フィッシャー情報

正則条件は以下のとおりです。^{[ 8 ]}

1. f ( X ; θ )のθに関する偏微分は、ほぼ至るところで存在します。（零集合上では存在しない場合もありますが、その集合がθに依存しない限りにおいてです。）
2. f ( X ; θ )の積分は、θに関して積分記号の下で微分することができる。
3. f ( X ; θ )のサポートはθに依存しません。

θがベクトルである場合、 θのすべての成分に対して正則条件が満たされなければなりません。正則条件を満たさない密度の例を見つけるのは簡単です。Uniform(0, θ )変数の密度は条件1と3を満たしません。この場合、定義からフィッシャー情報を計算できますが、通常想定されるような特性は持ちません。

Xが与えられたときのθの尤度は常に確率f ( X ; θ ) に比例するため、これらの対数はθに依存しない定数だけ異なり、 θに関するこれらの対数の導関数は必ず等しくなります。したがって、フィッシャー情報の定義において、log f ( X ; θ )の代わりに対数尤度l ( θ ; X ) を代入することができます。

値X は、単一の分布から抽出された単一のサンプルを表すことも、複数の分布から抽出されたサンプルの集合を表すこともできます。サンプルがn個あり、対応するn個の分布が統計的に独立している場合、フィッシャー情報は、各分布からの単一サンプルごとに 1 つずつ、単一サンプルのフィッシャー情報値の合計になります。特に、n 個の分布が独立かつ同一分布である場合、フィッシャー情報は、共通分布からの単一サンプルのフィッシャー情報のn倍になります。言い換えれば、母集団から抽出されたサイズnのサンプルの iid 観測値のフィッシャー情報は、 nと同一母集団からの単一観測値のフィッシャー情報の積に等しくなります。

Cramér –Rao 境界^{[ 9 ] [ 10 ]}は、Fisher 情報の逆数がθの任意の不偏推定量の分散の下限であることを述べています。Van Trees (1968)とFrieden (2004) は、Fisher 情報の使用を説明する結果であるCramér–Rao 境界を導出する次の方法を提供しています。

非公式には、まず不偏推定量について考察することから始めます。${\displaystyle {\hat {\theta }}(X)}$数学的に「偏りがない」とは、

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left.{\hat {\theta }}(X)-\theta \,\,\right|\,\,\theta \right]=\int \left({\hat {\theta }}(x)-\theta \right)\,f(x;\theta )\,dx=0{\text{ regardless of the value of }}\theta .}$

この式はθに依存しないゼロなので、 θに関する偏微分もゼロでなければなりません。積の法則により、この偏微分も に等しくなります。

${\displaystyle 0={\frac {\partial }{\partial \theta }}\int \left({\hat {\theta }}(x)-\theta \right)\,f(x;\theta )\,dx=\int \left({\hat {\theta }}(x)-\theta \right){\frac {\partial f}{\partial \theta }}\,dx-\int f\,dx.}$

各θについて、尤度関数は確率密度関数であり、したがって${\displaystyle \int f\,dx=1}$偏微分に連鎖律を適用することにより${\displaystyle \log f}$そして、${\displaystyle f(x;\theta )}$検証できるのは

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \theta }}=f\,{\frac {\partial \log f}{\partial \theta }}.}$

上記の2つの事実を用いると、

${\displaystyle \int \left({\hat {\theta }}-\theta \right)f\,{\frac {\partial \log f}{\partial \theta }}\,dx=1.}$

被積分関数を因数分解すると

${\displaystyle \int \left(\left({\hat {\theta }}-\theta \right){\sqrt {f}}\right)\left({\sqrt {f}}\,{\frac {\partial \log f}{\partial \theta }}\right)\,dx=1.}$

積分式を二乗すると、コーシー・シュワルツの不等式から次の式が得られる。

${\displaystyle 1={\biggl (}\int \left[\left({\hat {\theta }}-\theta \right){\sqrt {f}}\right]\cdot \left[{\sqrt {f}}\,{\frac {\partial \log f}{\partial \theta }}\right]\,dx{\biggr )}^{2}\leq \left[\int \left({\hat {\theta }}-\theta \right)^{2}f\,dx\right]\cdot \left[\int \left({\frac {\partial \log f}{\partial \theta }}\right)^{2}f\,dx\right].}$

括弧内の2番目の因子はフィッシャー情報量と定義され、括弧内の1番目の因子は推定量の平均二乗誤差（MSE）である。${\displaystyle {\hat {\theta }}}$推定量は不偏であるため、そのMSEは分散に等しくなります。式を整理すると、次の不等式が得られます。

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\theta }})\geq {\frac {1}{{\mathcal {I}}\left(\theta \right)}}.}$

言い換えれば、θを推定できる精度は、尤度関数のフィッシャー情報量によって根本的に制限される。

あるいは、同じ結論は確率変数に対するコーシー・シュワルツの不等式から直接得ることができる。${\displaystyle |\operatorname {Cov} (A,B)|^{2}\leq \operatorname {Var} (A)\operatorname {Var} (B)}$確率変数に適用${\displaystyle {\hat {\theta }}(X)}$そして${\displaystyle \partial _{\theta }\log f(X;\theta )}$不偏推定量については、$${\displaystyle \operatorname {Cov} [{\hat {\theta }}(X),\partial _{\theta }\log f(X;\theta )]=\int {\hat {\theta }}(x)\,\partial _{\theta }f(x;\theta )\,dx=\partial _{\theta }\operatorname {E} [{\hat {\theta }}]=1.}$$

ベルヌーイ試行は、0と1の2つの結果を持つ確率変数であり、1が出る確率はθです。結果は、偏りのあるコインを投げることによって決まると考えることができ、表（1）が出る確率はθ、裏（0）が出る確率は1- θです。

Xを分布からの1つのサンプルのベルヌーイ試行とする。Xに含まれるフィッシャー情報は次のように計算できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {I}}(\theta )&=-\operatorname {E} \left[\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\log \left(\theta ^{X}(1-\theta )^{1-X}\right)\right|\theta \right]\\[5pt]&=-\operatorname {E} \left[\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\left(X\log \theta +(1-X)\log(1-\theta )\right)\,\,\right|\,\,\theta \right]\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[\left.{\frac {X}{\theta ^{2}}}+{\frac {1-X}{(1-\theta )^{2}}}\,\,\right|\,\,\theta \right]\\[5pt]&={\frac {\theta }{\theta ^{2}}}+{\frac {1-\theta }{(1-\theta )^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{\theta (1-\theta )}}.\end{aligned}}}$

フィッシャー情報は加法性を持つため、 n 回の独立したベルヌーイ試行に含まれるフィッシャー情報は

${\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )={\frac {n}{\theta (1-\theta )}}.}$

もし${\displaystyle x_{i}}$は${\displaystyle 2^{n}}$n 回の独立したベルヌーイ試行の可能な結果と${\displaystyle x_{ij}}$i番目の試行のj番目の結果である場合、確率は${\displaystyle x_{i}}$は

${\displaystyle p(x_{i},\theta )=\prod _{j=0}^{n}\theta ^{x_{ij}}(1-\theta )^{x_{ij}}}$

i番目の試行の標本平均は${\displaystyle \mu _{i}=(1/n)\sum _{j=1}^{n}x_{ij}}$標本平均の期待値（標本分布全体にわたって）は

${\displaystyle E(\mu )=\sum _{x_{i}}\mu _{i}\,p(x_{i},\theta )=\theta ,}$

合計は全体にわたる${\displaystyle 2^{n}}$考えられる試験結果。標本平均の二乗の期待値は

${\displaystyle E(\mu ^{2})=\sum _{x_{i}}\mu _{i}^{2}\,p(x_{i},\theta )={\frac {(1+(n-1)\theta )\theta }{n}}}$

平均値の分散は

${\displaystyle E(\mu ^{2})-E(\mu )^{2}={\frac {\theta (1-\theta )}{n}}}$

フィッシャー情報量は、 n回のベルヌーイ試行における平均成功回数の分散の逆数であることがわかります。これは一般的に正しいです。この場合、クラメール・ラオ限界は等式になります。

別の例として、確率変数を考えてみましょう。${\displaystyle X}$結果が0と1になる可能性があり、確率は${\displaystyle p_{0}=1-{\sqrt {\theta }}}$そして${\displaystyle p_{1}={\sqrt {\theta }}}$それぞれ、いくつかの${\displaystyle \theta \in [0,1]}$私たちの目標は推定することです${\displaystyle \theta }$観察から${\displaystyle X}$。

この場合のフィッシャー情報は次のようになります$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {I}}(\theta )&=\mathrm {E} \left[\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\log f(X;\theta )\right)^{2}{\Bigg |}\,\theta \right]\\&=(1-{\sqrt {\theta }})\left({\frac {-1}{2{\sqrt {\theta }}(1-{\sqrt {\theta }})}}\right)^{2}+{\sqrt {\theta }}\left({\frac {1}{2\theta }}\right)^{2}\\&={\frac {1}{4\theta }}\left({\frac {1}{1-{\sqrt {\theta }}}}+{\frac {1}{\sqrt {\theta }}}\right)\end{aligned}}.}$$この式は、以下に示す再パラメータ化式の変更から直接導出することもできます。より一般的には、任意の十分に正則な関数に対して、${\displaystyle f}$そのため${\displaystyle f(\theta )\in [0,1]}$フィッシャー情報を取得する${\displaystyle \theta }$から${\displaystyle X\sim \operatorname {Bern} (f(\theta ))}$同様に計算すると次のようになる。$${\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )=f'(\theta )^{2}\left({\frac {1}{1-f(\theta )}}+{\frac {1}{f(\theta )}}\right).}$$

2 つのパラメータ成分ベクトルθ ₁とθ ₂は、フィッシャー情報行列がブロック対角行列であり、これらの成分が別々のブロックにある場合、情報的に直交していると言います。^{[ 16 ]}直交パラメータは、その最尤推定値が漸近的に無相関であるという意味で扱いやすいです。統計モデルを分析する方法を検討する際には、特に関心のあるパラメータが 1 次元であるのに対し、邪魔なパラメータは任意の次元を持つ可能性がある場合、モデルの直交パラメータ化を探すことに時間を費やすことが推奨されます。^{[ 17 ]}

フィッシャー情報行列がすべてのθに対して正定値である場合、対応する統計モデルは正則であると言われ、そうでない場合は、統計モデルは特異であると言われます。^{[ 18 ]}特異な統計モデルの例としては、正規混合、二項混合、多項混合、ベイジアンネットワーク、ニューラルネットワーク、放射基底関数、隠れマルコフモデル、確率的文脈自由文法、縮小ランク回帰、ボルツマンマシンなどがあります。

機械学習では、ランダムな現象から隠れた構造を抽出するように統計モデルを考案すると、自然と特異なものになる。^{[ 19 ]}

N変数多変量正規分布の FIM 、${\displaystyle \,X\sim N\left(\mu (\theta ),\,\Sigma (\theta )\right)}$は特別な形式を持つ。K次元のパラメータベクトルを次のようにする。${\displaystyle \theta ={\begin{bmatrix}\theta _{1}&\dots &\theta _{K}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$そして正規乱数のベクトルは${\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{1}&\dots &X_{N}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$これらの確率変数の平均値は次の通りであると仮定します。${\displaystyle \,\mu (\theta )={\begin{bmatrix}\mu _{1}(\theta )&\dots &\mu _{N}(\theta )\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$、そして${\displaystyle \,\Sigma (\theta )}$を共分散行列とする。すると、${\displaystyle 1\leq m,\,n\leq K}$、 FIM の( m , n ) エントリは次のようになります。 ^{[ 20 ]}

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{m,n}={\frac {\partial \mu ^{\textsf {T}}}{\partial \theta _{m}}}\Sigma ^{-1}{\frac {\partial \mu }{\partial \theta _{n}}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\Sigma ^{-1}{\frac {\partial \Sigma }{\partial \theta _{m}}}\Sigma ^{-1}{\frac {\partial \Sigma }{\partial \theta _{n}}}\right),}$

どこ${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$ベクトルの転置を表します。${\displaystyle \operatorname {tr} (\cdot )}$は正方行列のトレースを表し、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mu }{\partial \theta _{m}}}&={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mu _{1}}{\partial \theta _{m}}}&{\dfrac {\partial \mu _{2}}{\partial \theta _{m}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mu _{N}}{\partial \theta _{m}}}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}};\\[8pt]{\dfrac {\partial \Sigma }{\partial \theta _{m}}}&={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \Sigma _{1,1}}{\partial \theta _{m}}}&{\dfrac {\partial \Sigma _{1,2}}{\partial \theta _{m}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \Sigma _{1,N}}{\partial \theta _{m}}}\\[5pt]{\dfrac {\partial \Sigma _{2,1}}{\partial \theta _{m}}}&{\dfrac {\partial \Sigma _{2,2}}{\partial \theta _{m}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \Sigma _{2,N}}{\partial \theta _{m}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial \Sigma _{N,1}}{\partial \theta _{m}}}&{\dfrac {\partial \Sigma _{N,2}}{\partial \theta _{m}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \Sigma _{N,N}}{\partial \theta _{m}}}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

特別な、しかし非常に一般的なケースとして、${\displaystyle \Sigma (\theta )=\Sigma }$定数。

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{m,n}={\frac {\partial \mu ^{\textsf {T}}}{\partial \theta _{m}}}\Sigma ^{-1}{\frac {\partial \mu }{\partial \theta _{n}}}.\ }$

この場合、フィッシャー情報行列は、最小二乗推定理論の正規方程式の係数行列と同一視できる。

もう1つの特殊なケースは、平均と共分散が2つの異なるベクトルパラメータ、例えばβとθに依存する場合です。これは、相関のある残差を持つ線形モデルをよく使用する空間データの分析で特に一般的です。この場合、^{[ 21 ]}

${\displaystyle {\mathcal {I}}(\beta ,\theta )=\operatorname {diag} \left({\mathcal {I}}(\beta ),{\mathcal {I}}(\theta )\right)}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {I}}{(\beta )_{m,n}}&={\frac {\partial \mu ^{\textsf {T}}}{\partial \beta _{m}}}\Sigma ^{-1}{\frac {\partial \mu }{\partial \beta _{n}}},\\[5pt]{\mathcal {I}}{(\theta )_{m,n}}&={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\Sigma ^{-1}{\frac {\partial \Sigma }{\partial \theta _{m}}}{\Sigma ^{-1}}{\frac {\partial \Sigma }{\partial \theta _{n}}}\right)\end{aligned}}}$

エントロピーや相互情報量と同様に、フィッシャー情報量も連鎖律分解を持ちます。特に、XとYが同時分布する確率変数である場合、次のようになります。^{[ 22 ]}

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}(\theta )={\mathcal {I}}_{X}(\theta )+{\mathcal {I}}_{Y\mid X}(\theta ),}$

どこ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y\mid X}(\theta )=\operatorname {E} _{X}\left[{\mathcal {I}}_{Y\mid X=x}(\theta )\right]}$そして${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y\mid X=x}(\theta )}$Yのフィッシャー情報は、${\displaystyle \theta }$特定の値X = xが与えられた場合のYの条件付き密度に関して計算されます。   

特殊なケースとして、2つの確率変数が独立である場合、2つの確率変数から得られる情報は、それぞれの確率変数から得られる情報の合計になります。

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}(\theta )={\mathcal {I}}_{X}(\theta )+{\mathcal {I}}_{Y}(\theta ).}$

したがって、 n個の独立かつ同一の分布に従う観測値からなるランダムサンプルに含まれる情報は、サイズ1のサンプルに含まれる情報のn 倍になります。

凸関数が与えられた場合${\displaystyle f:[0,\infty )\to (-\infty ,\infty ]}$それ${\displaystyle f(x)}$すべての${\displaystyle x>0}$、${\displaystyle f(1)=0}$、 そして${\displaystyle f(0)=\lim _{t\to 0^{+}}f(t)}$（無限大になる可能性もある）f発散を定義する${\displaystyle D_{f}}$ならば${\displaystyle f}$は厳密に凸である${\displaystyle 1}$ローカルでは${\displaystyle \theta \in \Theta }$フィッシャー情報行列は、次の意味でメトリックである^{[ 23 ]}$${\displaystyle (\delta \theta )^{T}I(\theta )(\delta \theta )={\frac {1}{f''(1)}}D_{f}(P_{\theta +\delta \theta }\parallel P_{\theta })}$$どこ${\displaystyle P_{\theta }}$分布は、${\displaystyle \theta }$つまり、それはPDFによる分布です。${\displaystyle f(x;\theta )}$。

この形式においては、フィッシャー情報行列がリーマン計量であり、変数変換に対して正しく変化することが明確に示されている。（再パラメータ化の項を参照。）

十分統計量によって提供される情報は、標本Xの情報と同じです。これは、十分統計量に対するネイマンの因数分解基準を使用することで確認できます。T ( X ) がθに対して十分である場合、

${\displaystyle f(X;\theta )=g(T(X),\theta )h(X)}$

いくつかの関数gとhについて。h ( X )がθに依存しないということは、

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\log \left[f(X;\theta )\right]={\frac {\partial }{\partial \theta }}\log \left[g(T(X);\theta )\right],}$

そして、情報の等価性はフィッシャー情報の定義から導かれる。より一般的には、T = t ( X )が統計量である場合、

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{T}(\theta )\leq {\mathcal {I}}_{X}(\theta )}$

Tが十分統計量である場合に限り、 等号が成立する。^{[ 24 ]}

フィッシャー情報は問題のパラメータ化に依存します。θとηが推定問題の2つのスカラーパラメータ化であり、θがηの連続微分可能な関数である場合、

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\eta }(\eta )={\mathcal {I}}_{\theta }(\theta (\eta ))\left({\frac {d\theta }{d\eta }}\right)^{2}}$

どこ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\eta }}$そして${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\theta }}$ηとθはそれぞれフィッシャー情報量である。^{[ 25 ]}

ベクトルの場合、${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$そして${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$は推定問題をパラメータ化するkベクトルであり、${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$は、${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$すると、^{[ 26 ]}

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\eta }})={\boldsymbol {J}}^{\textsf {T}}{\mathcal {I}}_{\boldsymbol {\theta }}({\boldsymbol {\theta }}({\boldsymbol {\eta }})){\boldsymbol {J}}}$

ここで、 k × kヤコビ行列の( i , j ) 番目の要素は  ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}}$定義される

${\displaystyle J_{ij}={\frac {\partial \theta _{i}}{\partial \eta _{j}}},}$

そしてどこで${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{\textsf {T}}}$は、${\displaystyle {\boldsymbol {J}}.}$

情報幾何学では、これはリーマン多様体上の座標変換とみなされ、曲率の本質的な性質は異なるパラメーター化の下で変化しません。一般に、フィッシャー情報行列は熱力学的状態の多様体に対してリーマン計量（より正確にはフィッシャー・ラオ計量）を提供し、相転移の分類のための情報幾何学的複雑度尺度として使用できます。たとえば、熱力学的計量テンソルのスカラー曲率は相転移点で（そして相転移点でのみ）発散します。^{[ 27 ]}

熱力学的な文脈では、フィッシャー情報行列は対応する秩序パラメーターの変化率と直接関係している。^{[ 28 ]}特に、このような関係は、フィッシャー情報行列の個々の要素の発散を介して二次相転移を特定する。

フィッシャー情報行列は、等周不等式のような不等式において役割を果たします。^{[ 29 ]}与えられたエントロピーを持つすべての確率分布の中で、フィッシャー情報行列のトレースが最小となるのはガウス分布です。これは、与えられた体積を持つすべての有界集合の中で、球が最小の表面積を持つのと同様です。

証明には多変量確率変数を用いる必要がある${\displaystyle X}$密度関数${\displaystyle f}$そして位置パラメータを追加して密度のファミリーを形成する${\displaystyle \{f(x-\theta )\mid \theta \in \mathbb {R} ^{n}\}}$。そして、ミンコフスキー・シュタイナーの公式になぞらえて、「表面積」は${\displaystyle X}$と定義される

${\displaystyle S(X)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{H(X+Z_{\varepsilon })}-e^{H(X)}}{\varepsilon }}}$

どこ${\displaystyle Z_{\varepsilon }}$は共分散行列を持つガウス変数である${\displaystyle \varepsilon I}$「表面積」という名前は適切です。なぜならエントロピーパワー${\displaystyle e^{H(X)}}$は「有効サポートセット」の体積であり、^{[ 30 ]}${\displaystyle S(X)}$は、ミンコフスキー・シュタイナーの公式と同様に、有効サポート集合の体積の「導関数」です。証明の残りの部分では、ブルン・ミンコフスキーの不等式に似たエントロピーべき乗の不等式を使用します。フィッシャー情報行列のトレースは、 の係数であることがわかります。${\displaystyle S(X)}$。

フィッシャー情報は、最適な実験計画において広く用いられています。推定値の分散とフィッシャー情報には相互関係があるため、分散を最小化することは情報を最大化することに対応します。

線形（または線形化）統計モデルに複数のパラメータがある場合、パラメータ推定量の平均はベクトルであり、その分散は行列になります。分散行列の逆行列は「情報行列」と呼ばれます。パラメータベクトルの推定量の分散は行列であるため、「分散を最小化する」問題は複雑になります。統計学者は統計理論を用いて、実数値の要約統計量を使用して情報行列を圧縮します。これらの「情報基準」は実数値関数であるため、最大化することができます。

従来、統計学者は、推定量や設計を評価する際に、共分散行列（不偏推定量の）の要約統計量（通常は正の実数値（行列式や行列トレースなど））を考慮してきました。正の実数を扱うことで、いくつかの利点が得られます。単一パラメータの推定量の分散が正であれば、分散とフィッシャー情報はどちらも正の実数になります。したがって、これらは非負の実数の凸錐の要素となります（非ゼロの要素の逆数は、同じ錐の中に存在します）。

いくつかのパラメータの場合、共分散行列と情報行列は、レーヴナー（レーヴナー）順序のもとで、半順序ベクトル空間内の非負定値対称行列の凸錐の要素になります。この錐は、行列の加算と逆行列、および正の実数と行列の乗算に関して閉じています。行列理論とレーヴナー順序の説明は、Pukelsheim に掲載されています。^{[ 31 ]}

従来の最適性基準は、不変式理論の意味での情報行列の不変量です。代数的には、従来の最適性基準は、（フィッシャー）情報行列の固有値の関数です（最適設計を参照）。

ベイズ統計学では、フィッシャー情報量を用いてジェフリーズ事前分布を計算します。ジェフリーズ事前分布は、連続分布パラメータに対する標準的な無情報事前分布です。^{[ 32 ]}

フィッシャー情報量は、ニューラルコードの精度の限界を見つけるために使用されてきました。この場合、Xは通常、低次元変数θ (刺激パラメータなど)を表す多数のニューロンの同時応答です。特に、ニューラル応答のノイズにおける相関の役割が研究されています。^{[ 33 ]}

フィッシャー情報量を用いて、SARS-CoV-2 の再生産数を推定するためのさまざまなデータソースの情報量がどの程度有用であるかを調べた。 ^{[ 34 ]}

フィッシャー情報は、人工ニューラルネットワークにおける壊滅的忘却を軽減する弾性重み統合^{[ 35 ]}などの機械学習技術で使用されています。

フィッシャー情報は、2次勾配降下ネットワークトレーニングにおける損失関数のヘッセ行列の代替として使用できます。^{[ 36 ]}

フィッシャー情報量を用いて、da Fonsecaら^{[ 37 ]は}、網膜光受容体の応答関数からマクアダム楕円（色識別楕円）をどの程度導出できるかを調査した。