オルンシュタイン・ウーレンベック法

時間的に均質なオルンシュタイン・ウーレンベック過程は、${\displaystyle x_{0}=0}$スケーリングされ、時間変換されたウィーナー過程として表現できる。

${\displaystyle x_{t}={\frac {\sigma }{\sqrt {2\theta }}}e^{-\theta t}W_{e^{2\theta t}-1}}$

どこ${\displaystyle W_{t}}$これは標準的なウィーナー過程です。これは、Doob 1942の定理 1.2 とほぼ一致します。同様に、変数変換により、${\displaystyle s=e^{2\theta t}}$これは

${\displaystyle W_{s}={\frac {\sqrt {2\theta }}{\sigma }}s^{1/2}x_{(\ln s)/(2\theta )},\qquad s>0}$

このマッピングを使用すると、${\displaystyle W_{t}}$対応するステートメントに${\displaystyle x_{t}}$例えば、反復対数の法則は${\displaystyle W_{t}}$^{[ 1 ]}になる

${\displaystyle \limsup _{t\to \infty }{\frac {x_{t}}{\sqrt {(\sigma ^{2}/\theta )\ln t}}}=1,\quad {\text{with probability 1.}}}$

確率微分方程式${\displaystyle x_{t}}$パラメータ変動法によって形式的に解くことができる。^{[ 7 ]}

${\displaystyle f(x_{t},t)=x_{t}e^{\theta t}\,}$

私たちは

${\displaystyle {\begin{aligned}df(x_{t},t)&=\theta \,x_{t}\,e^{\theta t}\,dt+e^{\theta t}\,dx_{t}\\[6pt]&=e^{\theta t}\theta \,\mu \,dt+\sigma \,e^{\theta t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$

統合する${\displaystyle 0}$に${\displaystyle t}$私たちは

${\displaystyle x_{t}e^{\theta t}=x_{0}+\int _{0}^{t}e^{\theta s}\theta \,\mu \,ds+\int _{0}^{t}\sigma \,e^{\theta s}\,dW_{s}\,}$

そこで我々は

${\displaystyle x_{t}=x_{0}\,e^{-\theta t}+\mu \,(1-e^{-\theta t})+\sigma \int _{0}^{t}e^{-\theta (t-s)}\,dW_{s}.\,}$

この表現から、1次モーメント（つまり平均）は次のようになることが示される。

${\displaystyle \operatorname {E} (x_{t})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})\!\ }$

想定${\displaystyle x_{0}}$は定数である。さらに、伊藤等長性を用いて共分散関数を計算することができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (x_{s},x_{t})&=\operatorname {E} [(x_{s}-\operatorname {E} [x_{s}])(x_{t}-\operatorname {E} [x_{t}])]\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}\sigma e^{\theta (u-s)}\,dW_{u}\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (v-t)}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&=\sigma ^{2}e^{-\theta (s+t)}\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}e^{\theta u}\,dW_{u}\int _{0}^{t}e^{\theta v}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\,e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta \min(s,t)}-1)\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).\end{aligned}}}$

このプロセスの微小生成子は^{[ 8 ]である。}$${\displaystyle Lf=-\theta (x-\mu )f'+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}f''}$$もし私たちが許せば${\displaystyle y=(x-\mu ){\sqrt {\frac {2\theta }{\sigma ^{2}}}}}$すると、固有値方程式は次のように簡略化されます。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dy^{2}}}\phi -y{\frac {d}{dy}}\phi -{\frac {\lambda }{\theta }}\phi =0}$$これはエルミート多項式の定義式です。その解は${\displaystyle \phi (y)=He_{n}(y)}$、 と${\displaystyle \lambda =-n\theta }$これは、粒子が境界上の点に到達するまでの平均初回通過時間が次のオーダーであることを意味する。${\displaystyle \theta ^{-1}}$。

オルンシュタイン・ウーレンベック過程は、ノイズのある緩和過程の典型例である。典型的な例は、ばね定数を持つフックばね（調和振動子）である。${\displaystyle k}$そのダイナミクスは 摩擦係数によって過減衰される${\displaystyle \gamma }$温度による熱変動が存在する場合${\displaystyle T}$長さ${\displaystyle x(t)}$バネの長さはバネの静止長さを中心に変動する${\displaystyle x_{0}}$;その確率的ダイナミクスは、オルンシュタイン・ウーレンベック過程によって記述され、

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=k/\gamma ,\\\mu &=x_{0},\\\sigma &={\sqrt {2D}}={\sqrt {2k_{B}T/\gamma }},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ストークス・アインシュタイン方程式から導出される${\displaystyle D=k_{B}T/\gamma }$有効拡散定数について。^{[ 12 ] [ 13 ]} 物理学で一般的なランジュバン方程式として書き直すと、 ${\displaystyle \gamma \,{\dot {x}}=-k(x-x_{0})+\xi (t)}$、 どこ${\displaystyle \xi (t)}$はガウス白色ノイズを表す。 ${\displaystyle \langle \xi (t)\xi (t')\rangle =2D\,\delta (t-t')}$したがって、自己相関関数は次のようになります（数学的表記では上記と同じ）。 ${\displaystyle \langle [x(t)-x_{0}][x(t')-x_{0}]\rangle =(k_{B}T/k)\exp[-(k/\gamma )|t-t'|]}$分散付き${\displaystyle k_{B}T/k}$から独立${\displaystyle \gamma }$緩和時間スケール${\displaystyle \gamma /k}$次元解析から予想される通り。

このモデルは、光トラップ内のブラウン粒子の運動を特徴づけるために使用されてきた。^{[ 13 ] [ 14 ]} 平衡状態では、バネは平均エネルギーを蓄える。${\displaystyle \langle E\rangle =k\langle (x-x_{0})^{2}\rangle /2=k_{B}T/2}$等分配定理に従って。^{[ 15 ]}

オルンシュタイン・ウーレンベック過程は、金利のヴァシチェクモデルで使用されている。 ^{[ 16 ]}オルンシュタイン・ウーレンベック過程は、金利、為替レート、商品価格を確率的にモデル化するために（修正を加えて）使用されるいくつかの手法の1つである。パラメータ${\displaystyle \mu }$ファンダメンタルズによって支えられた均衡値または平均値を表す。${\displaystyle \sigma }$ショックによって引き起こされるその周辺の変動の度合い、そして${\displaystyle \theta }$これらのショックが消散し、変数が平均値に戻る速度。このプロセスの応用例の1つは、ペアトレードとして知られる取引戦略である。^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

オルンシュタイン・ウーレンベック過程のさらなる実装は、対数正規分布ダイナミクスの下での株式リターンをモデル化するためにマルチェロ・ミネンナによって導出された。このモデル化は、市場の不正現象を予測するための信頼区間の決定を目的としている。^{[ 20 ] [ 21 ]}

オルンシュタイン・ウーレンベック過程は、生物の表現型の時間的変化をモデル化するためのブラウン運動モデルよりも優れたものとして提案されている。 ^{[ 22 ]}ブラウン運動モデルは表現型が制限なく移動できることを示唆しているが、ほとんどの表現型では自然選択によってどちらの方向にも移動しすぎるとコストがかかる。250の化石表現型時系列のメタ分析では、オルンシュタイン・ウーレンベックモデルが調査対象の時系列の115（46%）に最もよく適合し、停滞が一般的な進化パターンであることを裏付けていることが示された。^{[ 23 ]} とはいえ、その使用にはいくつかの課題がある。モデル選択メカニズムは、十分な裏付けがないにもかかわらずOU過程を好む方向に偏っていることが多く、データサイエンティストが誤解しやすい。^{[ 24 ]}

オルンシュタイン・ウーレンベック過程の多次元版は、N次元ベクトルで表される。${\displaystyle \mathbf {x} _{t}}$は、から定義できます。

${\displaystyle d\mathbf {x} _{t}=-{\boldsymbol {\beta }}\,\mathbf {x} _{t}\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t}.}$

どこ${\displaystyle \mathbf {W} _{t}}$これはN次元ウィーナー過程であり、${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$そして${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$は定数N × N行列である。^{[ 28 ]}解は

${\displaystyle \mathbf {x} _{t}=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\mathbf {x} _{0}+\int _{0}^{t}e^{-{\boldsymbol {\beta }}(t-t')}{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t'}}$

そして平均は

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {x} _{t})=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\operatorname {E} (\mathbf {x} _{0}).}$

これらの式は行列指数関数を利用しています。

このプロセスは確率密度関数を用いて記述することもできる。${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}$これはフォッカー・プランク方程式^{[ 29 ]を満たす。}

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\sum _{i,j}\beta _{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(x_{j}P)+\sum _{i,j}D_{ij}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}},}$

行列${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$コンポーネント付き${\displaystyle D_{ij}}$定義される${\displaystyle {\boldsymbol {D}}={\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{T}/2}$1次元の場合と同様に、このプロセスはガウス型確率変数の線形変換であり、したがってそれ自体もガウス型でなければなりません。このため、遷移確率は${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x} ',t')}$は明示的に書き表せるガウス関数です。${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ゼロより大きい場合、定常解${\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )}$さらに、以下が与えられる

${\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )=(2\pi )^{-N/2}(\det {\boldsymbol {\omega }})^{-1/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{T}{\boldsymbol {\omega }}^{-1}\mathbf {x} \right),}$

行列${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$リアプノフ方程式から決定される${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}{\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\beta }}^{T}=2{\boldsymbol {D}}}$[ ^{5 ]​}