信頼区間

非公式には、頻度主義統計学において、信頼区間（CI ）は、推定されるパラメータが典型的に含まれると予想される区間である。より具体的には、信頼水準（95%と99%が典型的な値）が与えられた場合、CIは推定されるパラメータが%の時間に含まれるランダムな区間である。 ^{[1] [2]}信頼水準、信頼度、または信頼係数は、理論的にパラメータの真の値を含むCI（与えられた信頼水準で）の長期的な割合を表す。これは名目上の被覆確率に等しい。たとえば、95%水準で計算されたすべての区間のうち、95%にパラメータの真の値が含まれるはずである。^[3]${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma}$

CIの幅に影響を与える要因には、サンプルサイズ、サンプルの変動性、信頼水準などがあります。 ^[4]他の条件が同じであれば、サンプルが大きいほど信頼区間は狭くなり、サンプルの変動性が大きいほど信頼区間は広くなり、信頼水準が高いほど信頼区間は広くなります。^[5]

二項比率の信頼区間を計算する方法は1920年代から登場しました。^{[6] [7]}信頼区間の一般的な主要なアイデアは1930年代初頭に開発され、^{[8] [9] [10]}、最初の徹底的かつ一般的な説明は1937年にJerzy Neymanによって与えられました。 ^[11]

ネイマンはアイデアの発展について次のように述べている（参照番号は変更されている）。^[10]

[信頼区間に関する私の研究] は、1930 年頃、当時ワルシャワで農業経済学の実証研究に従事していた私の学生、ヴァツワフ・ピトコフスキーの単純な疑問から始まりました。その疑問とは、「推定された回帰係数の精度を独断的でなく特徴付けるにはどうすればよいか」というものでした。

ピトコウスキーのモノグラフは1932年に出版された。^[12]ちょうどその少し前に、フィッシャーが信頼分布と信頼議論に関する最初の論文^[13]を発表していた。全く予想外だったのは、信頼議論の概念的枠組みが信頼区間のそれとは全く異なるにもかかわらず、いくつかの特定の問題に対する具体的な解決策が一致したということである。したがって、1934年に出版された信頼区間の理論を発表した最初の論文^[8]で、私は、ベイズの定理を参照することなく区間推定が可能であり、解決策が事前確率から独立しているというフィッシャーの考えを優先していることを認識した。同時に、私は、フィッシャーの問題へのアプローチには小さな誤解が含まれていることを穏やかに示唆した。

医学雑誌では、信頼区間は1970年代に推奨されていましたが、広く使用されるようになったのは1980年代になってからでした。^[14] 1988年までに、医学雑誌は信頼区間の報告を義務付けていました。^[15]

を、推定される量である統計パラメータと、直接関係のない量を表す を持つ確率分布からのランダムサンプルとします。信頼水準または係数 を持つパラメータ の信頼区間は、ランダム変数によって決定され、次の特性を持つ 区間です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle (u(X),v(X))}$ ${\displaystyle u(X)}$${\displaystyle v(X)}$

${\displaystyle P(u(X)<\theta <v(X))=\gamma \quad {\text{ あらゆる }}(\theta ,\varphi ) に対して。}$

数値 は、その典型的な値が 1 に近いが 1 より大きくはなく、 の形式(またはパーセンテージ) で表される場合があります。ここで は小さな正の数で、多くの場合 0.05 です。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle 1-\alpha }$${\displaystyle 100\%\cdot (1-\alpha )}$${\displaystyle \alpha}$

境界と は、がランダムに収集される限り、信頼区間を計算するたびに、推定されるパラメータの真の値である が含まれる可能性があるような方法で指定することが重要です。これは、実際のおよびに対しても当てはまります。^[2]${\displaystyle u(X)}$${\displaystyle v(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \varphi}$

多くのアプリケーションでは、必要な信頼水準を正確に満たす信頼区間を構築することは困難ですが、近似区間を計算することは可能です。区間を構築するルールは、次の場合 に水準の信頼区間を提供するものとして受け入れられます。${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle P(u(X)<\theta <v(X))\approx \ \gamma \quad {\text{ }}(\theta ,\varphi )} ごとに$

許容できる程度の近似値にすること。あるいは、一部の著者^[16]は、単に

${\displaystyle P(u(X)<\theta <v(X))\geq \ \gamma \quad {\text{ }}(\theta ,\varphi ) ごとに、}$

これは、確率が部分的にしか特定されていない場合や不正確な場合、また離散分布を扱う場合に便利です。形式の信頼限界

${\displaystyle P(u(X)<\theta )\geq \ \gamma }$   そして   ${\displaystyle P(\theta <v(X))\geq \gamma }$

保守的と呼ばれる。^{[17] (p 210)}それに応じて、保守的な信頼区間、そして一般的には領域について話す。

標準的な統計手順を適用する場合、信頼区間を作成する標準的な方法がよくあります。これらは、手順が依存する仮定が正しいと仮定した場合に保持される、特定の望ましい特性を満たすように考案されています。これらの望ましい特性は、妥当性、最適性、および不変性として説明できます。

3 つのうち、「妥当性」が最も重要で、それに次いで「最適性」が重要です。「不変性」は、信頼区間を構築するルールではなく、信頼区間の導出方法の特性として考えることができます。非標準アプリケーションでは、これらの同じ望ましい特性が求められます。

これは、信頼区間の名目上のカバレッジ確率(信頼水準) が正確に、または良好な近似値で保持される必要がある ことを意味します。

つまり、信頼区間を構築するためのルールでは、データセット内の情報を可能な限り活用する必要があるということです。

最適性を評価する方法の 1 つは、区間の幅によって評価することです。これにより、信頼区間を構築するルールが、通常、幅がより短い区間につながる場合、他のルールよりも優れていると判断されます。

多くのアプリケーションでは、推定される量は厳密に定義されていない可能性があります。

たとえば、調査の結果、ある人口の平均所得が推定されることがあります。しかし、平均所得の対数がグラフの結果を示す一般的な尺度であることを考えると、平均所得の対数の推定値を提供するものとみなすこともできます。平均所得の信頼区間を作成するために使用する方法が、平均所得の対数の信頼区間を作成するために適用された場合に同等の結果をもたらすことが望ましいでしょう。具体的には、後者の区間の端の値は、前者の区間の端の値の対数になります。

非標準的なアプリケーションの場合、信頼区間の構築ルールを導き出すために採用できるルートは複数あります。標準的な手順の確立されたルールは、これらのルートのいくつかによって正当化または説明される可能性があります。通常、信頼区間の構築ルールは、検討対象の量の点推定値を見つける特定の方法と密接に結びついています。

これは、推定のためのモーメント法と密接に関係しています。推定される量が母平均である場合の簡単な例が挙げられます。この場合、自然な推定値はサンプル平均です。同様に、サンプル分散を使用して母分散を推定できます。真の平均の信頼区間は、サンプル分散の平方根の倍数の幅で、サンプル平均を中心に構築できます。

推定値は最大尤度原理を使用して構築できます。この尤度理論では、推定値の信頼区間または信頼領域を構築する 2 つの方法が提供されています。

ここでの推定アプローチは、モーメント法の一般化と最大尤度アプローチの一般化の両方として考えることができます。最大尤度理論の結果の対応する一般化があり、推定方程式から得られた推定値に基づいて信頼区間を構築できます。^{[引用が必要]}

パラメータの一般的な値に対して仮説検定が利用可能な場合、真の値が与えられた値であるという帰無仮説の仮説検定が有意水準（1 − p ）で棄却されないすべての点を100 p  ％信頼区間に含めることによって信頼区間/領域を構築することができる。^{[17] （§7.2（iii））}

上記の方法の分布仮定が不確実または違反している状況では、再サンプリング法によって信頼区間または予測区間を構築できます。観測されたデータ分布と内部相関は、より広い集団における相関の代替として使用されます。

中心極限定理は大数の法則を改良したものである。有限分散を持つ多数の独立した同一分布のランダム変数について、 の分布がどのようなものであっても、平均は近似的に正規分布し、近似値は に比例しておおよそ向上する。^[2]${\displaystyle X_{1},...,X_{n},}$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

が正規分布する母集団から得られた、平均と分散が不明な独立した標本であるとする。 ${\displaystyle {X_{1},\ldots ,X_{n}}}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \sigma^{2}.}$

${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}},}$

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}.}$

ここでは標本平均、 は標本分散です。すると ${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle S^{2}}$

${\displaystyle T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}}$

は自由度のスチューデントのt分布に従う。 ^[18]の分布は観測不可能なパラメータとの値に依存しないことに注意する。つまり、それは重要な量である。 の95%信頼区間を計算したいとすると、 をこの分布の 97.5パーセンタイルとして表すと、${\displaystyle n-1}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle \mu .}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle P_{T}(-c\leq T\leq c)=0.95.}$

前述の式では、「97.5 番目」と「0.95」が正しいことに注意してください。 がより小さくなる確率は 2.5% 、 が より大きくなる確率は 2.5 % です。したがって、が との間になる確率は95% です。は、学生分布における確率の尺度です。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle -c}$${\displaystyle +c.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle -c}$${\displaystyle +c}$${\displaystyle P_{T}}$${\displaystyle t}$

その結果、

${\displaystyle P_{\mu }\left({\bar {X}}-{\frac {cS}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+{\frac {cS}{\sqrt {n}}}\right)=0.95,}$

そして、 の理論的（確率的）95% 信頼区間が得られます。ここでは、 の未知の分布の下での確率測度です。 ${\displaystyle \mu .}$${\displaystyle P_{\mu}}$${\displaystyle \mu}$

サンプルを観察した後、信頼区間を計算するための 値と値を見つけます。${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S,}$

${\displaystyle \left[{\bar {x}}-{\frac {cs}{\sqrt {n}}},{\bar {x}}+{\frac {cs}{\sqrt {n}}}\right].}$

信頼区間にはさまざまな解釈が可能です (以下では 95% 信頼区間を例として挙げます)。

• 信頼区間は、繰り返しサンプル（または再サンプリング）における長期頻度の観点から表現することができます。「この手順を多数のサンプルで繰り返すと、計算された95％信頼区間のうち、母数の真の値を包含する割合は95％に近づく傾向があります。」^[19]
• 信頼区間は、単一の理論的な（まだ実現されていない）サンプルに関する確率で表現することができます。「特定の将来のサンプルから計算された95％信頼区間が、母数の真の値をカバーする確率は95 ％です。」 ^[11]これは本質的に、「繰り返しサンプル」の解釈を頻度ではなく確率として再構成したものです。
• 信頼区間は統計的有意性の観点から表現することができます。例:「95%信頼区間は、0.05レベルの点推定値と統計的に有意に異ならない値を表します。」 ^[20]

信頼区間と信頼水準はしばしば誤解されており、発表された研究では、専門の科学者でさえもそれらを誤って解釈することがよくあることが示されています。^{[21] [22] [23] [24] [25] [26]}

• 95% の信頼水準は、与えられた実現区間において、母数がその区間内に含まれる確率が 95% である (つまり、区間が母数をカバーする確率が 95% である) ことを意味するものではない。^[27]頻度主義的解釈によれば、区間が計算されると、この区間は母数値をカバーするか、カバーしないかのいずれかであり、もはや確率の問題ではない。95% の確率は推定手順の信頼性に関係しており、計算された特定の区間に関係しているわけではない。^[28] ネイマン自身 (信頼区間の最初の提唱者) は、最初の論文でこの点を指摘している。^[11]

  上記の説明で、確率の記述は、統計学者が将来関わることになる推定の問題に言及していることに気付くでしょう。実際、私は正しい結果の頻度はαに近づくと繰り返し述べてきました。ここで、サンプルがすでに抽出され、計算によって [特定の制限] が与えられている場合を考えてみましょう。この特定のケースでは、真の値 [これらの制限の間にある] の確率はαに等しいと言えるでしょうか。答えは明らかに否定的です。パラメータは未知の定数であり、その値に関する確率の記述は作成できません...

• 95% の信頼水準は、サンプル データの 95% が信頼区間内に存在することを意味するものではありません。
• 95%の信頼水準は、実験を繰り返した結果のパラメータ推定値が、与えられた実験から計算された信頼区間内に95%の確率で収まることを意味するものではない。^[25]

ウェルチ^[29]は、信頼区間理論と他の区間推定理論（フィッシャーの信頼区間や客観的ベイズ区間を含む）との違いを明確に示す例を示した。ロビンソン^[30]はこの例を「ネイマンの信頼区間理論に対する最もよく知られた反例かもしれない」と呼んだ。ウェルチにとって、それは信頼区間理論の優位性を示したが、理論の批評家にとっては欠陥を示した。ここでは簡略化したバージョンを示す。

が一様分布からの独立した観測値であると仮定する。この場合、最適な50%信頼区間の手順は^[31]である。${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ ${\displaystyle (\theta -1/2,\theta +1/2)}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle {\bar {X}}\pm {\begin{cases}{\dfrac {|X_{1}-X_{2}|}{2}}&{\text{if }}|X_{1}-X_{2}|<1/2\\[8pt]{\dfrac {1-|X_{1}-X_{2}|}{2}}&{\text{if }}|X_{1}-X_{2}|\geq 1/2.\end{cases}}}$

信頼度または客観的ベイズ論法は区間推定値を導くために使用できる。

${\displaystyle {\bar {X}}\pm {\frac {1-|X_{1}-X_{2}|}{4}},}$

これも 50% 信頼度の手順です。信頼区間理論の要件に従って、ウェルチは最初の信頼手順が 2 番目の手順よりも優れていることを示しました。つまり、すべての に対して、最初の手順に含まれる確率は、 2 番目の手順に含まれる確率以下です。最初の手順による区間の平均幅は、2 番目の手順のものよりも小さくなります。したがって、古典的な信頼区間理論では、最初の手順が優先されます。 ${\displaystyle \theta _{1}\neq \theta }$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{1}}$

ただし、 の場合、最初の手順からの区間には真の値 が含まれることが保証されます。したがって、名目 50% 信頼係数は、特定の区間に真の値が含まれるという不確実性とは無関係です。2 番目の手順にはこの特性はありません。 ${\displaystyle |X_{1}-X_{2}|\geq 1/2}$${\displaystyle \theta }$

さらに、最初の手順で非常に短い間隔が生成される場合、これは非常に接近していることを示しており、したがって単一のデータ ポイントの情報のみが提供されます。ただし、最初の間隔は幅が短いため、パラメーターのほぼすべての妥当な値を除外します。2 番目の手順にはこの特性はありません。 ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$

最初の手順の 2 つの直感に反する特性 (離れている場合には100% のカバレッジ、近い場合にはほぼ 0% のカバレッジ) は、平均して 50% のカバレッジになるようにバランスが取れています。ただし、最初の手順は最適であるにもかかわらず、その間隔では推定値の精度の評価も、間隔に真の値が含まれているかどうかの不確実性の評価も提供されません。 ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$${\displaystyle X_{1},X_{2}}$

この例は、信頼区間の単純な解釈に反論するために使用されます。信頼手順が名目上の範囲を超える特性 (精度との関係やベイズ推論との関係など) を持つと主張される場合、それらの特性は証明されなければなりません。それらは、手順が信頼手順であるという事実から導かれるものではありません。

Steiger ^[32]は、分散分析における一般的な効果サイズの尺度に対して、いくつかの信頼手順を提案した。Moreyら^[27]は、 ω ²の手順を含むこれらの信頼手順のいくつかは、 F統計量がますます小さくなるにつれて（ ω ²のすべての可能な値との不適合を示す） 、信頼区間が縮小し、 ω ² = 0という単一の値のみを含むことさえあるという特性があることを指摘 している。つまり、CIは極めて狭い（これはCIに対して のときに発生する）。 ${\displaystyle p\geq 1-\alpha /2}$${\displaystyle 100(1-\alpha )\%}$

この動作は、信頼手順と有意性検定の関係と一致しています。つまり、F が非常に小さくなり、グループの平均が偶然に予想されるよりもはるかに近づくと、有意性検定ではω ²のほとんどまたはすべての値が拒否される可能性があります。したがって、区間は非常に狭くなるか、空になることもあります（または、Steiger が提案した慣例により、0 のみが含まれます）。ただし、これはω ²の推定値が非常に正確であることを示すものではありません。ある意味では、その逆、つまり結果自体の信頼性が疑わしい可能性があることを示しています。これは、信頼区間は推定値の精度を明らかにするという一般的な解釈に反しています。

• CL 上限 (素粒子物理学)
• 68–95–99.7 ルール
• 信頼帯、曲線の区間推定値
• 信頼度分布
• 信頼領域、高次元一般化
• 信念（統計）  - 統計で使用される信念の強さの尺度Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 信頼区間、区間推定のベイズ推定の代替
• 累積分布関数に基づくノンパラメトリック信頼区間
• エラーバー – データの変動性をグラフで表したもの
• 推定統計 – 頻度主義統計におけるデータ分析アプローチ
• 誤差範囲、CI半値幅
• p値 – 観測されたサンプル結果の関数
• 予測区間、ランダム変数の区間推定値
• 可能性のあるエラー
• ロバスト信頼区間 – サンプルの偏差の統計的指標Pages displaying short descriptions of redirect targets

• 二項分布の信頼区間
• べき乗分布の指数の信頼区間
• 指数分布の平均の信頼区間
• ポアソン分布の平均の信頼区間
• 正規分布の平均と分散の信頼区間
• 単純線形回帰における予測応答の信頼区間

ウィキメディア・コモンズには、信頼区間に関連するメディアがあります。

• Excel で実行される信頼区間の探索ソフトウェアのチュートリアル プログラム
• R二乗、回帰係数、回帰切片の信頼区間計算機
• Weisstein、Eric W.「信頼区間」。MathWorld。
• CAUSEweb.org 信頼区間を含む統計を教えるためのリソースが多数あります。
• 信頼区間のインタラクティブな紹介
• 信頼区間: 信頼水準、サンプル サイズ、および誤差の範囲、 Eric Sc​​hulz、Wolfram デモンストレーション プロジェクト著。
• 公衆衛生における信頼区間は、 Wayback Machineで 2016-08-09 にアーカイブされています。例を挙げてわかりやすく説明されており、サンプル サイズが小さい場合や 0 に近いレートの場合の対処法も説明されています。