修正半正規分布

させて${\displaystyle X\sim {\text{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$実際の値を選択してください${\displaystyle k\geq 0}$そのため${\displaystyle \alpha +k>0}$それから${\displaystyle k}$その瞬間は$${\displaystyle E(X^{k})={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha +k}{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}{\beta ^{k/2}\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}.}$$さらに、$${\displaystyle E(X^{k+2})={\frac {\alpha +k}{2\beta }}E(X^{k})+{\frac {\gamma }{2\beta }}E(X^{k+1})。$$分布の分散は${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\alpha }{2\beta }}+E(X)\left({\frac {\gamma }{2\beta }}-E(X)\right).}$MHN分布のモーメント母関数は次のように与え られる。$${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma +t}{\sqrt {\beta }}}\right)}{\Psi \left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}.}$$

考慮する${\displaystyle {\text{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$と${\displaystyle \alpha >0}$、${\displaystyle \beta >0}$、 そして${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$。

• もし${\displaystyle \alpha \geq 1}$すると、その分布の確率密度関数は対数凹関数となる。
• もし${\displaystyle \alpha >1}$すると、分布の最頻値は次の位置にある。${\displaystyle {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}.$
• もし${\displaystyle \gamma >0}$そして$1-{\frac {\gamma ^{2}}{8\beta }}\leq \alpha <1}$すると、密度は局所的に最大となる。${\displaystyle {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}}$そして、最低値は${\displaystyle {\frac {\gamma -{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}.}$
• 密度関数は徐々に減少しています${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$分布の最頻値は存在しない。${\displaystyle \gamma >0}$、${\displaystyle 0<\alpha <1-{\frac {\gamma ^{2}}{8\beta }}}$または${\displaystyle \gamma <0,\alpha \leq 1}$。

させて${\displaystyle X\sim {\text{MHN}}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$のために${\displaystyle \alpha \geq 1}$、${\displaystyle \beta >0}$、 そして${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} {}}$、分布の最頻値を で表す。${\displaystyle X_{\text{mode}}={\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\beta (\alpha -1)}}}{4\beta }}.}$

もし${\displaystyle \alpha >1}$、 それから$${\displaystyle X_{\text{mode}}\leq E(X)\leq {\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\alpha \beta }}}{4\beta }}}$$すべての人々のために${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$。 として${\displaystyle \alpha }$が大きくなるにつれて、上限と下限の差はゼロに近づきます。したがって、これは、の高精度近似も提供します。${\displaystyle E(X)}$いつ${\displaystyle \alpha }$大きい。

一方、${\displaystyle \gamma >0}$そして${\displaystyle \alpha \geq 4}$、 それから$${\displaystyle \log(X_{\text{mode}})\leq E(\log(X))\leq \log \left({\frac {\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}+8\alpha \beta }}}{4\beta }}\right).}$$すべての人にとって${\displaystyle \alpha >0}$、${\displaystyle \beta >0}$、 そして${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$、${\displaystyle {\text{Var}}(X)\leq {\frac {1}{2\beta }}}$また、その状態${\displaystyle \alpha \geq 4}$は、その有効性の十分条件である。${\displaystyle X_{\text{mode}}\leq E(X)}$これは、分布が正に歪んでいることを意味する。

させて${\displaystyle X\sim \operatorname {MHN} (\alpha ,\beta ,\gamma )}$。 もし${\displaystyle \gamma >0}$すると、確率変数が存在する${\displaystyle V}$そのため${\displaystyle V\mid X\sim \operatorname {Poisson} (\gamma X)}$そして${\displaystyle X^{2}\mid V\sim \operatorname {Gamma} \left({\frac {\alpha +V}{2}},\beta \right)}$逆に、もし${\displaystyle \gamma <0}$すると、確率変数が存在する${\displaystyle U}$そのため${\displaystyle U\mid X\sim {\text{GIG}}\left({\frac {1}{2}},1,\gamma ^{2}X^{2}\right)}$そして${\displaystyle X^{2}\mid U\sim {\text{Gamma}}\left({\frac {\alpha }{2}},\left(\beta +{\frac {\gamma ^{2}}{U}}\right)\right)}$、 どこ${\displaystyle {\text{GIG}}}$は一般化逆ガウス分布を表します。