半正規分布

確率論と統計学において、半正規分布は折り畳み正規分布の特殊な場合である。

させて${\displaystyle X}$通常の正規分布に従う、${\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}$。 それから、${\displaystyle Y=|X|}$半正規分布に従う。つまり、半正規分布は、平均がゼロの通常の正規分布を平均で折り返したものである。

使用${\displaystyle \sigma }$正規分布のパラメータ化により、半正規分布の確率密度関数（PDF）は次のように与えられる。

${\displaystyle f_{Y}(y;\sigma )={\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\quad y\geq 0,}$

どこ${\displaystyle E[Y]=\mu ={\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}}$。

あるいは、スケーリングされた精度（分散の逆数）パラメータ化を使用して、問題を回避する${\displaystyle \sigma }$はゼロに近い）を設定することによって得られる${\displaystyle \theta ={\frac {\sqrt {\pi }}{\sigma {\sqrt {2}}}}}$確率密度関数は次のように与えられる。

${\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\frac {2\theta }{\pi }}\exp \left(-{\frac {y^{2}\theta ^{2}}{\pi }}\right)\quad y\geq 0,}$

どこ${\displaystyle E[Y]=\mu ={\frac {1}{\theta }}}$。

累積分布関数（CDF）は次のように表される。

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )=\int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,dx}$

変数変換を用いて${\displaystyle z=x/({\sqrt {2}}\sigma )}$CDFは次のように記述できます。

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,\int _{0}^{y/({\sqrt {2}}\sigma )}\exp \left(-z^{2}\right)dz=\operatorname {erf} \left({\frac {y}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$

ここで、erf は誤差関数であり、多くの数学ソフトウェアパッケージにおける標準関数です。

分位関数（または逆累積分布関数）は次のように表されます。

${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(F)}$

どこ${\displaystyle 0\leq F\leq 1}$そして${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}}$は逆誤差関数です

期待値は次のように与えられる。

${\displaystyle E[Y]=\sigma {\sqrt {2/\pi }},}$

分散は次のように与えられる。

$\displaystyle \operatorname {var} (Y)=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right).}$

これはXの分散 σ ²に比例するため、σ は新しい分布の尺度パラメータと見なすことができます。

半正規分布の微分エントロピーは、 0 を中心とする同じ 2 次モーメントを持つ平均ゼロの正規分布の微分エントロピーよりちょうど 1 ビット少ない値になります。これは、大きさ演算子が情報を 1 ビット減らすことから直感的に理解できます (入力の確率分布が偶数の場合)。あるいは、半正規分布は常に正の値をとるため、標準正規確率変数が正 (例えば 1) か負 (例えば 0) かを記録するために必要な 1 ビットは不要になります。したがって、

${\displaystyle h(Y)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left({\frac {\pi e\sigma ^{2}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left(2\pi e\sigma ^{2}\right)-1.}$

半正規分布は、ベイズ推論アプリケーションにおける分散パラメータの事前確率分布として一般的に利用されます。^{[ 1 ] [ 2 ]}

与えられた数${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}$半正規分布から抽出された未知のパラメータ${\displaystyle \sigma }$その分布の は最尤法によって推定することができ、

${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

バイアスは

${\displaystyle b\equiv \operatorname {E} {\bigg [}\;({\hat {\sigma }}_{\mathrm {mle} }-\sigma )\;{\bigg ]}=-{\frac {\sigma }{4n}}}$

これにより、バイアス補正された最尤推定量が得られる。

${\displaystyle {\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}^{*}={\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}-{\hat {b\,}}.}$

• この分布は、 μ = 0の折り畳み正規分布の特殊なケースである。  
• これは、平均値がゼロで下から切り捨てられたゼロ平均の正規分布とも一致する（切り捨て正規分布を参照）。
• Yが半正規分布に従う場合、( Y / σ ) ²は自由度1のカイ二乗分布に従う、つまりY / σは自由度1のカイ分布に従う。
• 半正規分布は、d = 1、p = 2、a =の一般化ガンマ分布の特殊なケースです。      ${\displaystyle {\sqrt {2}}\sigma }$。
• Yが半正規分布に従う場合、 Y ^-2はレヴィ分布に従う。
• レイリー分布は、半正規分布をモーメントを傾けてスケーリングした一般化である。
• 修正半正規分布

• ハーフt分布
• 切断正規分布
• 折り畳まれた正規分布
• 正規化ガウス分布

• Leone, FC; Nelson, LS; Nottingham, RB (1961)、「折り畳まれた正規分布」、Technometrics、3 (4): 543–550、doi : 10.2307/1266560、hdl : 2027/mdp.39015095248541、JSTOR 1266560 

• MathWorldの半正規分布

（MathWorld はパラメーターを使用していることに注意してください）${\displaystyle \theta ={\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\pi /2}}}$