ラップされた正規分布

ラップされた通常

確率密度関数 サポートは[-π,π]、μ=0となるように選択される。
累積分布関数 サポートは[-π,π]、μ=0となるように選択される。
パラメータ	${\displaystyle \mu}$本物 ${\displaystyle \sigma >0}$
サポート	${\displaystyle \theta \in}$長さ2πの任意の区間
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right)}$
平均	${\displaystyle \mu}$サポートが間隔内にある場合${\displaystyle \mu \pm \pi}$
中央値	${\displaystyle \mu}$サポートが間隔内にある場合${\displaystyle \mu \pm \pi}$
モード	${\displaystyle \mu}$
分散	${\displaystyle 1-e^{-\sigma ^{2}/2}}$（円形）
エントロピ	（本文参照）
CF	${\displaystyle e^{-\sigma^{2}n^{2}/2+in\mu}}$

確率論と方向統計学において、ラップ正規分布は、正規分布を単位円の周りに「ラップ」することで得られるラップ確率分布です。これはブラウン運動の理論に応用されており、周期境界条件の熱方程式の解です。これはフォンミーゼス分布によって近似され、数学的な単純さと扱いやすさから、方向統計学で最も一般的に使用される分布です。^[1]

ラップ正規分布の確率密度関数は^[2]

${\displaystyle f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[{\frac {-(\theta -\mu +2\pi k)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right],}$

ここで、μとσはそれぞれアンラップ分布の平均と標準偏差である。上記の密度関数を正規分布の特性関数で表すと次のようになる。 ^[2]

${\displaystyle f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\シグマ ^{2}n^{2}/2+in(\theta -\mu )}={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right),}$

ここでヤコビのシータ関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )}$

${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}{\text{ ただし }}w\equiv e^{i\pi \theta }}$そして${\displaystyle q\equiv e^{i\pi \tau }.}$

ラップされた正規分布はヤコビの三重積で表されることもある：^[3]

${\displaystyle f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n })(1+q^{n-1/2}z)(1+q^{n-1/2}/z)。}$

どこでそして${\displaystyle z=e^{i(\theta -\mu )}\,}$${\displaystyle q=e^{-\sigma ^{2}}.}$

円変数に関して、ラップされた正規分布の円モーメントは、整数引数で評価された正規分布の特性関数です。 ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{in\theta }\,f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )\,d\theta =e^{in\mu -n^{2}\sigma ^{2}/2}.}$

ここで、 は長さ の区間です。第 1 モーメントはzの平均値であり、平均結果または平均結果ベクトルとも呼ばれます。 ${\displaystyle \Gamma \,}$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \langle z\rangle =e^{i\mu -\sigma ^{2}/2}}$

平均角度は

${\displaystyle \theta _{\mu }=\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\mu }$

そして平均結果の長さは

${\displaystyle R=|\langle z\rangle |=e^{-\sigma ^{2}/2}}$

円標準偏差は、ラップされた正規分布とその近似分布であるフォン ミーゼス分布の分散の便利な尺度であり、次のように与えられます。

${\displaystyle s=\ln(R^{-2})^{1/2}=\sigma }$

ラップされた正規分布から抽出されたN個の測定値z _n  =  e ^{iθ _n}の系列は、分布の特定のパラメータを推定するために使用できます。系列zの平均は次のように定義されます。  

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}$

そしてその期待値は最初の瞬間だけになります。

${\displaystyle \langle {\overline {z}}\rangle =e^{i\mu -\sigma ^{2}/2}.\,}$

言い換えれば、zは第1モーメントの不偏推定量です。平均μが区間[−π、π)内にあると仮定 すると、Argz は平均μの（偏りのある）推定量になります 。

z _{n を}複素平面上のベクトルの集合として見ると、 R ²統計量は平均ベクトルの長さの 2 乗になります。

${\displaystyle {\overline {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}\,}$

その期待値は次のようになります。

${\displaystyle \left\langle {\overline {R}}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{N}}+{\frac {N-1}{N}}\,e^{-\sigma ^{2}}\,}$

言い換えれば、統計

${\displaystyle R_{e}^{2}={\frac {N}{N-1}}\left({\overline {R}}^{2}-{\frac {1}{N}}\right)}$

はe ^{− σ 2}の不偏推定量となり、ln(1/ R _e ^{2 )は}σ ²の（偏りのある）推定量となる。 

ラップされた正規分布の情報エントロピーは次のように定義される: [ 2 ^]

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )\,\ln(f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma ))\,d\theta }$

ここで、 は長さ の任意の区間です。 および を定義すると、ラップされた正規分布の ヤコビ三重積表現は次のようになります。${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle z=e^{i(\theta -\mu )}}$${\displaystyle q=e^{-\sigma ^{2}}}$

${\displaystyle f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {\phi (q)}{2\pi }}\prod _{m=1}^{\infty }(1+q^{m-1/2}z)(1+q^{m-1/2}z^{-1})}$

ここで はオイラー関数です。ラップされた正規分布の密度の対数は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \phi (q)\,}$

${\displaystyle \ln(f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma ))=\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)+\sum _{m=1}^{\infty }\ln(1+q^{m-1/2}z)+\sum _{m=1}^{\infty }\ln(1+q^{m-1/2}z^{-1})}$

対数の級数展開を使用する:

${\displaystyle \ln(1+x)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,x^{k}}$

対数和は次のように表すことができます。

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\ln(1+q^{m-1/2}z^{\pm 1})=-\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,q^{mk-k/2}z^{\pm k}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,{\frac {q^{k/2}}{1-q^{k}}}\,z^{\pm k}}$

したがって、ラップされた正規分布の密度の対数は次のように表すことができます。

${\displaystyle \ln(f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma ))=\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\frac {q^{k/2}}{1-q^{k}}}\,(z^{k}+z^{-k})}$

これは本質的にはのフーリエ級数です。積分の左側でラップされた正規分布の特性関数表現を使用すると、次のようになります。 ${\displaystyle \theta \,}$

${\displaystyle f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}/2}\,z^{n}}$

エントロピーは次のように記述されます。

${\displaystyle H=-\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\frac {q^{(n^{2}+k)/2}}{1-q^{k}}}\left(z^{n+k}+z^{n-k}\right)\right)\,d\theta }$

これを統合すると次の式が得られます。

${\displaystyle H=-\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,{\frac {q^{(k^{2}+k)/2}}{1-q^{k}}}}$

• ラップされた配布
• ディラックコム
• ラップされたコーシー分布
• フォン・ミーゼス分布

• グレアム・ボラデール (2003)。地球科学データの統計。スプリンガー。ISBN 978-3-540-43603-4. 2009年12月31日閲覧。
• フィッシャー、NI（1996）。循環データの統計分析。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-56890-6. 2010年2月9日閲覧。
• Breitenberger, Ernst (1963). 「円と球面上の正規分布の類似物」Biometrika . 50 (1/2): 81–88. doi :10.2307/2333749. JSTOR  2333749.

• C++11 による円形値の数学と統計、円形値 (角度、時刻など) の数学と統計のための C++11 インフラストラクチャ