十分な統計

例えば、分散が既知の正規分布の場合、標本平均は（未知の）平均μを求めるのに十分です。標本平均が分かれば、標本自体からμに関するそれ以上の情報を得ることはできません。一方、任意の分布の場合、中央値は平均を求めるのに十分ではありません。標本の中央値が分かっていても、標本自体を知ることで母平均に関するさらなる情報が得られます。例えば、中央値より小さい観測値がわずかに小さいだけで、中央値より大きい観測値が大きく大きい場合、これは母平均に関する推論に影響を与えます。

この定理が示唆するのは、尤度に基づく推論を用いる場合、十分統計量T ( X )に対して同じ値を示す 2 つのデータセットは、常にθに関する同じ推論をもたらすということです。因数分解基準によれば、尤度のθへの依存性はT ( X )との組み合わせにおいてのみ生じます。これはどちらの場合も同じであるため、 θへの依存性も同じになり、同一の推論が得られます。

ホッグとクレイグによる。^{[ 9 ]}${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$は、 ι < θ < δに対してpdf f ( x , θ )を持つ分布からのランダムサンプルを表します。Y ₁ = u ₁ ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) を、pdf がg ₁ ( y ₁ ; θ )である統計量とします。証明したいのは、Y ₁ = u ₁ ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) がθの十分統計量であるのは、ある関数Hに対して、               

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}f(x_{i};\theta )=g_{1}\left[u_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n});\theta \right]H(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$

まず、

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}f(x_{i};\theta )=g_{1}\left[u_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n});\theta \right]H(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$

変換y _i  = u _i ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) ( i = 1, ..., n ) を行い、逆関数x _i = w _i ( y ₁ , y ₂ , ..., y _n ) ( i = 1, ..., n )とヤコビアンを持つものとします。                 ${\displaystyle J=\left[w_{i}/y_{j}\right]}$。 したがって、

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}f\left[w_{i}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n});\theta \right]=|J|g_{1}(y_{1};\theta )H\left[w_{1}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}),\dots ,w_{n}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})\right].}$

左側の要素は、Y ₁ = u ₁ ( X 1 , ..., X _{n )}、 ..., _Y n = u n ( X ₁ , ..., X _n ) の_結合pdf g ( y ₁ , y ₂ , ..., _{y n ;} θ )です。右側の要素では、${\displaystyle g_{1}(y_{1};\theta )}$これはPDFです${\displaystyle Y_{1}}$、 となることによって${\displaystyle H[w_{1},\dots ,w_{n}]|J|}$は商です${\displaystyle g(y_{1},\dots ,y_{n};\theta )}$そして${\displaystyle g_{1}(y_{1};\theta )}$つまり、それは条件付き確率密度関数です${\displaystyle h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1};\theta )}$の${\displaystyle Y_{2},\dots ,Y_{n}}$与えられた${\displaystyle Y_{1}=y_{1}}$。

しかし${\displaystyle H(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$それで${\displaystyle H\left[w_{1}(y_{1},\dots ,y_{n}),\dots ,w_{n}(y_{1},\dots ,y_{n}))\right]}$依存しないように与えられた${\displaystyle \theta }$。 以来${\displaystyle \theta }$変換には導入されず、したがってヤコビアンにも導入されない${\displaystyle J}$したがって、${\displaystyle h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1};\theta )}$依存しない${\displaystyle \theta }$そしてそれは${\displaystyle Y_{1}}$十分な統計は${\displaystyle \theta }$。

逆は次のように証明される。

${\displaystyle g(y_{1},\dots ,y_{n};\theta )=g_{1}(y_{1};\theta )h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1}),}$

どこ${\displaystyle h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1})}$依存しない${\displaystyle \theta }$なぜなら${\displaystyle Y_{2}...Y_{n}}$のみに依存する${\displaystyle X_{1}...X_{n}}$これは、${\displaystyle \Theta }$条件付き${\displaystyle Y_{1}}$仮説による十分統計量。次に、両方の要素をゼロでないヤコビアンの絶対値で割ります。${\displaystyle J}$、そして置き換える${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$関数によって${\displaystyle u_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\dots ,u_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}$で${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$これにより、

${\displaystyle {\frac {g\left[u_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\dots ,u_{n}(x_{1},\dots ,x_{n});\theta \right]}{|J^{*}|}}=g_{1}\left[u_{1}(x_{1},\dots ,x_{n});\theta \right]{\frac {h(u_{2},\dots ,u_{n}\mid u_{1})}{|J^{*}|}}}$

どこ${\displaystyle J^{*}}$ヤコビアンは次の${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$価値によって置き換えられる${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$左側の部材は必ずジョイントPDFです${\displaystyle f(x_{1};\theta )\cdots f(x_{n};\theta )}$の${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$。 以来${\displaystyle h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1})}$それで${\displaystyle h(u_{2},\dots ,u_{n}\mid u_{1})}$依存しない${\displaystyle \theta }$、 それから

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {h(u_{2},\dots ,u_{n}\mid u_{1})}{|J^{*}|}}}$

これは、${\displaystyle \theta }$。

より簡潔で分かりやすい証明は以下のとおりですが、これは離散的な場合にのみ適用されます。

我々は、以下の同時確率密度を表すために略記法を使用する。${\displaystyle (X,T(X))}$による${\displaystyle f_{\theta }(x,t)}$。 以来${\displaystyle T}$は決定論的な関数である${\displaystyle X}$、 我々は持っています${\displaystyle f_{\theta }(x,t)=f_{\theta }(x)}$、 に限って${\displaystyle t=T(x)}$それ以外の場合はゼロ。したがって：

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\theta }(x)&=f_{\theta }(x,t)\\[5pt]&=f_{\theta }(x\mid t)f_{\theta }(t)\\[5pt]&=f(x\mid t)f_{\theta }(t)\end{aligned}}}$

最後の等式は十分統計量の定義により真である。したがって${\displaystyle f_{\theta }(x)=a(x)b_{\theta }(t)}$と${\displaystyle a(x)=f_{X\mid t}(x)}$そして${\displaystyle b_{\theta }(t)=f_{\theta }(t)}$。

逆に、${\displaystyle f_{\theta }(x)=a(x)b_{\theta }(t)}$、 我々は持っています

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\theta }(t)&=\sum _{x:T(x)=t}f_{\theta }(x,t)\\[5pt]&=\sum _{x:T(x)=t}f_{\theta }(x)\\[5pt]&=\sum _{x:T(x)=t}a(x)b_{\theta }(t)\\[5pt]&=\left(\sum _{x:T(x)=t}a(x)\right)b_{\theta }(t).\end{aligned}}}$

最初の等式は多変数のpdfの定義によるもので、2番目は上記の注釈によるもので、3番目は仮定によるもので、4番目は総和が超えていないためである。${\displaystyle t}$。

させて${\displaystyle f_{X\mid t}(x)}$条件付き確率密度を表す${\displaystyle X}$与えられた${\displaystyle T(X)}$すると、これに対する明示的な式を導き出すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X\mid t}(x)&={\frac {f_{\theta }(x,t)}{f_{\theta }(t)}}\\[5pt]&={\frac {f_{\theta }(x)}{f_{\theta }(t)}}\\[5pt]&={\frac {a(x)b_{\theta }(t)}{\left(\sum _{x:T(x)=t}a(x)\right)b_{\theta }(t)}}\\[5pt]&={\frac {a(x)}{\sum _{x:T(x)=t}a(x)}}.\end{aligned}}}$

最初の等式は条件付き確率密度の定義によるもので、2番目は上記の注釈によるもので、3番目は上記で証明された等式によるもので、4番目は簡略化によるものです。この式は${\displaystyle \theta }$そしてこうして${\displaystyle T}$は十分な統計量である。^{[ 10 ]}

X ₁、 ...、X _nが期待値pを持つ独立なベルヌーイ分布に従う確率変数である場合、合計T ( X ) = X ₁ + ... + X _nはpの十分統計量である(ここで「成功」はX _i = 1 に対応し、「失敗」は X _i = 0 に対応する。したがって、Tは成功の総数である)。          

これは、同時確率分布を考慮することで明らかになります。

${\displaystyle \Pr\{X=x\}=\Pr\{X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\}.}$

観測値は独立しているため、これは次のように記述できます。

${\displaystyle p^{x_{1}}(1-p)^{1-x_{1}}p^{x_{2}}(1-p)^{1-x_{2}}\cdots p^{x_{n}}(1-p)^{1-x_{n}}}$

そして、pと1  - pのべき乗をまとめると、 

${\displaystyle p^{\sum x_{i}}(1-p)^{n-\sum x_{i}}=p^{T(x)}(1-p)^{n-T(x)}}$

これは因数分解の基準を満たしており、h ( x )  =  1 は単なる定数です。

重要な特徴に注目してください。未知のパラメータp は、統計量T ( x ) = Σ x _iを介してのみデータxと相互作用します。  

具体的な応用例として、これは公平なコインと偏りのあるコインを区別する手順を示すものである。

X ₁、 ...、X _nが独立で区間 [0, θ ]上で一様分布している場合、 T ( X ) = max( X ₁、 ...、X _n ) は θ に対して十分である。つまり、標本最大値は母集団最大値に対する十分統計量である。

これを確認するには、 X ( X ₁ ,..., X _n )の同時確率密度関数を考えます。観測値は独立であるため、pdf は個々の密度の積として記述できます。  

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\theta }(x_{1},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\theta }}\mathbf {1} _{\{0\leq x_{1}\leq \theta \}}\cdots {\frac {1}{\theta }}\mathbf {1} _{\{0\leq x_{n}\leq \theta \}}\\[5pt]&={\frac {1}{\theta ^{n}}}\mathbf {1} _{\{0\leq \min\{x_{i}\}\}}\mathbf {1} _{\{\max\{x_{i}\}\leq \theta \}}\end{aligned}}}$

ここで1 _{{ ... }は}指示関数です。したがって、密度はフィッシャー・ネイマン因数分解定理で要求される形式をとります。ここでh ( x )  = 1 _{{min{ x i }≥0}}であり、式の残りの部分はθとT ( x ) = max{ x _i } のみの関数です。   

実際、θの最小分散不偏推定量（MVUE）は

${\displaystyle {\frac {n+1}{n}}T(X).}$

これは、バイアスを補正するためにスケーリングされた標本最大値であり、レーマン・シェッフェの定理によりMVUEです。スケーリングされていない標本最大値T ( X )は、θの最尤推定量です。

もし${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$は独立で、区間上で一様分布している。${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$（どこ${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$未知のパラメータである場合、${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\min _{1\leq i\leq n}X_{i},\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\right)}$は、2 次元の十分統計量である。${\displaystyle (\alpha \,,\,\beta )}$。

これを確認するには、次の同時確率密度関数を考えてみましょう。${\displaystyle X_{1}^{n}=(X_{1},\ldots ,X_{n})}$観測値は独立しているため、確率密度関数は個々の密度の積として表すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})&=\prod _{i=1}^{n}\left({1 \over \beta -\alpha }\right)\mathbf {1} _{\{\alpha \leq x_{i}\leq \beta \}}=\left({1 \over \beta -\alpha }\right)^{n}\mathbf {1} _{\{\alpha \leq x_{i}\leq \beta ,\,\forall \,i=1,\ldots ,n\}}\\&=\left({1 \over \beta -\alpha }\right)^{n}\mathbf {1} _{\{\alpha \,\leq \,\min _{1\leq i\leq n}X_{i}\}}\mathbf {1} _{\{\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\,\leq \,\beta \}}.\end{aligned}}}$

サンプルの同時密度は、フィッシャー・ネイマン因数分解定理で要求される形式をとる。

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x_{1}^{n})=1,\quad g_{(\alpha ,\beta )}(x_{1}^{n})=\left({1 \over \beta -\alpha }\right)^{n}\mathbf {1} _{\{\alpha \,\leq \,\min _{1\leq i\leq n}X_{i}\}}\mathbf {1} _{\{\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\,\leq \,\beta \}}.\end{aligned}}}$

以来${\displaystyle h(x_{1}^{n})}$パラメータに依存しない${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$そして${\displaystyle g_{(\alpha \,,\,\beta )}(x_{1}^{n})}$のみに依存する${\displaystyle x_{1}^{n}}$機能を通じて${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\min _{1\leq i\leq n}X_{i},\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\right),}$

フィッシャー・ネイマン因数分解定理は、${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\min _{1\leq i\leq n}X_{i},\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\right)}$は十分な統計量である${\displaystyle (\alpha \,,\,\beta )}$。

X ₁、 ...、X _nが独立で、パラメータλのポアソン分布に従う場合、和T ( X ) = X ₁ + ... + X _nはλの十分統計量です。       

これを理解するには、同時確率分布を考えてみましょう。

${\displaystyle \Pr(X=x)=P(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}).}$

観測値は独立しているため、これは次のように記述できます。

${\displaystyle {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{1}} \over x_{1}!}\cdot {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{2}} \over x_{2}!}\cdots {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{n}} \over x_{n}!}}$

これは次のように書くことができます

${\displaystyle e^{-n\lambda }\lambda ^{(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}\cdot {1 \over x_{1}!x_{2}!\cdots x_{n}!}}$

これは因数分解基準が満たされていることを示しており、h ( x )は階乗の積の逆数です。パラメータλは、その和T ( X )を介してのみデータと相互作用することに注意してください。

もし${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$は独立しており、期待値は正規分布に従う。${\displaystyle \theta }$（パラメータ）と既知の有限分散${\displaystyle \sigma ^{2},}$それから

${\displaystyle T(X_{1}^{n})={\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

は十分な統計量である${\displaystyle \theta .}$

これを確認するには、次の同時確率密度関数を考えてみましょう。${\displaystyle X_{1}^{n}=(X_{1},\dots ,X_{n})}$観測値は独立しているため、確率密度関数は個々の密度の積として表すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})&=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x_{i}-\theta )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\[6pt]&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}{\frac {(x_{i}-\theta )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\[6pt]&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)-\left(\theta -{\overline {x}}\right)\right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\[6pt]&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}+\sum _{i=1}^{n}(\theta -{\overline {x}})^{2}-2\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(\theta -{\overline {x}})\right)\right)\\[6pt]&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}+n(\theta -{\overline {x}})^{2}\right)\right)&&\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(\theta -{\overline {x}})=0\\[6pt]&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}(\theta -{\overline {x}})^{2}\right)\end{aligned}}}$

サンプルの同時密度は、フィッシャー・ネイマン因数分解定理で要求される形式をとる。

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x_{1}^{n})&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)\\[6pt]g_{\theta }(x_{1}^{n})&=\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}(\theta -{\overline {x}})^{2}\right)\end{aligned}}}$

以来${\displaystyle h(x_{1}^{n})}$パラメータに依存しない${\displaystyle \theta }$そして${\displaystyle g_{\theta }(x_{1}^{n})}$のみに依存する${\displaystyle x_{1}^{n}}$機能を通じて

${\displaystyle T(X_{1}^{n})={\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i},}$

フィッシャー・ネイマン因数分解定理は、${\displaystyle T(X_{1}^{n})}$は十分な統計量である${\displaystyle \theta }$。

もし${\displaystyle \sigma ^{2}}$不明であり、${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}$上記の尤度は次のように書き換えることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})=(2\pi \sigma ^{2})^{-n/2}\exp \left(-{\frac {n-1}{2\sigma ^{2}}}s^{2}\right)\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}(\theta -{\overline {x}})^{2}\right).\end{aligned}}}$

フィッシャー・ネイマン因数分解定理は依然として成り立ち、次のことを意味する。${\displaystyle ({\overline {x}},s^{2})}$は、${\displaystyle (\theta ,\sigma ^{2})}$。

もし${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$が独立で指数分布に従い、期待値がθ（未知の実数値の正のパラメータ）である場合、${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$はθの十分統計量である。

これを確認するには、次の同時確率密度関数を考えてみましょう。${\displaystyle X_{1}^{n}=(X_{1},\dots ,X_{n})}$観測値は独立しているため、確率密度関数は個々の密度の積として表すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})&=\prod _{i=1}^{n}{1 \over \theta }\,e^{{-1 \over \theta }x_{i}}={1 \over \theta ^{n}}\,e^{{-1 \over \theta }\sum _{i=1}^{n}x_{i}}.\end{aligned}}}$

サンプルの同時密度は、フィッシャー・ネイマン因数分解定理で要求される形式をとる。

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x_{1}^{n})=1,\,\,\,g_{\theta }(x_{1}^{n})={1 \over \theta ^{n}}\,e^{{-1 \over \theta }\sum _{i=1}^{n}x_{i}}.\end{aligned}}}$

以来${\displaystyle h(x_{1}^{n})}$パラメータに依存しない${\displaystyle \theta }$そして${\displaystyle g_{\theta }(x_{1}^{n})}$のみに依存する${\displaystyle x_{1}^{n}}$機能を通じて${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

フィッシャー・ネイマン因数分解定理は、${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$は十分な統計量である${\displaystyle \theta }$。

もし${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$独立しており、分散している${\displaystyle \Gamma (\alpha \,,\,\beta )}$、 どこ${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$ガンマ分布の未知のパラメータである場合、${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}{X_{i}},\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)}$は、2 次元の十分統計量である。${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$。

これを確認するには、次の同時確率密度関数を考えてみましょう。${\displaystyle X_{1}^{n}=(X_{1},\dots ,X_{n})}$観測値は独立しているため、確率密度関数は個々の密度の積として表すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})&=\prod _{i=1}^{n}\left({1 \over \Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha }}\right)x_{i}^{\alpha -1}e^{(-1/\beta )x_{i}}\\[5pt]&=\left({1 \over \Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha }}\right)^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\alpha -1}e^{{-1 \over \beta }\sum _{i=1}^{n}x_{i}}.\end{aligned}}}$

サンプルの同時密度は、フィッシャー・ネイマン因数分解定理で要求される形式をとる。

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x_{1}^{n})=1,\,\,\,g_{(\alpha \,,\,\beta )}(x_{1}^{n})=\left({1 \over \Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha }}\right)^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\alpha -1}e^{{-1 \over \beta }\sum _{i=1}^{n}x_{i}}.\end{aligned}}}$

以来${\displaystyle h(x_{1}^{n})}$パラメータに依存しない${\displaystyle (\alpha \,,\,\beta )}$そして${\displaystyle g_{(\alpha \,,\,\beta )}(x_{1}^{n})}$のみに依存する${\displaystyle x_{1}^{n}}$機能を通じて${\displaystyle T(x_{1}^{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i},\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right),}$

フィッシャー・ネイマン因数分解定理は、${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}X_{i},\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)}$は十分な統計量である${\displaystyle (\alpha \,,\,\beta ).}$

統計量が十分であるという条件の別の定式化をベイズ的文脈で設定すると、データセット全体を使用した場合と統計量のみを使用した場合に得られる事後分布が含まれます。したがって、要件は、ほとんどすべてのxに対して、

${\displaystyle \Pr(\theta \mid X=x)=\Pr(\theta \mid T(X)=t(x)).}$

より一般的には、パラメトリックモデルを仮定せずに、統計量Tが予測に十分であると言えるのは、

${\displaystyle \Pr(X'=x'\mid X=x)=\Pr(X'=x'\mid T(X)=t(x)).}$

この「ベイズ的十分性」は上記の定式化の結果であることが判明したが、^{[ 16 ]}無限次元の場合には直接的に等価ではない。^{[ 17 ]}ベイズ的文脈における十分性に関する理論的結果の範囲が利用可能である。^{[ 18 ]}

「線形十分性」と呼ばれる概念は、ベイズ的文脈^{[ 19 ] 、そしてより一般的に[ 20 ]}定式化することができる。まず、ベクトルYのXに基づく最適な線形予測子を次のように定義する。${\displaystyle {\hat {E}}[Y\mid X]}$すると、線形統計量T ( x ) は、次の条件を満たす場合に線形十分である^{[ 21 ] 。}

${\displaystyle {\hat {E}}[\theta \mid X]={\hat {E}}[\theta \mid T(X)].}$