可逆行列

線形代数において、可逆行列（非特異、非退化、または正則行列）とは、逆行列を持つ正方行列のことです。言い換えれば、行列が可逆であれば、その逆行列を掛けることで単位行列が得られます。可逆行列は、その逆行列と同じ大きさです。

行列の逆行列は逆演算を表します。つまり、あるベクトルに行列を適用した後、その行列の逆行列を適用すると、結果は元のベクトルになります。

n × nの 正方行列Aは、 n × nの正方行列Bが存在して、$${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n},}$$ここで、I _{n は}n × nの単位行列を表し、使用される乗算は通常の行列乗算です。^{[ 1 ]}この場合、行列BはAによって一意に決定され、 Aの逆行列と呼ばれ、A ⁻¹と表記されます。行列の逆行列とは、元の行列に乗算すると単位行列になる行列を見つけるプロセスです。^{[ 2 ]}

行列はベクトルを変換するための規則と見なすことができます。例えば、実数 ${\displaystyle n\times n}$マトリックス${\displaystyle A}$線形変換を定義する

${\displaystyle x\mapsto Ax}$

セットから$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$の${\displaystyle n}$実数の組をそれ自身に写像します。この変換が別の線形変換によって元に戻せる場合、行列は可逆です。その場合、行列は${\displaystyle A^{-1}}$適用する${\displaystyle A}$その後${\displaystyle A^{-1}}$または適用する${\displaystyle A^{-1}}$その後${\displaystyle A}$すべてのベクトルを元の位置に返します。

幾何学的に言えば、可逆行列は空間を低次元の集合に縮退させるものではありません。異なるベクトルを異なるベクトルに送り、対象空間内のすべてのベクトルに到達します。実数行列の場合、これは行列式に反映されます。可逆行列はゼロでない行列式を持ち、行列式がゼロの行列は体積をゼロに縮退させ、可逆ではありません。

代数的に言えば、可逆性とは、線形システムが

${\displaystyle Ax=b}$

独自の解決策がある${\displaystyle x}$すべてのベクトルに対して${\displaystyle b}$同等に、列は${\displaystyle A}$これらはベクトル空間の基底を形成する。これらおよびその他いくつかの同等の特徴付けは、可逆行列定理によってまとめられる。

次の2×2行列を考えてみましょう。

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}}$

マトリックス${\displaystyle \mathbf {A} }$逆関数を持つので、可逆である。${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}},}$これは計算によって確認できる

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(-1)\times 2+{\tfrac {3}{2}}\times 2&(-1)\times 3+{\tfrac {3}{2}}\times 2\\1\times 2+(-1)\times 2&1\times 3+(-1)\times 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\mathbf {I} _{2}}$

逆行列を見つけずに可逆であることを確認するには、${\textstyle \det \mathbf {A} =-{\frac {1}{2}}}$計算可能であり、ゼロではない。

一方、これは逆行列を持たない行列です。

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}2&4\\2&4\end{pmatrix}}}$

この行列は逆行列ではありません。なぜなら、異なるベクトルが${\displaystyle x}$そして${\displaystyle x'}$同じ値を持つ${\displaystyle \mathbf {C} x}$、 例えば、${\displaystyle x={\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}}}$そして${\displaystyle x'={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$両方とも${\displaystyle \mathbf {C} x={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$したがって、この変換を元に戻すことは不可能である。${\displaystyle x\mapsto \mathbf {C} x}$異なる入力が同じ出力を生み出すため、${\displaystyle \mathbf {C} }$は 0 であり、これは行列が逆行列を持たないための必要十分条件である。

行列${\displaystyle \mathbf {A} }$（実数体などの体上で）が可逆であるのは、方程式の唯一の解が${\displaystyle \mathbf {A} x=0}$はゼロベクトルです。つまり、${\displaystyle \mathbf {A} }$はゼロです。その零空間はゼロベクトルのみで構成されます。同様に、${\displaystyle n\times n}$行列のランクが${\displaystyle n}$ランク零性定理により、このような行列はフルランクであると言われます。幾何学的には、これは、の列空間が${\displaystyle \mathbf {A} }$すべて${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ランクとヌル性の特性は次のように関連しています。フルランクであるということは、行列がすべての${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（全射）であり、零空間がゼロであるということは、行列が単射であることを意味します。つまり、それは全単射であり、したがって逆行列が存在します。

可逆性に関するより計算的な基準は、行列のランクと零行列性を決定する標準的な方法から得られます。正方行列の場合、行列が可逆であるのは、行簡約階段行列が単位行列である場合のみです。その理由は、行簡約階段行列は、対角線上のすべての要素が1で、それ以外のすべての要素が0である、唯一のフルランク行列だからです。

もう一つの基準は、行列が可逆であるのは、その行列式がゼロでない場合に限られる、というものである。

逆行列が存在する場合、それを計算する方法は数多くあります。基本的な方法の一つは、例えばガウス消去法を用いることです。この方法は、逆行列を考慮することから始まります。${\displaystyle A^{-1}}$基本行列の積として、${\displaystyle A^{-1}=E_{k}E_{k-1}\dots E_{1}}$どこで${\displaystyle E_{i}}$は、行操作に必要な基本行列です。${\displaystyle A}$行列を 行簡約階段形に変換します。この方法の利点は、可逆性に関係なく行簡約階段形を生成できるため、行列が可逆であるかどうかを判断する基準が得られ、これは多くの場合、行列式を計算するよりも効率的です。つまり、処理の最後に階段形が低ランクの行列ではなく単位行列である場合に限り、行列は可逆です。

この方法を実用的な方法で適用するには、左辺が逆行列、右辺が単位行列である拡大行列を使用します。次に、ガウス消去法を用いて左辺を単位行列に変換し、その結果、右辺が入力行列の逆行列になります。

例えば、次の行列を考えてみましょう。$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}}$$

逆行列を計算する最初のステップは、拡大行列を作成することです。$${\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\1&-1&0&1\end{array}}\!\!\right)}$$

この行列の最初の行を${\displaystyle R_{1}}$そして2列目${\displaystyle R_{2}}$次に、1行目を2行目に加えます。${\displaystyle (R_{1}+R_{2}\to R_{2}).}$これにより、$${\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\!\!\right)}$$

次に、行1から行2に3を掛けた値を引きます。${\displaystyle (R_{1}-3\,R_{2}\to R_{1}),}$これにより$${\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&0&-2&-3\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\!\!\right)}$$

最後に、1行目に-1を掛けます。${\displaystyle (-R_{1}\to R_{1})}$そして2列目×2${\displaystyle (2\,R_{2}\to R_{2}).}$これにより、左側に単位行列、右側に逆行列が得られます。$${\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}1&0&2&3\\0&1&2&2\end{array}}\!\!\right)}$$

したがって、$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}}$$これは、ガウス消去法のプロセスが、基本行列 を使用した基本行操作を使用した左行列乗算のシーケンスとして見ることができるため機能します（${\displaystyle \mathbf {E} _{n}}$）、 のような${\displaystyle \mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {A} =\mathbf {I} }$

右乗算を適用する${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1},}$私たちは${\displaystyle \mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {I} =\mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}.}$そして右側${\displaystyle \mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1},}$これは、我々が求めている逆の結果である。

可逆行列A がパラメータtに依存すると仮定します。このとき、Aの逆行列のtに関する導関数は^{[ 5 ]}で与えられます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}=-\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}}$

行列Aの逆行列の導関数の上記の式を導出するには、行列の逆行列の定義を微分すればよい。${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {I} }$積の法則を用いて、Aの逆行列の導関数を求めます。

${\displaystyle \mathbf {0} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {I} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} )}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {A} ^{-1})}{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}}$

引き算${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}}$この式の両端から、右辺にを掛けると${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$導出が完了する。

もし${\displaystyle \varepsilon }$が小さい数である場合、導関数の公式は次のようになります。

${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} \right)^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}-\varepsilon \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-1}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})\,}$

正の整数が与えられた場合${\displaystyle n}$、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{n}&=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{n-i},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-n}&=-\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-(n+1-i)}\end{aligned}}}$

特に、

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{n}&=\mathbf {A} ^{n}+\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{n-i}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right),\\(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{-n}&=\mathbf {A} ^{-n}-\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-(n+1-i)}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right)\end{aligned}}}$

ほとんどの実用的な応用においては、連立一次方程式を解くために行列を逆行列化する必要はありません。しかし、一意の解を得るためには、関係する行列が逆行列を持つ必要があります。

LU分解のような分解手法は逆行列計算よりもはるかに高速であり、特定の種類の線形システム向けに様々な高速アルゴリズムも開発されている。

• 「行列の逆行列」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• Cormen, Thomas H. ; Leiserson, Charles E. ; Rivest, Ronald L. ; Stein, Clifford (2001) [1990]. "28.4: 行列の逆行列計算".アルゴリズム入門（第2 版）. MIT PressおよびMcGraw-Hill. pp. 755–760 . ISBN  0-262-03293-7。
• バーンスタイン、デニス・S. (2009).行列数学：理論、事実、公式（第2 版）. プリンストン大学出版局. ISBN 978-0691140391– Googleブックス経由。
• ピーターセン、カーレ・ブラント。ペダーセン、マイケル・シスキンド (2012 年 11 月 15 日)。「マトリックス クックブック」(PDF)。17～ 23ページ。 

• Sanderson, Grant (2016年8月15日) 「逆行列、列空間、零空間」。線形代数の本質。2021年11月3日にオリジナルからアーカイブ済み– YouTube経由。
• ストラング、ギルバート。「逆行列に関する線形代数講義」。MIT OpenCourseWare。