^[30]

多変量テスト

スチューデントのt統計量を一般化したものは、ホテリングのt二乗統計量と呼ばれ、同じサンプル内の複数の（多くの場合相関している）尺度で仮説を検定することができます。たとえば、研究者が多数の被験者に、複数の性格尺度（ミネソタ多面性格特性目録など）からなる性格検査を受けさせるとします。このタイプの尺度は通常正の相関があるため、仮説を検定するために個別の単変量t検定を行うことはお勧めできません。これは、尺度間の共分散が無視され、少なくとも 1 つの仮説を誤って棄却する可能性が高くなるためです（第 1 種の誤り）。この場合、仮説検定には単一の多変量検定が望ましいです。1つは、複数の検定を組み合わせて、検定間の正の相関についてアルファを低減するフィッシャー法です。もう 1 つは、ホテリングのT ²統計量がT ²分布に従うというものです。ただし、実際には、 T ²の表の値を見つけるのが難しいため、この分布はほとんど使用されません。通常、T ^{2 は}F統計量に変換されます。

1サンプル多変量検定の場合、仮説は平均ベクトル（μ）が与えられたベクトル（μ0）に等しいというものです_。検定統計量はHotellingのt ²です。

${\displaystyle t^{2}=n({\bar {\mathbf {x} }}-{{\boldsymbol {\mu }}_{0}})'{\mathbf {S} }^{-1}({\bar {\mathbf {x} }}-{{\boldsymbol {\mu }}_{0}})}$

ここで、nはサンプルサイズ、xは列平均のベクトル、Sはm × mの サンプル共分散行列です。

2標本多変量検定の場合、2つの標本の平均ベクトル（μ ₁、μ ₂）は等しいという仮説が立てられます。検定統計量はホテリングの2標本t ²です。

${\displaystyle t^{2}={\frac {n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\left({\bar {\mathbf {x} }}_{1}-{\bar {\mathbf {x} }}_{2}\right)'{\mathbf {S} _{\text{pooled}}}^{-1}\left({\bar {\mathbf {x} }}_{1}-{\bar {\mathbf {x} }}_{2}\right).}$

2サンプルt-テストは単純な線形回帰の特殊なケースである

2 サンプルt検定は、次の例に示すように、 単純線形回帰の特殊なケースです。

臨床試験では、6 人の患者に薬剤またはプラセボを投与します。3 人の患者には薬剤を 0 単位投与します (プラセボ群)。3 人の患者には薬剤を 1 単位投与します (実薬治療群)。治療終了時に、研究者は記憶テストで各患者が思い出せる単語数のベースラインからの変化を測定します。

患者の単語想起と薬剤投与量の値の表を以下に示します。

t 検定と線形回帰の関数を含む R プログラミング言語を使用した分析用のデータとコードが提供されています。以下は、R で生成された上記と同じ (架空の )データです。t.testlm

> word.recall.data = data.frame ( drug.dose = c ( 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 ), word.recall = c ( 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 ))  

t検定を実行します。var.equal=T分析を単純な線形回帰と正確に同等にするには、 等分散の仮定が必要であることに注意してください。

> ( word.recall.data 、t.test ( word.recall ~ drug.dose 、var.equal = T ) )の場合   

R コードを実行すると、次の結果が得られます。

• 0 薬物投与群の平均単語想起は 2 です。
• 1 種類の薬剤を投与したグループの平均単語想起率は 6 です。
• 平均単語想起における治療グループ間の差は 6 – 2 = 4 です。
• 薬物投与量間の単語想起の差は有意であった（p=0.00805）。

lm()同じデータの線形回帰を実行します。線形モデルの R 関数を使用して計算を実行できます。

> word.recall.data.lm = lm ( word.recall ~ drug.dose 、データ= word.recall.data ) > summary ( word.recall.data.lm )     
 

線形回帰では、係数と p 値の表が提供されます。

係数表から次の結果が得られます。

• 切片の推定値 2 は、薬物投与量が 0 の場合の単語想起の平均値です。
• 薬物投与量の推定値 4 は、薬物投与量が 1 単位 (0 から 1) 変化すると、平均単語想起が 4 単位 (2 から 6) 変化することを示しています。これは、2 つのグループの平均を結ぶ線の傾きです。
• 4の傾きが0と異なるp値はp = 0.00805です。

線形回帰の係数は、グラフに示されているように、2 つのグループの平均を結合する直線の傾きと切片を指定します。切片は 2、傾きは 4 です。

線形回帰の結果をt検定の結果と比較します。

• t検定から、グループ平均間の差は6-2=4です。
• 回帰分析から、傾きも 4 であり、これは、薬物投与量が 1 単位変化すると (0 から 1 へ)、平均単語想起が 4 単位変化する (2 から 6 へ) ことを示しています。
• 平均値の差のt検定p値と傾きの回帰 p 値は、どちらも 0.00805 です。これらの方法では、同じ結果が得られます。

この例では、値が 0 と 1 である単一の x 変数がある単純な線形回帰の特殊なケースでは、t検定によって線形回帰と同じ結果が得られることを示しています。この関係は代数的にも表すことができます。

t検定と線型回帰の関係を認識すると、多重線型回帰や多元配置分散分析の使用が容易になります。t 検定の代替として、応答に関連する追加の説明変数を含めることができます。回帰または分散分析 を使用してこのような追加の説明変数を含めると、説明できない分散が減り、通常、 2 標本のt検定よりも差異を検出する力が高くなります。

ソフトウェア実装

QtiPlot、LibreOffice Calc、Microsoft Excel、SAS、SPSS、Stata、DAP、gretl、R、Python、PSPP、Wolfram Mathematica、MATLAB、Minitabなどの多くのスプレッドシートプログラムや統計パッケージには、スチューデントのt検定の実装が含まれています。

参照

• 条件付き変更モデル
• F検定 – 主に複数の制約を使用する統計的仮説検定
• 検出力分析における非心t分布 – 確率分布
• スチューデントのt統計量 – 統計における比率Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Z検定 – 統計検定
• マン・ホイットニーU検定 – 帰無仮説のノンパラメトリック検定
• t検定におけるシダック補正 – 統計的手法
• ウェルチのt検定 – 2つの母集団の平均値が等しいかどうかを統計的に検定する
• 分散分析 - 統計モデルの収集 (ANOVA)
• 正規分布の平均の信頼区間（こちらも参照）

参考文献

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さらに読む

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外部リンク

Wikiversityにはt検定に関する学習リソースがあります

Wikisource にはこの記事に関連する原文があります:

平均値の誤差の可能性

• 「学生テスト」。数学百科事典。EMS Press。2001 [1994]。
• Trochim、William MK「T 検定」、研究方法知識ベース、conjoint.ly
• マーク・トーマによるYouTubeでの計量経済学講義 (トピック: 仮説検定)